從知識(shí)方法到思維品質(zhì)

1 引言

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》要求高考命題中應(yīng)特別關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中思維品質(zhì)的形成.衡量一個(gè)人的思維品質(zhì)主要包括廣闊性、深刻性、敏捷性、靈活性、獨(dú)創(chuàng)性和批判性，這六個(gè)維度共同塑造了一個(gè)人的思維品質(zhì)進(jìn)階路線（如圖1），其中廣闊性與深刻性是思維品質(zhì)的根基，它代表知識(shí)方法理解層面的厚度；敏捷性與靈活性是思維品質(zhì)的樹干，它決定問(wèn)題分析應(yīng)變層面的速度；獨(dú)創(chuàng)性與批判性是思維品質(zhì)的枝葉，它指向問(wèn)題解決創(chuàng)新層面的高度.基于此，筆者從知識(shí)方法到思維品質(zhì)去評(píng)析高考試題的命題立意.

2 試題呈現(xiàn)

題目 （2024年新課標(biāo)I卷16）已知 A （ 0 ， 3 ） 和 為橢圓 c 上兩點(diǎn).

（1）求 C 的離心率；（2）若過(guò) P 的直線 l 交 C 于另一點(diǎn) B ，且△ABP的面積為9，求 的方程.

3 解法評(píng)析

第（1）問(wèn)主要考查橢圓的基礎(chǔ)知識(shí)，包括長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)、半焦距、離心率以及它們之間的關(guān)系.將已知兩點(diǎn)坐標(biāo)代人橢圓方程，通過(guò)待定系數(shù)法即可解得 2.下文將探討第（2）問(wèn)的解法特點(diǎn)及其蘊(yùn)含的思維品質(zhì).

3.1突出知識(shí)方法的深刻理解，體現(xiàn)思維的厚度

解法1當(dāng) 的斜率不存在時(shí)，直線 的方程為 ，點(diǎn) A 到直線 P B 的距離d = 3 ，此時(shí) ，不符合題意.

當(dāng) 的斜率存在時(shí)，設(shè)直線 的方程為 .設(shè) ，聯(lián)立

消去 y 可得

由于 ，即 ，故

所以

故

又點(diǎn) A 到直線 P B 距離 則

整理得

解得 或 ，均滿足題意，故直線 的方程為 y = 或 2χ-3，即x-2y=0或3x-2y-6=0.

解法2設(shè) ，由解法1得

因?yàn)? ，所以

設(shè) 與 y 軸的交點(diǎn)為 Q ，令 x = 0 ，得 Q （ 0 ， - 3 k + ，則

所以 或 1

因此，直線 l 的方程為 x - 2 y = 0 或 3 x - 2 y - 6 = 0 ：

解法3 當(dāng)直線 A B 的斜率不存在時(shí)， B（ 0） -3），S△ABP ，符合題意，則 ，直線 的方程為 2x-3，即3x-2y-6=0.

當(dāng)直線 A B 的斜率存在時(shí)，設(shè)直線 A B 的方程為y = k x + 3 ，與橢圓方程聯(lián)立得 則

其中 ，即 ，解得 x = 0 或 所以"y = 3 （舍）或 則 .直線 A P 的方程為

x + 2 y - 6 = 0 .

又 則點(diǎn) （20 B 到直線 A P 的距離 ，故

解得 此時(shí) ，此時(shí) 直線 l （20的方程為 2x，即x-2y=0.

綜上，直線 的方程為 x - 2 y = 0 或 3 x - 2 y - 6 = 0

解法1是聯(lián)立方程消元，這是求解圓錐曲線問(wèn)題的通性通法.該解法涉及較多知識(shí)點(diǎn)，如點(diǎn)到直線的距離公式、弦長(zhǎng)公式、三角形的面積公式及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系等.消元轉(zhuǎn)化為統(tǒng)一變量后的式子煩瑣復(fù)雜，運(yùn)算量大，很難計(jì)算出結(jié)果.原因在于底和高都在變化，如果考生能成功解題，說(shuō)明其知識(shí)儲(chǔ)備很豐富，有極其扎實(shí)的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和耐心細(xì)致的品質(zhì).解法2利用圖形的幾何性質(zhì)簡(jiǎn)化運(yùn)算，這是求解解析幾何問(wèn)題的基本方法.解法3則是先求出點(diǎn) B 的坐標(biāo)，再求直線l的方程.這種方法以 A P 為底，底不變而高在變，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn) B 到直線A P 的距離為定值的問(wèn)題.用解法3求解該題的考生能深入觀察細(xì)節(jié)，抓住問(wèn)題的突破口— —求點(diǎn) B 的坐標(biāo)，調(diào)整運(yùn)算方向，優(yōu)化運(yùn)算，體現(xiàn)了思維的深刻性.

3.2突出問(wèn)題分析的靈敏反應(yīng)，體現(xiàn)思維的速度

解法4設(shè) ，同解法3得點(diǎn) B 到直線（20號(hào) A P 的距離為 ，直線 A P 的方程為 x + 2 y - 6 = 0，則

解得 B （ 0 ， - 3 ） 或

因此，直線 的方程為 x - 2 y = 0 或 3 x - 2 y - 6 = 0

解法5設(shè) B （2 cos θ ， 3 sin θ ; ，其中 θ ∈ [ 0 （20號(hào) 2 π ） ，同解法3得點(diǎn) B 到直線 A P 的距離為 ，直線 A P 的方程為 x + 2 y - 6 = 0 ，則

與 聯(lián)立，解得

即 B （ 0 ， - 3 ） 或

因此，直線 的方程為 x - 2 y = 0 或 3 x - 2 y - 6 = 0 ：

解法1、解法2、解法3都是從設(shè)線入手，解法4與解法5是從設(shè)點(diǎn)入手，相比之下后者的解題過(guò)程更簡(jiǎn)捷.用解法4和解法5求解該題的考生沒(méi)有掉入常規(guī)的思維陷阱，更注重計(jì)算方法的探究和題干的轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了對(duì)問(wèn)題分析層面的重視以及思維的敏捷性和靈活性.另外這里涉及解絕對(duì)值方程，如果考生不經(jīng)思考就進(jìn)行分類討論，聯(lián)立方程后通過(guò)代數(shù)計(jì)算排除不符合條件，這就會(huì)增加解題時(shí)間.去絕對(duì)值時(shí)若能用到截距式方程的幾何意義及數(shù)形結(jié)合思想，就能快速判斷出其中一條直線與橢圓沒(méi)有交點(diǎn).考生在分析問(wèn)題時(shí)若沒(méi)有陷入代數(shù)思維的困境，理智地跳出固化思維，就能靈活地從幾何角度分析問(wèn)題，優(yōu)化運(yùn)算.

3.3突出問(wèn)題解決的批判創(chuàng)新，體現(xiàn)思維的高度解法6 同解法3可得點(diǎn) B 到直線 A P 的距離為

直線 A P 的方程為 x + 2 y - 6 = 0 . 將直線 A P沿著垂直 A P 的方向平移 個(gè)單位，此時(shí)該平行線與橢圓的交點(diǎn)即為點(diǎn) B .設(shè)該平行線的方程為 x +2 y + C = 0 ，則 ，解得 C = - 1 8 （舍）或 ！6.當(dāng) C = 6 時(shí)，聯(lián)立 解得 或

3 即B（O，-3）或B（-3，

因此，直線 的方程為 x - 2 y = 0 或 3 x - 2 y - 6 = 0 ：

解法7 設(shè) B （ x ， y ） ，則 ！ （3， ，故

當(dāng) 時(shí)， 2x+9與橢圓沒(méi)有交點(diǎn)：當(dāng) 時(shí)，由

解得 B （ 0 ， - 3 ） 或

因此，直線 l 的方程為 x - 2 y = 0 或 3 x - 2 y - 6 = 0

解法8 當(dāng)點(diǎn) B 在橢圓的下頂點(diǎn) （ 0 ， - 3 ） 時(shí)， ，符合題意；當(dāng)點(diǎn) B 為點(diǎn) P 關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn) 時(shí)，有

也符合題意.由于

則 與 ∣ A P ∣ 均為定值，所以 A P 邊上的高為定值，符合條件的點(diǎn) B 最多兩個(gè)，故 或

因此，直線 l 的方程為 x - 2 y = 0 或 3 x - 2 y - 6 = 0

解法6通過(guò)將點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩條平行線間的距離問(wèn)題.解法7與前面用到的常規(guī)的三角形面積公式（ 底×高）不同，改為利用三角形面積的向量坐標(biāo)公式（ ，令人眼前一亮.解法8觀察到已知點(diǎn)的坐標(biāo)和三角形面積數(shù)據(jù)相關(guān)性極強(qiáng)，利用數(shù)學(xué)直覺(jué)直接得到答案.這幾種解法新穎，計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)明快捷，高效地解決了問(wèn)題，體現(xiàn)了獨(dú)創(chuàng)性.然而，越是表面簡(jiǎn)單的東西，越是藏著深層的內(nèi)涵.解法6需明確問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是點(diǎn) B 在 A P 的平行直線上，這是運(yùn)用幾何性質(zhì)引導(dǎo)運(yùn)算的體現(xiàn).同樣地，解法7要理解教材的大單元整體觀，注重知識(shí)的關(guān)聯(lián)性，理解三角形面積的向量坐標(biāo)公式及其推導(dǎo)過(guò)程，理解向量溝通“數(shù)與形”的橋梁作用.解法8找對(duì)稱中心的本質(zhì)是兩個(gè)同底的三角形面積之比等于高的比，因此延長(zhǎng)其中一邊為原來(lái)的兩倍，即可找到滿足條件的點(diǎn) B ，但是考生必須要明確符合條件的點(diǎn)只有兩個(gè).這些解法無(wú)一不在引導(dǎo)復(fù)習(xí)備考應(yīng)以素養(yǎng)為導(dǎo)向，讓學(xué)生學(xué)會(huì)選擇合適的方法解決問(wèn)題.

4總體評(píng)析及推廣

2024年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)I卷第16題第（2）問(wèn)考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，這里涉及兩個(gè)未知量：點(diǎn)B的坐標(biāo)和直線的方程.如何表征ABP的面積是該題的核心，解題的關(guān)鍵在于求出點(diǎn) B 的坐標(biāo)本文給出該題的八種解法，各種解法涉及的主干知識(shí)基本相同但又各具特點(diǎn)，在計(jì)算量和思維量上存在較大差異，體現(xiàn)了思維品質(zhì)的三個(gè)層次（如圖2）.

核心問(wèn)題 解決路徑 方法特點(diǎn) 思維品質(zhì)S△ABp=S△AOP+S△AOB 解法8：從特殊點(diǎn)入手，觀察發(fā)現(xiàn)符合條件的點(diǎn)；重思維，少算多想高度解法7：從求三角形面積的向量坐標(biāo)公式入 （獨(dú)創(chuàng)性）S△ABP 1AB|X|AP|sin A= 手求點(diǎn)B的坐標(biāo)，方法新穎，計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)捷 （批判性）1xv-xv11， 解法6：從設(shè)AP平行線的方程入手求點(diǎn)B的坐標(biāo)，巧用平移簡(jiǎn)化計(jì)算其中AB=（xy1），AP=（x）解法5：利用三角換元，求得點(diǎn)B的坐標(biāo)速度Δ A B P （204號(hào) 計(jì)算 解法4：從設(shè)點(diǎn)入手，列方程組求解更容易 （敏捷性） （靈活性）

的面積 其中 為點(diǎn)B到直線AP的距離

表征解法3：從設(shè)直線AB的方程求點(diǎn)B的坐標(biāo)入手，利用AP為定值減少變量，降低計(jì)算復(fù)雜性SABP 1|AQl·|x-x|解法2：從幾何角度入手，利用水平寬與鉛 厚度垂高乘積的一半表示 （204 （廣闊性）（深刻性） 解法1：從設(shè)直線PB的方程入手，涉及知識(shí)點(diǎn)多、綜合性強(qiáng)，三角形的底和高都其中 為點(diǎn)A到直線BP的距離是變量，計(jì)算量大

試題表面看起來(lái)很簡(jiǎn)單，實(shí)際做起來(lái)不同的方法其解題的效率是截然不同的.命題者一方面落實(shí)對(duì)直線與橢圓位置關(guān)系基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的考查，另一方面又巧妙地在解析幾何的數(shù)形特點(diǎn)上做文章，使試題呈現(xiàn)入口寬、途徑多、思維巧的特點(diǎn)，有效引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)方法到思維品質(zhì)去理解命題立意，拓展學(xué)生的知識(shí)面，培養(yǎng)學(xué)生靈活分析問(wèn)題和創(chuàng)新解決問(wèn)題的能力，提升學(xué)生思維品質(zhì)的厚度、速度和高度.

本文系廣州市南沙區(qū)教育科學(xué)規(guī)劃2023年度課題“高中數(shù)學(xué)項(xiàng)目式學(xué)習(xí)案例的開發(fā)與實(shí)踐\"（項(xiàng)目編號(hào)：NSJYKY2023089）研究成果.

（完）