拓廣探索 教考銜接

12（1.2.）

2025年高考綜合改革適應性測試（以下簡稱2025年八省聯考）高中數學試題由教育部統一命制，主要是針對第五批高考綜合改革的八個省、自治區進行的一次大規模的調研考試.2025年八省聯考具有影響力大、權威性高、導向性強等特點.深入研究2025年八省聯考試題具有一定的理論價值與實踐意義，能為2025屆高三師生備戰高考提供方向性指引.基于此，本文聚焦2025年八省聯考第10題，對試題進行追根溯源和拓展探究，希望能對學生備戰高考有所啟發.

1 試題呈現

題目 （2025 年八省聯考10，多選題）在人工神經網絡中，單個神經元輸入與輸出的函數關系可以稱為激勵函數.雙曲正切函數是一種激勵函數.定義雙曲正弦函數sinh ，雙曲余弦函數cosh x = （204號 ，雙曲正切函數tanh ，則（ ）.

A.雙曲正弦函數是增函數B.雙曲余弦函數是增函數C.雙曲正切函數是增函數 對于選項A，給出以下兩種方法.

方法1雙曲正弦函數

易知 都是增函數，從而雙曲正弦函數是增函數，故A正確.

方法2令 ，則 e+egt;0恒成立，所以雙曲正弦函數是增函數，故A正確.

對于選項B，給出以下兩種方法.

方法1易知雙曲余弦函數是偶函數，從而雙曲余弦函數在定義域 上不單調，故B錯誤.

方法2 令g（x）=cosh ，則 ，故 由選項A可知 為增函數，當 x ∈ （ - ∞ ， 0 ） 時， ，當 x ∈ （ 0 ，+ ∞ ） 時， ，所以 g （ x ） 在 （ - ∞ ， 0 ） 上單調遞減，在 （ 0 ， + ∞ ） 上單調遞增，故B錯誤.

對于選項C，給出以下兩種方法.

令 h （ x） = t a n hx ，則

方法1由 在 上單調遞增，且 y = ，則 h （ x ） 是增函數，故C正確.

方法2 易知

則 h （ x ） 是增函數，故C正確.

對于選項D，由選項C可知tanh

所以 ，故D正確.

綜上，選ACD.

2 教材銜接

人教A版普通高中教科書數學必修第一冊第160頁的第6題和第161頁的第12題與此題緊密相關，可以肯定的是這兩道教材習題就是該題命題之源，

2.1 習題呈現

習題1（人教A版普通高中教科書數學必修第一冊第160頁第6題）設 ，求證：

（1） （204號 （2） f （ 2 x ）=2 f （ x ） g （ x ） = （3）

利用簡單代數運算即可證明，解答過程略.

習題2（人教A版普通高中教科書數學必修第一冊第161頁第12題）對于函數f（x）=a－2 0 ·

（1）探索函數 f （ x ） 的單調性；

（2）是否存在實數 a 使函數 f （ x ） 為奇函數？

解答過程類似2025年八省聯考第10題的選項C的解答過程.

2.2 命題意圖

兩道習題所在位置是人教A版普通高中教科書數學必修第一冊第四章的章末習題，2025年八省聯考第10題可以視為這兩道習題的進一步拓展與延伸，結合習題位置對比A，B，C三個選項中的方法1和方法2，命題人青睞考生用方法1進行解答，考查“多思少算”的思維品質.由于函數單調性的定義與導數的學習間隔時間長，學生遇到單調性問題就會產生慣性思維，首選用導數來研究，難以想到拆分函數解析式，借助函數單調性的定義來判斷.這樣的解法，增加計算量，降低解題效率.此外對于選項C，無論是運用方法1還是方法2求解，都需要將雙曲正切函數tanh x 轉化為 e+1'從而判斷函數的單調性，主要考查學生化繁為簡、拆分復雜函數為簡單函數的能力.對于選項D，命題人希望通過該選項將數學知識面廣、數學能力強、數學素養高及綜合表現突出的考生識別出來.

3 拓廣探索

3.1 雙曲函數的歷史溯源

雙曲函數最初由17世紀數學家雅可比·伯努利提出：兩端系于兩個固定點的均勻繩索，在僅受其自身重力的作用下形成的曲線是什么曲線？他本人和伽利略起初都誤認為是一條拋物線.但是，后來他和其他數學家用微分方程推導出其曲線方程為 ，并稱之為懸鏈線.當 a = 1 時，其方程為雙曲余弦函數.在數學中，雙曲函數是一類與常見的三角函數類似的函數.基本的雙曲函數包括雙曲正弦函數sinh x 、雙曲余弦函數cosh x 以及雙曲正切函數tanh x ，它們的定義可參考2025年八省聯考第10題的題干.此外，還有雙曲正割函數sech x 、雙曲余割函數csch x 、雙曲余切函數coth x 等.這些函數的定義與推導過程類似于三角函數的定義與推導.同樣地，類似于三角函數，雙曲函數的反函數稱為反雙曲函數.為拓寬學生的知識視野，可適度挖掘試題蘊含的知識背景，鑒于雙曲函數及反函數的內容較多，本文只介紹與2025年八省聯考第10題類似的性質，其論證過程類似2025年八省聯考第10題的解答過程，感興趣的讀者可自行完成.

3.2 雙曲函數的定義

雙曲正弦函數、雙曲余弦函數、雙曲正切函數的定義見上述八省聯考第10題的題干，下面介紹雙曲正割函數、雙曲余割函數、雙曲余切函數相關定義.

雙曲正割函數：

雙曲余割函數：

雙曲余切函數：

3.3 基本關系

平方關系： 商數關系：tanh x=sinh x.

倒數關系：tanh x coth x = 1 ，sinh x csch x = 1 cosh x sech x = 1

倍角關系：

sinh 2 x = 2 sinh x cosh x .

加法公式：

sinh （ x + y ） = sinh x cosh y + cosh x sinh y ， cosh （ x + y ） = cosh x cosh y + sinh x sinh y ，

減法公式：

sinh （ x - y ） = sinh x cosh y - cosh x sinh y ， cosh （ x - y ） = cosh x cosh y - sinh x sinh y ， （2號

輔助角公式：

A sinh x + B cosh x = λ sinh （ x + w ） （ A gt; ∣ B ∣ gt; 0 ） ， （2其中λ=√A2-B2，

證明 #cosh x），類比三角函數輔助角公式尋找合適的入，ω ，使得

以上方程組對應兩個關于 的一元二次方程，即

根據一元二次方程求根公式解得

不符合條件的根已直接舍去，從而 ，將 λ 回代可得 即 ，輔助角公式得證.

導數： ，

泰勒展開（同三角函數比較）：

注：泰勒展開蘊含豐富的信息，例如，可以幫助學生更自然地理解雙曲函數中的平方關系、加法公式、減法公式、倍角公式與對應三角函數相應公式的差異之處.

反函數：

證明設 y = sinh x ，則 ，從而

令 ，則

由一元二次方程的求根公式解得 （舍）或 ，故 ，所以

則arsinh .雙曲余弦函數和雙曲正切函數的反函數求解過程與此類似，感興趣的讀者可自行完成.

不等式鏈：cosh sinh x ? tanh x

證明 顯然cosh x -sinh 因為

所以tanh ，則

3.4雙曲函數的綜合應用

例1若函數 ）有唯一零點，則 a 的值為（ ）.

因為函數 有唯一零點，所以方程 f （ x ） = 0 有唯一的實根，即 有唯一的實根.令

因為雙曲余弦函數 y = cosh x 的最小值為1，對稱軸方程為 x = 0 ，將函數 y = cosh x 的圖像向右平移一個單位，再將圖像上所有點的縱坐標變為原來的2倍即可得到函數 的圖像，所以 的最小值為2，且對稱軸方程為 x = 1 . 又二次函數 的最大值為1，對稱軸方程為 x = 1 ，所以 .故選C.

例2 （2018年全國Ⅱ卷理3）函數 f （ x ） = 的圖像大致為（ ）.

因為 ，雙曲正弦函數

所以 ，由雙曲正弦函數的奇偶性可知f （ x ） 是定義域上的奇函數，故排除選項A.

因為 （x-2）e2+（x+2）e2，當gt;2時， 單調遞增，故選項C和選項D錯誤.

綜上，選B.

例3 已知函數 且 ，則實數 a 的取值范圍為

？ 因為 和 y = 解析 在 上單調遞增，且為奇函數，所以 f （ x ） 在 上是單調遞增的奇函數，故

又 f （ x ） 在 上單調遞增，所以 ，即

一例4將一條均勻柔軟的鏈條兩端固定，在重力的作用下它所呈現的形狀叫懸鏈線.建立適當的平面直角坐標系，可寫出懸鏈線的函數解析式為 f （ x ） = a cosh ，其中 為懸鏈線系數，cosh x 稱為雙曲余弦函數，其函數表達式為cosh ，相應地，雙曲正弦函數的函數表達式為sinh .若直線 x = m 與雙曲余弦函數 和雙曲正弦函數 分別相交于點 A ， B ，曲線 在點 A 處的切線與曲線 在點 B 處的切線相交于點 P ，則（ ）.

A. 是偶函數

B. cosh （ x + y ） = cosh x cosh y - sinh x sinh y C. ∣ B P ∣ 隨著 的增大而減小

D. Δ P A B 的面積隨著 的增大而減小

O 對于選項A， y = sinh x cosh 是

解析

奇函數，所以A錯誤對于選項B，有

此處相當于將兩角差的雙曲余弦公式證明了一遍，若平時有積累，可直接判斷，故B錯誤.

對于選項C，設 ，曲線 在 A 處的切線為

曲線 在點 B 處的切線為

聯立兩切線方程得 ，從而

令 ，則

因為 和 都是增函數，所以 是增函數，則在 （ 0 ， + ∞ ） 上， ，所以 在 （ 0 ， + ∞ ）上隨著 的增大而增大，從而∣ B P ∣ 在 （ 0 ， + ∞ 上隨著 的增大而增大，故C錯誤.

對于選項 ，從而 隨著 的增大而減小，故D正確.

綜上，選D.

3.5基本關系試題命制

對雙曲函數知識進行拓展不難發現，基本關系是試題命制的來源，通過改編的方式，能命制高質量的試題.

試題1已知 ，則不等式 f （ 2 t ） - f （ t - 1 ）≥0 的解集為

答案

試題2若 是偶函數，則 a =_

答案 - 2

試題3設 f （ x ） ， g （ x ） 的定義域為 ，且滿足f （ x - y ） = f （ x ） g （ y ） - f （ y ） g （ x ） ， g （ x - y ） = ，則下列選項正確的是（ ）.

A. f （ x ） 為偶函數 B. g （ x ） 為奇函數 C.若 f （ 1 ） + g （ 1 ） = 1 ，則 - 1 D.若 f （ 1 ） - g （ 1 ） = 1 ，則

答案C.

試題4已知實數 滿足 ，則 ab的最小值是答案

4小結

通過對2025年八省聯考第10題的解法探究和知識拓展得出一些高考備考啟示.

首先，回歸教材，夯實基礎.教材是課程標準的具體表現，是學生復習備考的重要資料.教材覆蓋數學基礎知識和核心概念，有益于建立完整的知識框架.高考命題以教材為依據，本著基于教材又高于教材的原則，例如，2025年八省聯考第10題，以教材習題為基點，以高等數學為背景，以新定義為手段，考查學生對函數單調性、指數運算等基礎知識的掌握情況.后續的復習該如何回歸教材？筆者認為：一是師生共同精讀教材，對教材中的概念、原理、例題等進行深度閱讀與分析，標注重點、難點和疑點；二是形成知識結構，通過列提綱、畫思維導圖等方式，梳理教材中的知識點，形成知識網絡；三是重視教材的例題與習題，高三復習需要深挖教材的例題與習題，尤其針對拓廣探究欄目的習題，學生需要從試題解法、知識背景等方面進行二次開發，達到鞏固和拓展延伸知識的目的.

其次，變式拓展，提升能力.復習備考并非簡單的知識羅列、解題技巧的訓練，復習也是一種探究學習.在解題中，學生需要思考解法的思維過程，例如，2025年八省聯考第10題四個選項的解答，主要考查函數單調性的求解策略，拆分法適用于解析式較復雜的復合函數單調性的判斷.復習課的探究，有助于學生對數學概念形成的再理解、結論生成過程的再鞏固和解題方法的再發現，在探究過程中形成分析問題和解決問題的能力.

最后，強化思維，培育素養.學生思維品質、思維方式和思維模式的好壞，決定了數學素養的高低，會影響學生綜合性試題解決方式.從素養層面分析，2025年八省聯考第10題主要考查學生的數學運算、邏輯推理等素養，選項D的判斷，需要學生具備較好的指數運算的能力；從思維方式層面分析，學生對函數單調性的判斷，決定了學生思維的選擇性和靈活性.高三階段的復習備考中，強化學生思維是提高復習備考效果的關鍵.

（完）