歸教材 探題根 尋解法 談“銜接”

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《課標》和《中國高考評價體系》指出，高考試題命制的原則是“源于教材，又高于教材”.對于這一要求，2025年高考綜合改革數(shù)學(xué)適應(yīng)性測試試卷落實得很到位，此次的數(shù)學(xué)適應(yīng)性測試題是由教育部教育考試院命制的，該套試卷依據(jù)“依標命題、源于教材\"的命題理念，強化與《課標》教材銜接.本文通過回歸教材，探究本套試卷中第18題的題源及解法.

1 歸教材 探題根

題源1（人教A版普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性

必修第一冊第114頁例7）如圖1所示，已知直線 l ： 4 x - 5 y + m = 0 和橢圓 C 為何值時，直線 與橢圓 C ：

（1）有兩個公共點？

（2）有且只有一個公共點？

（3）沒有公共點？

由方程組 消去 y 得

則 由 Δ gt; 0 ，可得 - 2 5 lt; m lt; 2 5 ，此時方程 ① 有兩個不相等的實數(shù)根，直線 l 與橢圓 C 有兩個不同的公共點.由 ，可得 ，此時方程 ① 有兩個相等的實數(shù)根，直線 與橢圓 C 有且只有一個公共點.由 ，可得 m lt; - 2 5 或 m gt; 2 5 ，此時方程 ① 沒有實數(shù)根，直線 與橢圓 C 沒有公共點.

該例題是以直線與橢圓公共點個數(shù)為情境的求參數(shù)取值范圍問題.從知識層面上看，該題滲透了直線與橢圓的三種位置關(guān)系：直線與橢圓有兩個公共點 ? 直線與橢圓相交；直線與橢圓有且只有一個公共點 ? 直線與橢圓相切；直線與橢圓沒有公共點 °leddash 直線與橢圓相離.從解題方法層面上看，該題滲透了判斷直線與橢圓位置關(guān)系的基本方法，具體求解步驟如下：（1）根據(jù)題意得到直線和橢圓方程；（2）聯(lián)立直線和橢圓方程，消元得到一元二次方程；（3）計算 ，根據(jù) Δ gt; 0 ， Δ lt; 0 ， Δ = 0 判斷直線與橢圓的位置關(guān)系.

例（2025年高考綜合改革數(shù)學(xué)適應(yīng)性測試第18題）已知橢圓 C 的離心率為 ，左、右焦點分別為

（1）求 C 的方程；

（2）已知點 ，證明：線段 的垂直平分線與 C 恰有一個公共點；

（3）設(shè) M 是坐標平面上的動點，且線段 的垂直平分線與 C 恰有一個公共點，證明 M 的軌跡為圓，并求該圓的方程.

分析從題目的情境角度來看，題源1和例題都是考查直線與橢圓的位置關(guān)系，但例題的第（2）問和第（3）問都考查直線與橢圓 C 恰有一個公共點，由此可見該題側(cè)重于考查直線與橢圓相切.題源1的第（2）問是直線 4 x - 5 y + m = 0 與橢圓 有且只有一個公共點求參數(shù) 的值;例題的第（2）問中給了直線方程及橢圓方程，求證直線與橢圓恰有一個公共點.雖然問題不一樣，但解題思路是一樣的，都是將直線方程與橢圓方程聯(lián)立、消元，然后令 解決問題，充分體現(xiàn)了試題“題在課外，答在課內(nèi)\"的特點.例題的第（3）問是在第（2）問的基礎(chǔ)上拓展提升，但可以利用題源1第（2）問的解題思路找到解決該問的一種方法，體現(xiàn)了試題“源于教材，又高于教材”的特點.因此，例題是由題源1拓展而來的.

2 歸教材 尋解法

2.1歸教材——設(shè)線 + 聯(lián)立十判別式求解

上文分析了人教A版普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第114頁的例7與2025年高考綜合改革數(shù)學(xué)適應(yīng)性測試第18題之間的關(guān)系，根據(jù)題源1所滲透的思想方法可以得到例題第（3）問的兩種解法，具體過程如下.

解法1 設(shè) ，當 時， 的垂直平分線方程為 ，此時0-1 ，解得 或一3，此時 M 的坐標為（5，0）或 （ - 3 ， 0 ）

當 時， 的垂直平分線方程為

聯(lián)立 可得

因為線段 的垂直平分線與 C 恰有一個公共點，故

即 ，則

即

（204號 即 因為 ，所以

而 （ 5 ， 0 ） ， （ - 3 ， 0 ） 也滿足該式，故點 M 的軌跡是圓，該圓的方程為 ，即

該解法是解決此類問題的通性通法，也是大多數(shù)學(xué)生都能想到的方法，但是能算出結(jié)果的寥寥無幾，這體現(xiàn)了試題“入口寬，出口難”的特點.認真研究教材，可以發(fā)現(xiàn)教材中蘊藏著例題的簡便解法，這體現(xiàn)了試題“多考想，少考算”的特點.

2.2歸教材—設(shè)線 + 聯(lián)立十幾何性質(zhì)求解

受教材中例題圖形的啟發(fā)，再結(jié)合試題的已知條件“線段 的垂直平分線與 C 恰有一個公共點”，可畫出如圖2所示的圖形，結(jié)合其中的直線位置關(guān)系可以得到例題第（3）問的第2種解法，過程如下.

解法2 如圖2所示，作橢圓 C 的一條切線 ，過原點作直線 且 ，過 作直線 的垂線，垂足為點 N ，則 ，設(shè)垂足為點H ，直線 的方程為

m x + n y = 1 （ m ， n 不同時為0），當 時，聯(lián)立方程 得 ，則，

由題意可知

整理得

設(shè)直線 的方程為 m x + n y = 0 （ m ， n 不同時為0），則直線 與 的距離為 點 到直線 的距離

在 中， ，所以

則

聯(lián)立①②，得|ON｜2= ，即 ，所以點 N 的軌跡方程為 又點 N 為線段 的中點，所以 ，故 當 y = 0 時，直線 的方程為 x = ± 2 ，此時 M 的坐標為 （ - 3 ， 0 ） 或（5，0），滿足方程 （ x - 因此，點 M 的軌跡是圓，該圓的方程為 （20

該解法是幾何與代數(shù)相結(jié)合的一種方法，充分利用橢圓的幾何性質(zhì)，并結(jié)合“齊次化”運算技巧優(yōu)化了計算過程，此方法主要考查學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)及數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

2.3歸教材—利用橢圓光學(xué)性質(zhì)求解

題源2（人教A版普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第113頁例5）如圖3所示，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面（橢圓繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面）的一部分.過對稱軸的截口BAC是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個焦點 上，片門位于另一個焦點 上.由橢圓一個焦點 發(fā)出的光線，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個焦點 .已知橢圓的 4 . 5 c m .試建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担蠼乜贐AC所在橢圓的方程（精確到 。

提煉方法此題滲透了橢圓的一條光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線一定經(jīng)過橢圓的另一個焦點.雖然在解題時不能直接用此性質(zhì)，但其可以提供兩種解題思路：一種是先證明此性質(zhì)再用；另一種是借助此性質(zhì)尋找解決問題的突破口，另辟蹊徑求解該題.

解法3如圖4所示，在橢圓 C 中， 為橢圓的兩個焦點，任取橢圓上一點 P ，從焦點 發(fā)出的光線射到點 P ，要想證明反射光線經(jīng)過另一個焦點 ，根據(jù)光的反射原理，只需證明 外角的角平分線所在直線 為橢圓在點 P 處的切線.在 的延長線上取點 ，使得 .設(shè)橢圓的長軸長為 2 a ，則

因為 是 外角的角平分線，所以直線 l 是線段 的垂直平分線，任取 上不同于點 P 的點 A ，則

（20所以點 A 在橢圓之外，由此證明了點 P 為直線 與橢圓 C 的唯一公共點， l 上不同于點 P 的點都在橢圓的外側(cè)，因此 是橢圓在點 P 處的切線.

如圖5所示，設(shè)線段 的垂直平分線 與 C 恰有一個公共點 P ，則當點P 不在橢圓的長軸上時，線段 的垂直平分線 即為橢圓在點 P 處的切線，也為 的角平分線.作 的角平分線P H .由橢圓的光學(xué)性質(zhì)可得 ，則 ，故 ，所以 三點共線，則

故點 M 的軌跡是以 為圓心、4為半徑的圓.當點 P 在橢圓的長軸上時，點 M 的坐標為（5，0）或 （ - 3 ， 0 ） ，其也滿足 ，故點 M 的軌跡是圓，該圓的方程為

受教材中例題的啟發(fā)，充分利用橢圓的光學(xué)性質(zhì)解決問題，可以極大地減少計算量，優(yōu)化解題過程，但這條性質(zhì)需要先證明才能用，用幾何法證明該性質(zhì)并不煩瑣.另外，此解法是解決該題的專題專法，不是通性通法.

解法4設(shè)線段 的中點為 Q ，其垂直平分線與橢圓 C 的切點為 P .當切線 P Q 的斜率存在且不為0時，設(shè) P Q 的方程為 y = k x + t ，聯(lián)立方程 消去 y 得

由題意可知

整理得 ，解得

即

由于直線 的方程為 ，故聯(lián)立方程 解得 因為 Q 為線段 的中點，所以

同理可得 即 又 ，所以

又 ，所以 ，故

則 三點共線，即 ，故點 M 的軌跡是以 為圓心、半徑為4的圓，其方程為

當切線 P Q 的斜率不存在時，易得點 M 的坐標為（5，0）或 （ - 3 ， 0 ） ，滿足上述方程.

當切線 P Q 的斜率為0時，易求得 M 的坐標為 ），滿足上述方程，

綜上，點 M 的軌跡是圓，該圓的方程為

此方法的指導(dǎo)思想是間接用橢圓的光學(xué)性質(zhì)而不直接用，即光學(xué)性質(zhì)探路，代數(shù)法寫過程.先由橢圓的光學(xué)性質(zhì)推出 三點共線，把問題轉(zhuǎn)化為先證 三點共線，再結(jié)合線段垂直平分線的性質(zhì)及橢圓的定義可知 ，從而可以確定點 M 的軌跡及軌跡方程，但解法計算量偏大，對學(xué)生的計算能力要求比較高.

2.4歸教材一利用三角換元求解

題源3（人教A版普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性

必修第一冊第89頁拓廣探索第10題）在平面直角坐

標系中，如果點 P 的坐標（ x ， ）滿足

，其中 θ 為參數(shù)， r gt; 0 . 證明：點 P 的軌

跡是圓心為 （ a ， b ） 、半徑為 r 的圓.

證明 由 可得 因（204號

為 ，所以 ，即

，故點 P 的軌跡是圓心為 （ a

b ）、半徑為 r 的圓.

提煉方法本題從知識上來說滲透了圓的參數(shù)方程，從方法上來說滲透了三角換元法.因為橢圓的標準方程 可化為 中 ），類比該題，拓展探索，此方法可以推廣到橢圓，即令=cos0， ，則 [ 0 ， 2 π ） ，當涉及有關(guān)橢圓上點的問題時，可用此法進行三角換元.根據(jù)此題的啟示，可以得到例題第（3）問的第5種解法，過程如下.

解法5設(shè)線段 的垂直平分線 l 與 C 恰有一個公共點 P .由（1）可知橢圓方程為 設(shè)點 因為 ，所以由 及兩點間的距離公式可得

兩邊平方化簡整理得

由輔助角公式可得

其中

由題意知該方程 ① 有唯一解.又 所以 ，則

兩邊平方得

則 號 因為 ，所以 0，即 ，故點 M 的軌跡方程為 （ x - ，它表示圓心為（1，0）、半徑為4的圓.

該解法的一個優(yōu)點是思路新穎，體現(xiàn)在利用三角函數(shù)的知識求解解析幾何中的軌跡方程問題，考查了學(xué)生對知識的綜合運用能力.

2.5歸教材—利用直線方向向量求解

人教A版普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊2.3.3節(jié)中推導(dǎo)點到直線的距離公式時，提供了兩種思路：一種是利用兩點間的距離公式，該思路簡單但計算量大；另一種是借助直線的方向向量推導(dǎo)，充分體現(xiàn)了向量的工具性，優(yōu)化了推導(dǎo)過程.由于例題第（3）問涉及兩條直線互相垂直，故可以借助直線的方向向量來求解.

解法6設(shè)線段 的垂直平分線為 ，則 l 為橢圓的切線.設(shè)動點 M （ x ， y ） ，線段 的中點為

當直線 l 的斜率存在時，設(shè)直線 l 的方程為 y = k x + m ，代入橢圓的方程消去 y 得

由題意知 0，整理得 ·

設(shè)直線 l 的方向向量為 .因為 ，所以 ，即

由點 P 在直線 上得

由 得

即

當直線 的斜率不存在時，點 P 的坐標為（2，0）或 （ - 2 ， 0 ） ，也滿足上式.

由中點的坐標公式得 所以 ，即 ，故點 M 的軌跡方程為 ，它表示圓心為（1，0）、半徑為4的圓.

常言道“聽話聽音，敲鑼聽聲”，對于教材中的公式推導(dǎo)、定理證明等，不要僅僅局限于明白推導(dǎo)過程、證明過程，要深挖其中的“言外之意，弦外之音”，探求這些證明過程中所滲透的解題思想、解題方法等，這才是高考真正要考的內(nèi)容.解法6就是受教材中點到直線的距離公式的推導(dǎo)過程的啟發(fā)，發(fā)現(xiàn)了直線方向向量的工具性，此解法充分利用了這一點，減少了計算量，優(yōu)化了解題過程，可以說是此題的最優(yōu)解法.

3 研教材 談\"銜接”

“銜接”即考教銜接，考教銜接中的“考”自然是指高考，具體表現(xiàn)在高考試題等方面，它自然會涉及“考什么”與“怎么考\"的要求.因此，學(xué)生在日常學(xué)習(xí)中應(yīng)將高考試題與教材中的例題進行對比和分析，找出其中的聯(lián)系和差異.這樣可以加深對高考命題趨勢的了解，明確考試方向，在學(xué)習(xí)教材內(nèi)容時更有側(cè)重點，更好地為解答高考試題做準備.通過對歷年高考試題的研究，找出反復(fù)出現(xiàn)的知識點、解題方法、解題思想、命題情境，這就是高考的高頻考點.要認真研究這些高頻考點是怎樣反復(fù)出現(xiàn)在高考試題中的，命題專家是如何對重點知識進行考查的.分析高考試題在考查目標和評價方法上的變化，對試題傳達的信息加以對比和思考，領(lǐng)悟其中新的教育理念，對高三的備考具有很大的指導(dǎo)意義.

那么如何理解考教銜接中的“教\"呢？考教銜接中的“教\"既指教學(xué)，也指教材.教材中的例題、習(xí)題是基礎(chǔ)，是根本，是非常重要的.在學(xué)習(xí)中，通過深挖教材例題、習(xí)題中所滲透的數(shù)學(xué)思想方法，對其進行變式訓(xùn)練，創(chuàng)設(shè)新的學(xué)科探索情境等方式，可以培養(yǎng)思維能力，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).解題反思既要反思題目條件與結(jié)論之間因果關(guān)系能否交換，又要注意命題條件能否等價更換，結(jié)論能否拓展、引申與推廣，圖形的結(jié)構(gòu)能否發(fā)生變化等.反思的過程涉及許多相關(guān)知識，真正做起來就會覺得奇妙無窮.因為反思解決的不僅是一道題，更為重要的是學(xué)生在這一過程中參與了創(chuàng)造性思維活動，可以總結(jié)歸納出一般方法，達到舉一反三、觸類旁通的功效.

（完）