理解為基 素養為核 思維致遠

一、教材母題呈現

（人教版數學教材九年級下冊P59第12題1）如圖1，為了求出海島上的山峰 A B 的高度，在 D 處和 F 處立標桿 C D 和 E F ，標桿的高都是3丈， D ， F 兩處相隔1000步（1丈 = 1 0 尺，1步 尺），并且 A B C D 和 E F 在同一平面內.從標桿 C D 后退123步的 G 處，可以看到頂峰A和標桿頂端 c 在一條直線上；從標桿 E F 后退127步的 H 處，可以看到頂峰A和標桿頂端 E 在一條直線上.求山峰的高度 A B 及它和標桿 C D 的水平距離 B D 各是多少步？（提示：連接E C 并延長交 A B 于點 K ，用含 A K 的式子表示 K C 和K E . ）

（本題原出自我國魏晉時期數學家劉徽所著《重差》，后作為唐代的《海島算經》中的第一題：今有望海島，立兩表齊高三丈，前后相去千步，令后表與前表參相直．從前表卻行一百二十三步，人目著地，取望島峰，與表末參合，從后表卻行一百二十七步，人目著地，取望島峰，亦與表末參合.問島高及去表各幾何.唐代的1尺約等于現在的 ）

二、教材母題的教學實踐

（一）設問引思，挖掘內在關聯

問題1：仔細研讀題目并結合圖形，你能提煉出哪些已知條件？

問題2：回顧所學知識，有哪些求線段長度的有效方法？

教學說明：通過組織學生對兩個問題進行思考與討論，使他們了解求解線段長的常用方法，包括勾股定理、三角函數、相似三角形、全等三角形以及解直角三角形，這些方法均基于幾何圖形的性質與關系，并從不同角度（如直角關系、角與邊的比例、圖形變換等）揭示了線段長度的求解策略，體現了數形結合與等價轉化的思想.其中，相似三角形作為橋梁尤為重要，這些方法的內在關聯共同構建了幾何求解的豐富體系．具體步驟如下：首先，觀察題目條件，識別圖中的相似三角形.這需要確認對應角相等和邊長比例關系，找出已知信息（如角度、邊長）.確定相似性后，即可利用相似比求解未知量.其次，通過設置比例方程，將已知信息轉化為解題關鍵數據.在某些問題中，平行線和截線會形成更多的相似三角形，增加解題可能性.構造輔助線也有助于揭示新的相似關系或簡化問題.循序漸進地引導學生理解并掌握這些方法，可顯著提升學生解決與相似三角形相關的問題的能力，

（二）聚焦核心素養，探尋一題多解

以教材母題引導學生開展一題多解訓練，是深化知識理解、提升解題能力的有效策略.以相似三角形為例，求解線段長度可采用線段直接比例計算、運用三角形相似性質、構造輔助線或借助勾股定理等多種數學方法.一題多解訓練不僅能夠幫助學生鞏固相似三角形的理論知識，還能夠培養他們的創新思維和問題解決能力.更重要的是，一題多解能讓學生深刻體會到數學的多樣性和靈活性，激發他們對數學學習的熱情.基于此，筆者聚焦核心素養，引導學生探尋此教材母題的多種解法，通過一題多解培養學生的解題思維，提升其解題能力[2].

視角1：由平行尋找相似.

思路：因 C D ， E F 均與 A B 平行，可借助 A B 進行等量代換，找出相似成比例的線段.具體操作是先將實際問題抽象為數學模型（用三角形表示），再尋找比例線段.

解法1：如圖 2 ， ∵ A B ⊥ B H ，CD⊥BH，EF⊥BH，：.AB//CD//EEF，：.△CDG∽△ABG，△EFH∽B D GF A△ABH， 圖2， ， 步， D G = 1 2 3 步， F H = 127步 0 業 ∴ B D = 3 0 7 5 0 步，：由 可得 解得A B = 1 2 5 5 步，：山峰的高度 A B 及它和標桿 C D 的水平距離 B D 各是1255步和30750步.

解法總結：解法1避免了傳統幾何證明中煩瑣的作輔助線步驟，為學生提供了不依賴輔助線的解題新視角，有助于拓展解題思路.同時，它簡化了問題，使解題過程更直觀簡潔.這種方法需學生具備較強的代數運算能力，有助于提升學生的數學運算技巧.此外，在一些情況下，不借助輔助線能更快找到解題途徑，提高解題效率.

視角2：構造平行線找比例線段

解法2：如圖3，連接 E C 并延長交 于點 K ， ∵ C D ⊥ B H E F ⊥ B H ， ∴ C D / / E F ， ∵ C D = E F ：四邊形CDFE為平行四邊形，∴ E K / / B H ， ∴ Δ A K C Δ A B G ， Δ A K E Δ A B H ： B D = 中 步， D F = 1 0 0 0 步， F H = 1 2 7 步，∴ B G = B D + D G = K C + 1 2 3 ， B H = B D + D F + ，：由 可知 解得 K C = 3 0 7 5 0 步，∴ B D = K C = 3 0 7 5 0 步， ∴ B K = C D = 5 步， ∴ A K = A B - B K = A B - C D = A B - 5 ， B G = B D + D G = K C + 1 2 3 = 3 0 7 5 0 + 1 2 3 = 3 0 8 7 3 ，：由 可知 解得 A B = 1 2 5 5 ，：山峰的高度 A B 及它和標桿 C D 的水平距離 B D 各是1255步和30750步.

解法3：如圖4，連接 E C 并延長交 A B 于點 K ， ? s C D ⊥ B H E F ，：四邊形CDFE為平行四

邊形，：EK//BH， C E = D F = 1 0 0 0 ： F

： B K = C D = 5 步， F H = 0 ，

127步， D G = 1 2 3 步， ∴ A K = A B - B K = A B - C D =

AB-5， G H = D F - D G + F H = 1 0 0 0 - 1 2 3 + 1 2 7 =

1004，：由 可知 解得 A B =

（202

： C D = 5 步， D G = 1 2 3 步， A B = 1 2 5 5 步， ∴ B G =

D G + B D = 1 2 3 + B D ，：由 可知

解得 B D = 3 0 7 5 0 ， . .山峰的高度 A B 及它A

和標桿 C D 的水平距離 B D 各是1255步和30750步．

解法總結：在圖形中找平行線或者構造平行線，是因為輔助線能揭示圖形中隱藏的幾何關系，進而簡化問題的解決過程.通過作輔助線，可將復雜的幾何圖形轉化為基本的幾何圖形，讓學生更直觀地理解題目.此外，在作輔助線的過程中，學生需要在腦海中構建和操作幾何圖形，這有助于培養并提高他們的空間想象能力，使他們養成嚴謹的思維習慣.

視角3：利用基本圖形的幾何性質尋找等量關系，運用方程思想.

解法4：如圖5，連接 并 延長交 A B 于點 K ， ∵ C D ⊥ B H K E E F ⊥ B H ， ∴ C D / / E F ， ∵ C D = E F ， B DG F H ：四邊形CDFE為平行四邊形， 圖5 ∴ E K / / B H ，：△AKC∽△CDG，△ABH∽△EFH， （204 （ ： B K = C D = 5 步， D F = ， 1000步， F H = 1 2 7 步， ∴ A B = A K + B K = A K + 5 B H = B D + D F + F H = B D + 1 1 2 7 ，設 B D = K C = x ， A K = y 則 A B = y + 5 ， B H = x + 1 0 0 0 + 1 2 7 ，：由 （ （204號 得 聯 ， 立解得 A K + 5 = 1 2 5 5 ，：山峰的高度 A B 及它和標桿 C D 的 水平距離 B D 各是1255步和30750步．

解法總結：運用代數方法解方程，可揭示符號背后的幾何真相.將代數結果轉化為幾何語言，能驗證其在原幾何圖形中的合理性，并從幾何角度闡釋解答.解法4不僅簡化了解題過程，還幫助學生在幾何與代數的結合中探索清晰的解題路徑，同時培養了學生的邏輯推理能力．

相似三角形可用于求解線段長度.當兩個直角三角形相似時，對應邊成比例可通過對應角的三角函數值轉換，常能解決線段未知問題.

方程思想可將復雜幾何關系轉化為簡單代數方程，通過解方程得出答案，降低解題難度.它具有很強的靈活性和普適性，能清晰反映已知量和未知量的關系，使解題邏輯性更強，便于分析驗證，且在建立方程時，學生需進行抽象思考，有助于培養他們的抽象思維和數學建模能力.

視角4：運用銳角三角函數

思路：銳角三角函數可用于度量角與邊的關系，且與解直角三角形緊密相關.借助銳角三角函數，可依據定角所對直角邊成比例的性質求解線段長度.

解法5：如圖6，連接 E C 并延長交 A B 于點 E F ，：四邊形CDFE為平行四

邊 （2 1 2 1 ）， K E = K C + C E = B D + D F = B D + 1 0 0 0 ， B H = B D + D F + F H = B D + 1 1 2 7 ，：由 可知 解得 B D = 3 0 7 5 0 ， ∴ K E = B D + 1 0 0 0 = 1 1 2 7 = 3 1 8 7 7 ， ∵ B K = C D = 5 步，： A K = A B - B K = A B - 5 ， ：由 可知 0 解得 A B = 1 2 5 5 ，：山峰的高度 A B 及它和標桿 C D 的水平距離 B D 各是1255步和30750步.

解法總結：三角函數是解直角三角形問題的核心.三角函數通過定義直角三角形中邊與角的比例關系（如正弦、余弦、正切等），為解直角三角形提供了有力工具，揭示了角度與邊長之間的內在聯系.在直角三角形中，可依據已知角度和一邊長，運用三角函數求解其他邊長，尤其適用于解決涉及斜邊和直角邊的問題.

視角5：建立平面直角坐標系

解法6：如圖7，以BH所在直線為 x 軸， C D 所在直線為 y 軸，建立平面直角坐標系，則點 G （ 1 2 3 ， 0 ） ，點 C （ 0 ， 5 ）

設直線 A G 的方程為

，則把 G （ 1 2 3 ， 0 ） 和 C （ 0 ， 5 ） 代人得 解得 ：直線 A G 的方程為 123χ +5，：EF=5步，DF= 1000步，FH=127步，：點 E 的坐標為（1000，5），點 H 的坐標為（1127，0），

設直線 A H 的方程為 ，則把 E （ 1 0 0 0 ， 5 ） 和 H （ 1 1 2 7 ， 0 ） 代人得（1000k+b=5， 解得1127k+b=0，：直線 A H 的方程為 ：聯立 解得

：點 A 的坐標（-30750，1255）， ∴ A B = 1 2 5 5 步，B D = 3 0 7 5 0 ，：山峰的高度 A B 及它和標桿 C D 的水平距離 B D 各是1255步和30750步.

解法總結：建系（建立平面直角坐標系）法在數學教學中應用廣泛.當圖形中直角較多時，可引導學生發現建系的優勢.建系時，應盡量讓更多點落在坐標軸上，以簡化運算.建系法具有諸多優勢，通過建立平面直角坐標系，能夠將幾何問題轉化為代數問題，從而降低問題復雜度，使解題過程更加直觀和簡潔.不過，它也存在一定弊端.例如，在本題中運用建系法計算量較大、過程煩瑣，對學生的運算能力和推理能力要求較高.同時，建系法涉及函數相關知識，對學生的綜合能力要求也較高.

（三）歸納方法技巧，把握解題規律

上述解法各具特點：解法一簡潔明了，無須作輔助線，學生普遍采用，適用于已知兩個相似三角形對應邊長的情況；解法2借助教材母題提示，用含 A K 的式子分別表示 K C 和 K E ，通過兩次相似求解；解法3最為簡便，利用相似比等于對應高之比，展現出獨特的解題思路；解法4運用方程思想，用未知量表示已知量，實現幾何問題向代數問題的轉化，使問題的分析和求解清晰明了；解法5運用三角函數，需分析圖形結構和比例關系；解法6通過建立平面直角坐標系，將幾何問題轉化為代數問題，既簡化了問題的表達和求解過程，又能實現函數可視化.

運用相似三角形解題的方法和技巧如下：

（1）證明相似：通過兩個三角形的對應角相等或對應邊成比例來證明.

（2）求未知量：利用相似三角形的性質（如對應邊成比例），將已知邊長或角度信息代人方程，進而求出未知幾何量.

三、教學反思

求解幾何問題關鍵在于精準捕捉未知量，尤其是隱藏在復雜圖形中的角度和邊長.解題方法多樣，既可通過直觀的圖形觀察，也可運用抽象的代數運算；既可借助巧妙的輔助線設計，也能依靠嚴密的邏輯推理.這些方法形式各異，但都基于相似三角形的性質與定理展開.

相似三角形原理是分析和解決問題的基本框架，它揭示了幾何圖形間的內在聯系，幫助我們在不同解法中發現共性.這種思維方式同樣適用于生活一一通過分析復雜現象，把握事物間的內在聯系和本質特征，從而解決實際問題，使數學知識內化為數學素養.這正是數學魅力的體現，也是“三會”核心素養的表征.

一題多解旨在引導學生從不同視角和維度思考問題，進而培養其發散性思維和創造性思維.在解題過程中，運用不同解題方法作用顯著.一方面，能啟發學生思維，促進多角度思考，提升解題能力[]；另一方面，可加深學生對數學概念的理解.學生通過對比分析各種解法，能更好地厘清數學知識脈絡，從而從容應對復雜問題.這些解題方法的學習和實踐，不僅能提高學生解決幾何問題的能力，還能培養學生在數學世界中探索規律、構建多樣性與統一性聯系的思維習慣，這對他們未來的學習和生活具有深遠意義.

[參考文獻]

[1」人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.義務教育教科書數學九年級下冊[J].北京：人民教育出版社，2020.

[2]曾昭黨.“一題多解”與初中數學核心素養培養[J].數理化解題研究，2023（23）：48-50.

[3]陳俊吉.一題多解激發學生的創造性思維：以一道幾何壓軸題為例[J].初中數學教與學，2023（24）：29-31.

（責任編輯 黃春香）