需要重視的命題新動向

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》雖未明確指出對反函數的考查要求，但從教材內容來看，對于反函數的學習，學生需要掌握函數 y = 與 互為反函數以及反函數的定義域和值域分別是原函數的值域和定義域等知識.教材配套的習題也對這些知識進行了練習鞏固.

如果僅從人教A版普通高中教科書數學必修第一冊第134頁關于反函數的敘述和習題來判斷，認為反函數的考試要求很低，那就錯了.

從教材第135頁探究與發現可以看出，教材體現了學生自主探究與學習反函數的相關知識，比如，反函數與原函數的圖像間的關系，圖像關于直線 y = x 對稱的兩個函數互為反函數，函數 與 與函數 y = x 之間的關系等，這為考試創設了命題空間.

近年來，圍繞反函數的試題在單選題、多選題、填空題、解答題中均有體現，在高考和各地模擬考試中大多數試題沒有明確提及反函數，但以反函數為背景的試題成為命題熱點.導數部分常涉及函數 ， 或它們的復合函數，所以命題者熱衷于將反函數與導數相結合來命制相關試題，以此考查學生的數據分析、數學運算等數學學科核心素養.下面以近幾年的高考題與模擬試題為例分析反函數的命題動向.

1與反函數有關的求值問題

例1已知函數 的零點 為 ，若 ，則 k 的值是 ； 若函數 的零點為 ，則 的 值是

易知 f （ x ） 在 （ 0 ， + ∞ ） 上是增函數，且 f （ 1 ） = ，則 f （ 1 ） f （ 2 ） lt; 0，故 ，所以 k = 1 . 又

而 ，在同一平面直角坐標系中作出函數 的圖像，如圖1所示.易知 關于直線 y = x 對稱，并且 y = 2 - x 與 y = x 垂直，交點坐標為（1，1），所以

點本題給定兩個函數，但并沒有直接指明它們互為反函數，需要深入分析、提取反函數信息助力解題.與反函數有關的求值問題常以導數的幾何意義、函數與方程、不等式等形式出現，要求求 的值.因此，遇到同底的指數函數和對數函數問題時，有意識地利用反函數的性質對問題進行轉化可能會收獲事半功倍的效果.

2 原函數與反函數的圖像間的關系問題

例2若直線 與曲線 相 切，直線 與曲線 相切，則 的值為（ ）.

A.1 B.e

注意到兩條直線都過定點 （ - 1 ， - 1 ） ，該點在直線 y = x 上，曲線 與曲線 關于直線 y = x 對稱，所以這兩條切線關于直線 y = x 對稱，則這兩條切線的傾斜角互余，于是 ，故選A.

利用原函數與反函數圖像的對稱性，分析得出直線 與直線

1）—1都過定點 （ - 1 ， - 1 ） ，且定點在直線 y = x 上，從而找出兩條切線傾斜角的關系，大大減少了運算量，這是命題人刻意設置的考查反函數性質的試題.如果從導數角度求切線的方程，再找等量關系就落入了命題人設置的俗套，計算量會比較大.由原函數與反函數圖像的對稱性，原函數與反函數的交點要么在直線 y = x 上，要么關于 y = x 對稱.

例3若 （ a gt; 0 且 a ≠ 1 ）恒成立，則 a 的取值范圍是（ ）.

A. （0，1） B. （ 1 ， + ∞ ）

C.

O 當 agt;1 時，因為 與 互為反解析 函數，所以問題等價于 在 （ 0 ， + ∞ ） 上恒成立.

構造函數 ，則 f （ x ） 在（0， ）上單調遞減，在（loga In a 上單調遞增，故 ，解得 ：

當 0＜ａ＜1，不符合題意.

綜上，選C.

抓住 與 互為反函數的圖像特征，可知當0＜ａ＜1時， 的臨界情況是這兩個函數都與y = x 相切，則可將原問題轉化為 在 （ 0 ， + ∞ ） 上恒成立，進而構造函數求解，也可同時取對數，再進行參變分離，使問題迎刃而解，這體現了多想少算的命題思想.1）若 f （ x ） 與 g （ x ） 互為反函數且 f （ x ） gt; g （ x ） 恒成立，則 恒成立，這其實用到了導數中的切線放縮.2）深入研究發現 與 的交點個數情況如下：當 時，函數 與 的圖像有兩個交點；當 時，函數 y = 與 的圖像有一個交點；當 時，函數 與 的圖像沒有交點；當 時，函數 與 的圖像有三個交點；當 時，函數 與 的圖像有一個交點.近幾年很多試題本質上就是考這兩個基本結論.

例4設 P 為曲線 上的動點， Q 為曲線 上的動點，則稱 ∣ P Q ∣ 的最小值為曲線 之間的距離，記作 .若 ： l n x + ，則

O 曲線 分別是函數 這兩個函數互為反函數，所以它們的圖像關于直線y = x 對稱，則 ，其中 d 為曲線 上的動點到直線 y = x 的距離.

設與直線 y = x 平行的直線切曲線 于點 M .由 2，可得y'=2 ，切點 M 的坐標為 （ l n 2 ， 1 ） ，點 M 到直線 y = x 的距離就是 ，所以

故

利用原函數與反函數的圖像關于直線 y = x 對稱，將曲線 之間的距離 轉化為曲線 上的動點到直線 y = x 的距離的2倍，大大簡化了運算過程.互為反函數的兩函數圖像上兩動點間距離的最小值問題，通常轉化為其中一動點到直線 y = x 的距離的2倍.

3原函數、反函數與函數 y= x 的關系問題

例5若不等式 在 x ∈ （ 1 ， + ∞ ）上恒成立，則 的最小值為（ ）.

A. （20 B.e C.e-1 D.e2

0 注意到 與 互為反函數，且 是凸函數，所以

分離參數得 在 x ∈ （ 1 ， + ∞ ）上恒成立，易得 恒成立，所以 .又 m gt; 0 ，所以 的最小值為 ，故選A.

例6（2020年山東卷21，節選）已知函數 .若 f （ x ）?1 恒成立，求實數 的取值范圍.

由 f （ x ）?1 ，可得 因為 y = （20 與 互為反函數，所以這兩個函數的圖像關于直線 y = x 對稱，則

即 在 （ 0 ， + ∞ 上恒成立.令 0），則 g （ x ）在 （ 1 ， + ∞ ） 上單調遞減，則 ，故實數 a 的取值范圍是 [ 1 ， + ∞ ） L

利用反函數、原函數與函數 y = x 的關系將問題轉化為不等式恒成立問題，思路清晰明了，但是對考生的觀察分析和數據處理能力要求極高.

4與反函數有關的綜合問題

例7 （多選題）已知 ， 則（ ）.

A. B. C. D.2agt;e1-↓

對于A，因為 與 解析與 互為反函數，所以 1 lt; b ，則 ，故A正確.

對于B，若 ，則 .因為 是增函數，且 a lt; 1 lt; b ，所以 不可能成立，故B錯誤.

對于C，因為 ，所以 ，則 1+1gt;e2，這與e2≥+1矛盾，故C錯誤.

對于D，因為 （當且僅當 x = 1 時，等號成立），且 bgt;1 ，所以 ，故D正確.綜上，選AD.

例8 （多選題）已知函數 的圖像與 y = 的圖像相交于 A ， B 兩點，與函數 的圖像相交于 C， D 兩點，若 A ， B ， C ， D 四點的橫坐標分別為 ，且 ，則下列結論正確的有（ ）.

A. C. D 如圖2所示，因為 與 互為反函數，且 的反函數是其本身，所以點 A 與 C， B 與 D 關于直線 y = x 對稱，則 ， ，故選項C、選項B與選項A是等價的.

設函數 由題意可知 因為

所以 都是 f （ x ） 的零點.又 在 （ - ∞ ， 1 ） ， （ 1 ， + ∞ ） 上單調遞增，所以 ，即 且 ，因此 ，故D錯誤.

綜上，選ABC.

點在多選題中結合等式、不等式、函數的性質、函數的圖像特征等知識綜合考查反函數，可以培養學生信息提取、思維轉化、綜合分析等能力.這類題符合近年來實現高考由“以綱定考”到“考教銜接”的方針.因此，筆者認為求解這類題不應只注重技巧，還應把握問題本質，弄透教材中的概念.

反函數知識本身不難，但是與反函數相關的知識豐富多彩，因此近年來命題者常常以反函數為載體綜合其他知識命制試題.反函數是熱門考點，近年來從顯性考查逐步向隱性考查過渡，學生在做題時應學會利用原函數與反函數的對應法則具有互逆性、原函數與反函數的定義域與值域具有互逆性、原函數與反函數的奇偶性與單調性具有一致性、原函數與反函數的圖像具有對稱性等來轉化問題.在學習反函數時，結合反函數的概念、指數函數和對數函數、互為反函數的函數圖像關系適當拓展知識面，同時注重從表面看似與反函數無關的試題中提取反函數信息是十分必要的.在解題中，若能正確把握反函數的實質，靈活運用原函數與反函數的關系，有時可達到化繁為簡、化難為易的目的，進而提高解題的速度和準確性.

（完）