數學解題的根基：軌跡意識與動態思維

在許多變化的幾何問題中，用動態化視角分析靜態化的數學背景，有時能從試題背景中挖掘到蘊藏“動點運動軌跡”的思維頓悟點.運用這種動態數學思維解決問題，可以優化解題過程，發散數學思維.基于此，本文結合典型的試題，溯源歸納出6種類型的軌跡背景，并體會樹立“軌跡意識\"在解題中的價值意蘊，例1設向量 滿足 ，若存在實數 λ ，使得 ，則向量 與 的夾角不等于（ ）.

A. B.60° C.120° D. 150°

分析本題以平面向量的線性運算及數量積運算為背景.如圖1所示，利用條件中的實數λ，確定出點 的運動軌跡，結合題目中的不等式條件，借助“形”能直觀看出向量線性運算后的位置.通過逆向思維辨證分析得到不滿足兩向量夾角度數的緣由.

解設 ， ， ，OC=a+λb，即 OA=2，OB=1，OB //AC.由于λ 是實數，則點 的運動軌跡是直線 O B ，點 的運動軌跡是直線 A C

若向量 與 的夾角為 ，則 O C ⊥ A C ，即 ∣ a + λ b ∣ ? ∣ a + b ∣ ，與題設條件相矛盾.

若向量 與 的夾角為 ，則 O C 與A C 不垂直，直線 A C 上一定存在 ，使得 ，即 ∣ a + λ b ∣ < ∣ a + b ∣

綜上，選C.

由向量運算的平行四邊形法則，結合平面幾何圖形的特征，先直觀分析出點 的運動軌跡，再分析出點 的運動軌跡，再綜合相關運算及根據數形結合思想闡明向量 與 的夾角不能為 的原因，從而直觀破解出其他角成立的依據.

2 “OA為定長\"型

例2 在平面直角坐標系 x O y 中， A ( 4 ， 0 ) ， ，若點 P 滿足 O P = 1 ， P A 的中點為 M ，求BM的最大值.

分析本題以以“動\"帶“動\"為幾何背景，考查圓外一個定點到圓上一個動點的最大距離問題.根據已

知條件，確定點 M 的運動軌跡是解題的關鍵.如圖2所示，通過中位線的性質可以確定點 M 的運動特征.

解取OA的中

點為 C ，由圖2可知 ，連接 C M ，則 因此，點 M 的軌跡是以點 C 為圓心、 為半徑的圓.延長 B C 并交圓 C 于點 D ，當點 M 運動至點 D 的位置時， B M 取得最大值，即

先由 O P = 1 這一條件確定點 P 的運動軌跡是單位圓，再通過取線段 O A 的中點 C ，結合中位線的性質得到第二個定值條件 ，從而得到點 M 的運動軌跡是另一個圓，由“圓心 C 到圓外的定點 B 的距離與圓 C 的半徑之和為 B M 的最大值”這一結論順利解決問題.

3 G 為定長\"型

例3在 Δ A B C 中， cos 2 ∠ A C B + 3 cos ∠ A C B = 1，且 ，則 的最大值為

分析本題以解三角形為背景，以求兩線段之比為落腳點，通過計算題中的方程得到 ∠ A C B 的大小.由兩線段比值結果可以將 ∠ A C B 對應的邊進行固定，這樣就能得到 為定長”的模型，再由平面幾何知識求CM的最大值.

解由cos 2 ∠ A C B + 3 cos ∠ A C B = 1 ，可得

，解得 cos ∠ A C B =

-2（舍）或 ，則 即 A

設 $A B \\ = \\ { \\sqrt { 3 } } \\ m$ ，由于 ，所以 Δ A B C 是以 m 為半徑的圓 O 的內接三角形.如圖3所示，當點 C ， 三點共線時， C M 最大，進而 的值最大.過 o 作

O N ⊥ A B 于 N ，連接 O A ，則 m，所以OM= 3m，則

先進行定量分析，由 ，假定 A B = ，構造“定邊對定角”的幾何模型，分析出點 C 的運動軌跡是優弧 .借助圖形可直觀感知出 C M 取最大值時滿足的條件，然后借助圓周角定理及垂徑定理計算出CM的最大值，解題過程簡捷.

1 ? 型

例4已知 O 是坐標原點，點 ，且點 M 是圓 上一點，則向量 在 上的投影向量的模的取值范圍是

分析如圖4所示，以向量 在向量 上的投影為抓手，結合圖形，將所求的問題轉化為求 ∣ O P ∣ 的取值范圍.結合 ，得出點 P 的運動軌跡.由三角形的基本性質分析出 ∣ O P ∣ 取最值時動點P 的位置，進而確定其取值范圍.

解圓 C 的半徑為 1 ， C ( 1 ， 1 ) ，即圓 C 與 x 軸的正半軸、 .y 軸的正半軸均相切.記與 y 軸正半軸的切點為 B ，則 過點 N 向線段 O M （或線段OM的延長線)作垂線，垂足為 P ，所以點 P 在以線段 O N = 為直徑的圓上運動.設此圓與 x 軸的正半軸、 y 軸的正半軸分別交于 A ， B ，則點 P 的軌跡為半圓弧AB

（圖中實線部分）.

由圖4可得 ，即 ，而向量 在 上的投影向量的模恰為∣ O P ∣ ，故其取值范圍為

由于點 M 是動點，根據一個向量在另一個向量上的投影來構圖，因此點 P 也是動點.解題的關鍵點有兩個：一是能否聯想到點 P 的運動軌跡是圓?。ㄜ壽E意識），通過運動軌跡考慮最值；二是點P 在何處取得最值，找準臨界位置.

5 1 為定長\"型

一例5如圖5所示，已知圓 O 的直徑 ，點 T 是圓 O 上任意一點，設弦 A T 的中點為 M ，則 的最大值為

分析以本題所求 為思考起點，結合定長 及橢圓的定義，能畫出一個橢圓．由此可以將 MA的值記為 2 a ，把最終的問題轉化為求 a 的最大值即可.結合點 M 的運動軌跡，分析出 取最大值的臨界條件.

解如圖6所示，以 O 為原點、 所在直線為 x 軸、線段 的中垂線為 y （204號軸建立平面直角坐標系，則A(1，0)， .連接O M ，由于 M 為弦 A T 的中點，故 O M ⊥ A T ，則點 M 在以 O A 為直徑的圓 上，圓 的方程為 ，即

設 ，則點 M 在以 為焦點的橢圓 上，橢圓 的方程為 ，即 ，所以點 M 是圓 與橢圓 的交點.當圓 與橢圓 相切時， M A = 2 a 取得最大值.

由 得 ，則 ，解得 a = 0 （2 （舍）或 ，所以 的最大值為

求解該題有三個關鍵思維邏輯點：其一，由定長線段 及 ，聯想到構造橢圓(軌跡意識)；其二，剖析出點 M 也在以 O A 為直徑的圓上；其三，定性分析出當點 M 既在圓上又在橢圓上，且 2 a 取最大值時的情況，并定量計算出此時a 的值.

6“ 為定長\"型

例6 若△ABC的內角滿足 2 sin C ，則 的最小值為（ ）.

分析結合正弦定理，將題干條件進行角向邊轉化，得出一個關于三角形三邊的恒等式，深挖其幾何信息得到一個“ 為定長\"的模型.結合雙曲線的定義將點 A 的運動軌跡視為雙曲線（或其中的一支)，將焦距 B C 取為定值4，簡化運算過程，以三角形外接圓半徑作為破題“支架”，所求問題最終落腳于求 )的最小值.

解由于sin A + 2sin ，故 1|BC丨，則點A在以點 B ， C 為焦點的雙曲線右支上(如圖7).設點 A ，B ， C 的坐標分別為 $( \\boldsymbol { \\mathscr { x } } _ { 0 }$ ， （200)，則

記 Δ A B C 的外接圓半徑為 R ，則

由 可得 ，故

接下來計算 Δ A B C 的外接圓半徑 R . A C 的中垂線方程為 x = 0 ，可得 ，即

當且僅當 時，等號成立，故 的最小值為 故選A.

此題是用解析幾何觀點解三角形，在拓寬思維視野的同時，需要領悟方法背后的巧妙之處.首先，將條件轉化后能領悟到等式與雙曲線的定義有相同之處，進而得到雙曲線方程，大大降低了思維難度；其次，用三角形外接圓半徑及點 A 的縱坐標表達所求代數式，達到了減元的目的；最后，明確了 A ， 的坐標后，通過運算可以達到再次減元的目的，最終將所求表達式轉變成僅含一個變量的函數表達式，結合基本不等式求出最小值.由此可見，在解題時，軌跡意識能起到事半功倍的作用.

通過上述6道例題可以看出，在解決相關幾何問題時，可以根據點、直線（或線段)的位置或深挖相關表達式的幾何信息來確定動點的軌跡類型，充分利用軌跡特征挖掘出最值條件，再通過計算即可得出最值.雖然上述6道例題還有其他解法，但是把軌跡意識作為一種破題思路，從問題特征入手，建構相關軌跡模型，能養成良好的化歸思維習慣，進而達成解決問題的目的.

本文系廣西教育科學“十四五”規劃2023年度專項課題“專業認證背景下數學師范生教學實踐能力的發展路徑研究”（項目編號：2023ZJY028)研究成果.

（完）