基于單元教學理念的初中數學“三性”作業設計研究

一、初中數學作業存在的問題

隨著新課改的推進，單元教學理念深入課堂，作業布置方式悄然發生轉變，從以往整齊劃一的作業形式轉變為如今的分層練習、合作交流、課題研究等多樣化形式.作業的功能不再局限于鞏固基礎、反饋效果，而是走向多元化.審視當下的初中數學教學，部分教師在作業設計方面缺乏有效設計意識與能力，主要存在以下問題：

（一）作業設計簡單化，缺乏針對性

作業是教學過程中十分重要的一環.對教師而言，作業有助于了解教學情況；對學生而言，作業能檢測并鞏固所學知識.因此，作業的針對性意義非凡.然而，目前很多情況下，教師很少主動參與作業設計，往往懶于精選.典型現象是：下課鈴響，教師直接下發一張試卷，叮囑學生認真完成.這種布置現成的、“一刀切\"的作業的方式，導致雷同習題在不同階段、不同課型中反復出現，所有學生無論成績優劣，都做著相同的題目.顯然，這樣的作業設計方式簡單且缺乏針對性.

（二）作業安排機械化，缺乏整體性

作業還有一個重要功效，即幫助學生學有所獲、學有所思.學生可通過作業，審視條件，展開聯想，形成整體性思維.然而，部分教師習慣將書本或配套《作業本》上的習題作為隨堂作業，臨近下課時簡單布置：“今天完成《作業本》第 x x 頁.\"如此機械地布置作業，雖有一定的針對性，但缺乏整體性.由于《作業本》通常針對當堂課知識點編排，若教師不結合課堂實際進行篩選，而機械地按課時布置作業，久而久之將不利于學生整體思維的培養.

（三）作業功效單純化，缺乏拓展性

現在部分教師往往圍繞《作業本》布置作業，作業流程一般為\"練習—批改—講解—訂正—個別輔導”，日復一日，一成不變.作業反饋與評價較為單一，通常僅對結果給出“√\"或“ × ”的評判.教師缺乏對作業習題內在結構、知識關聯、思維導向的深層次與拓展性分析，也缺乏對學生整體性思維的培養.

上述問題反映出，缺乏針對性、整體性、拓展性的作業會導致學生被動應付，削弱作業的育人功能.因此，教師必須重視作業設計的有效性，以學生的學習為中心，結合學生的學習能力，設計目標明確、內容精準的作業.只有具備針對性、整體性、拓展性的作業，才能更好地提升學生的核心素養．

二、“三性”作業的定義及功效

“三性\"作業（如圖1）是基于單元教學理念的三維立體作業，具有針對性、拓展性和整體性三種特性.“三性\"作業是在針對性、整體性和拓展性層面維度下設計的，但并非每一節課的作業都要包含“三性”，包含“二性\"或“三性\"均可以.“三性”作業的設計，既可以處于“兩兩相關”的二維層面，也可以構建在“三者互融”的立體架構中.設計“三性”作業旨在更有效地踐行單元教學理念，提升作業的功效，因此，設計的作業必須至少具備“三性\"中的“兩性\"或“三性”，至少具備“兩性”，不可只具備“一性”.例如，單元第一節課的作業指向一般在“針對性和拓展性\"的二維層面；單元后幾節課的作業指向一般在“針對性、整體性和拓展性\"的立體架構;單元小結課的作業指向一般在“整體性和拓展性\"的二維層面.

以學生為主體的“三性”作業，憑借針對性、整體性、拓展性等特點，成為發展學生思維、提升學生學習品質的重要抓手；通過關注基礎、前后呼應、承上啟下、左右拓展，能促使學生的“四基\"得到整體落實.

三、初中數學“三性”作業的設計框架

有別于傳統作業設計，初中數學“三性”作業基于單元教學理念構建.它以《義務教育數學課程標準（2022年版）》為依據，以學生的學習為中心，以單元核心知識為基石，根據不同課型和教學內容，采用多層面、多維度的作業設計策略.初中數學“三性\"作業設計注重知識的前后縱向呼應與單元橫向聯系，促進知識與技能經驗的轉化，助力學生全面掌握單元知識體系.其設計框架如圖2所示.

四、初中數學“三性”作業的設計要義

設計“三性”作業，既能助力學生掌握和鞏固所學知識，又能引導其理解并探尋新知識，構建前后呼應、左右拓展的知識體系，幫助學生從宏觀視角把握單元知識結構.本文聚焦初中數學“三性\"作業設計，依據“梳理基礎點、挖掘附著點、打通關節點、結成網格點\"的要義，理順“單元整體目標”“單元知識結構”，貫徹以學生的學習為中心的理念，以達到良好的作業效果.

（一）梳理基礎點—初中數學\"三性\"作業設計的核心

單元中的數學概念、定義等可稱為“基礎點”，通常一個教學單元包含多個“基礎點”，每節課聚焦不同的“基礎點”“基礎點”既是數學學習的起點，也是數學學習的核心.初中數學“三性”作業設計，核心在于厘清“基礎點”只有梳理整個單元的“基礎點”，初中數學“三性”作業的設計才有成功的保障.

[案例1浙教版八年級下冊“特殊平行四邊形”單元的主要“基礎點\"如表1所示，

在“特殊平行四邊形\"涉及“矩形\"“菱形“正方形\"的每節課中，完成“針對性\"作業后，可增添“整體性\"作業和“拓展性\"作業.現圍繞平行四邊形的主要基礎點“對角線”，簡單列舉幾道常見題目：

1.靶向“矩形”的作業題：（1）對角線 的平行四邊形是矩形；（2）對角線 且 的四邊形是矩形；（3）矩形和平行四邊形之間的區別有哪些？

解讀：此作業從針對性與整體性兩個維度設計，既考查了矩形的性質和判定，又關聯到平行四邊形的性質和判定.

2.靶向“矩形”的作業題：（1）順次聯結四邊形

各邊中點所得到的四邊形是 ；（2）順次

聯結平行四邊形各邊中點所得到的四邊形是；（3）順次聯結矩形各邊中點所得到的四邊形

是 ；（4）舉例說明矩形在日常生活中的應用.

解讀：此作業從針對性和拓展性兩個維度設計.既鞏固了本節課的矩形知識，又考查了其他單元的“中位線”定理，還拓展至學生的生活經驗.

3.靶向“菱形”的作業題：（1）對角線且 的四邊形是菱形；（2）對角線且 的平行四邊形是菱形；（3）矩形與菱形的相同點有哪些？不同點有哪些？

解讀：此作業從針對性和整體性兩個維度設計，既運用了“菱形”的知識，又讓學生分析其中涉及的平行四邊形、矩形的性質與判定，

4.靶向“菱形”的作業題：（1）順次聯結平行四邊形各邊中點所得到的四邊形是 ；順次聯結矩形各邊中點所得到的四邊形是 ；順次聯結菱形各邊中點所得到的四邊形是 ；（2）菱形的對角線與平行四邊形的對角線、矩形的對角線有什么區別？（3）菱形在生活中有哪些應用？

解讀：此作業從整體性和拓展性兩個維度設計，主要拓展到其他單元的“中位線\"定理以及平行四邊形和矩形的性質與判定定理，還關聯至學生的生活經驗.

5.靶向“正方形”的作業題：（1）對角線的四邊形是正方形；（2）對角線 的平行四邊形是正方形；（3）對角線 的矩形是正方形；（4）對角線 的菱形是正方形；（5）在“A.對角線相等B.對角線互相平分C.對角線互相垂直”這三個選項中選擇 可得到平行四邊形，選擇 可得到矩形，選擇 可得到菱形，選擇 可得到正方形，

6.靶向“正方形”的作業題：（1）順次聯結平行四邊形各邊中點所得到的四邊形是 ；（2）順次聯結矩形各邊中點所得到的四邊形是；（3）順次聯結菱形各邊中點所得到的四邊形是 ；（4）順次聯結正方形各邊中點所得到的四邊形是

解讀：此作業從整體性和拓展性兩個維度設計，始終圍繞單元核心“基礎點”——對角線展開.主要拓展到“三角形的中位線”內容，且關聯到菱形、矩形定義以及學生生活經驗，起到前后呼應、左右拓展的作用.

雖然上述案例為大眾化題目，但內容精準，類比串聯知識點多，靶向基礎點，實現結構化.“對角線\"是“特殊平行四邊形”單元中所有特殊平行四邊形的基礎概念與核心要點，厘清對角線關系，就能正確分辨矩形、菱形和正方形的性質與判定.

每一堂新課都包含我們認定的一個或多個基礎點，這些基礎點既相互獨立又相互聯系、層層遞進.“基礎點”是課堂教學的核心，需做到目標靶向化、內容精準化、條件興趣化、問題大眾化.

（二）挖掘附著點—初中數學“三性\"作業設計的重點

我們將圍繞“基礎點\"散布的關聯點稱為“附著點”.它是由“基礎點\"延伸而出的，通常表現為概念的屬性、性質、推論以及一些延伸內容.以“基礎點”為中心，根據“附著點\"的遠近（難易程度），可分為不同層次，由近（易）到遠（難），依次為第一層次、第二層次等.例如，整體性作業和拓展性作業的設計，就是基于這些“附著點”.鑒于作業需具備自標靶向化、內容精準化、條件興趣化、問題大眾化等特點，挖掘每節課“基礎點\"的“附著點”，成為設計初中數學“三性”作業的重點.

[案例2]浙教版八年級上冊“三角形的初步知識”單元知識的“附著點\"詳見表2.

依據“附著點”的不同層次，設計具有針對性、整體性和拓展性的數學作業.

1.在 Δ A B C 中，已知 A B = A C ， B D ⊥ A C （1）依據題意繪制圖形.

（2）當 B D 與三角形一腰的夾角為 時，求 ∠ A 的度數.

（3）用至少兩種方法證明： 2 ∠ D B C = ∠ A

解讀：不同層次的“附著點”作業有著不同要求，第一層次“附著點\"作業針對性強；第二、三層次“附著點\"作業需分類討論，整體性突出；第三、四層次“附著點\"作業的證明方法需要從多角度切入，拓展性顯著.

挖掘“附著點\"以形成初中數學題目，這是教師教學的重點.基于此，筆者設計了初中數學“三性”作業：

其一，依據知識“附著點\"的多層次性，結合學生不同的學習基礎、經驗、能力和學習興趣，設計具有針對性的作業.

其二，對“基礎點\"進行加工改造，依據“層次”差異，設計基于教學單元的整體性作業.

其三，挖掘課堂知識形成的“附著點”（可通過操作、實驗、探究、小組合作等學習活動，或依托認知矛盾，將抽象的數學知識融人學生熟悉的事例中，引發認知沖突來形成），設計基于教學單元的拓展性作業.

（三）打通關節點—初中數學“三性”作業設計的關鍵

筆者將一個單元中“基礎點\"與“附著點\"的連接方式稱為“關節點”.正如人體關節能關聯所有相關附著點，“關節點”是人們全面認識問題的關鍵所在.學生在學習新知識時，常面臨思維、記憶、知識儲備、認知資源不足的問題.此時，教師需通過提問、啟發等方式對問題作出解釋，助力學生在新知識與原有基礎點間建立有意義的聯系，即打通“關節點”，這也是設計初中數學“三性\"作業的關鍵.

[案例3]在浙教版七年級上冊\"3.2實數\"的\"實數大小比較\"教學中，教師先通過舉例引出“基礎點”歸納出“附著點”，進而打通“關節點”，從而得出實數大小比較法則.鑒于學生已學過有理數的大小比較方法，此處的“關節點”在于：運用比較法則時，一是將實數視為有理數處理；二是善于運用數形結合的方法.

1.數軸比較法：在數軸上表示兩個實數的點，右邊的點表示的數較大.

2.差值比較法：若 是任意的兩個實數，則 a - b gt; 0 ? a gt; b ; a - b lt; 0 ? a lt; b ; a - b = 0 ? a = b .

3.商值比較法：若 是兩個正數，則

4.絕對值比較法：若 是兩個負數，則

基于目標靶向化、內容精準化、類比串聯化、關系結構化等原則，設計初中數學“三性\"作業.例如：

及它們的相反數在數軸上表示出來，并用“lt;”符號連接.

解讀：此作業以“點與數的一一對應\"為基礎點，以“數軸的意義\"為附著點，針對“數形結合\"這一關節點，運用數軸比較數的大小.

2.整體性作業：已知 a + b lt; 0 且 a b gt; 0 ，則 a 和 b 的正負符號是 a ，b

解讀：此作業以“同號得正，異號得負”的乘法法則為基礎點，以“實數的大小比較法則”為附著點，打通的主要關節點是依據上述法則得出“兩數之和為正時，兩數同為正或正數的絕對值大于負數的絕對值”.此作業體現了針對性和整體性兩個層面的要求.

3.拓展性作業：當 x = 時，代數式 的最小值是

解讀：解答此作業題不僅要把握“基礎點”和“附著點”，還需打通“關節點”，即借助數形結合，理解絕對值的幾何意義以及“兩點之間，線段最短\"這一公理.此作業題知識點融合度高，綜合性強.

學生在完成該作業時，常會遇到各種困難，即便教師指導后也可能難以馬上領悟.此時，教師應抓住打通“關節點\"這一要點逐步改組、分解題型結構，搭建思維橋梁，引導學生深入思考.

（四）聯結網絡點—初中數學“三性”作業設計的本質

一個人的思維發展，通常遵循從線性思維、樹狀思維到網狀系統思維的規律.初中數學“三性\"作業旨在引導學生將數學思維從一個知識“基礎點”的線性思維，逐步發展到挖掘“附著點”的樹狀思維，最終形成打通“關節點\"的網狀系統思維，并據此進行分層設計.具體而言：（1）線性思維，表現為能初步看懂題目；（2）樹狀思維，表現為能分析題目內涵關系并提出解決方案；（3）網狀系統思維，表現為不僅掌握解題方法，更能貫通前后知識，構建知識體系，并具備相應的拓展創新能力.

[案例4]“三角形的邊角關系”網絡點結構圖如圖3所示.

圖3中，三個矩形表示初中數學主要研究的三種幾何圖形，它們構成三個“基礎點”；十二個橢圓形表示“附著點”；而連接“基礎點\"與“附著點”“附著點\"與\"附著點\"的，則是知識過道—“網絡點”.

初中數學作業的本質在于夯實基礎知識、激發練習熱情、提升思維品質、實現高效教學.鑒于中考數學試卷中的“把關題”多為綜合性強、思維結構化的綜合題，將基礎知識點連接成網絡結構，是培養學生思維的關鍵所在，也是設計初中數學“三性”作業時必須考慮的核心任務.

當然，初中數學“三性”作業并非僅限于案例中的數學題目，還可以是數學活動、數學實驗、數學論文等.在改變傳統以單一課時教學為主的教學格局過程中，從單元視角設計“三性\"作業，有利于強化教學內容的關聯性.立足單元宏觀層面的抽象內容，用圖示呈現整個單元內部知識之間的關系，能讓人一目了然，從而深化對數學的理解.

五、反思與展望

當前，初中數學素質教育不僅關注學生做題與分數，更重視指導學生學會學習，提升其解題能力與思維能力，助力其適應高中及未來學習.

數學教材知識結構縱向貫通章節，橫向關聯學科（含跨學科聯系）.基于此，教師設計初中數學“三性”作業時，應秉持單元教學理念，明確每節課的“基礎點\"\"附著點\"\"關節點\"\"網絡點”，從學生視角出發，使作業具備目標靶向化、內容精準化、條件興趣化、問題大眾化、串聯類比化、關系結構化等特征.

教師除設計針對性、整體性和拓展性的“三性”作業外，還可在不增加學生學習負擔的前提下，采取多元措施豐富數學生活：引導學生拓展數學閱讀、了解數學史，提供微課資源和個性化學習方案，開展數學實驗等.同時，通過討論辨析、實驗操作、小組合作、項目探究、論文撰寫等多樣化作業形式，實現夯實基礎、激發興趣、提升思維品質、培養核心素養的教學目標.

[參考文獻]

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準：2011年版[M].北京：北京師范大學出版社，2011.

[2]杜威.我們如何思維[M].楊韶剛，劉建金，譯.北京：中國輕工業出版社，2017.

（責任編輯 黃春香）