立體幾何動(dòng)點(diǎn)三類(lèi)常見(jiàn)問(wèn)題分析

立體幾何是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，歷年高考數(shù)學(xué)試卷中頻繁出現(xiàn)相關(guān)題目.其中，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題是主要命題方向，但是此類(lèi)問(wèn)題難度較大，既考驗(yàn)學(xué)生的計(jì)算能力，又考驗(yàn)學(xué)生的空間想象能力.為幫助學(xué)生掌握解題方法，筆者結(jié)合具體例題，對(duì)考試中常見(jiàn)的幾類(lèi)立體幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題及其解法進(jìn)行總結(jié)歸納.

一、軌跡問(wèn)題

動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題是高考立體幾何問(wèn)題的常見(jiàn)命題方向，主要考查點(diǎn)、線、面間的位置關(guān)系，探究符合一定條件的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡.軌跡問(wèn)題通常分為兩類(lèi)：一是判斷動(dòng)點(diǎn)在三維空間的運(yùn)動(dòng)軌跡；二是計(jì)算動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度.無(wú)論是哪一類(lèi)問(wèn)題，解答時(shí)均需熟練掌握動(dòng)點(diǎn)軌跡的判斷方法.

在命題情境中，需根據(jù)軌跡特征判斷軌跡類(lèi)型，常見(jiàn)的軌跡類(lèi)型有：球面軌跡（如給定一個(gè)點(diǎn)到固定點(diǎn)的距離不變求該點(diǎn)的軌跡）平面軌跡（如給定一個(gè)點(diǎn)滿足平面相關(guān)條件求該點(diǎn)的軌跡）直線軌跡（如給定一個(gè)點(diǎn)滿足直線相關(guān)條件求該點(diǎn)的軌跡）圓錐曲線軌跡（在某些特殊情況下，動(dòng)點(diǎn)的軌跡可能是橢圓、雙曲線或拋物線）等.

動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題的解題方法多樣，沒(méi)有固定模式.常用的解題方法可總結(jié)為以下幾種.

定義法：根據(jù)題目條件，直接依據(jù)常見(jiàn)軌跡（如球面軌跡、圓柱面軌跡、圓錐曲線軌跡等）的定義來(lái)判斷動(dòng)點(diǎn)的軌跡.

幾何性質(zhì)法：利用空間幾何的基本性質(zhì)（如平行、垂直、距離等）和定理（如三垂線定理、線面垂直的判定定理等）來(lái)推導(dǎo)動(dòng)點(diǎn)的軌跡.

代人法：假設(shè)動(dòng)點(diǎn)滿足某個(gè)方程（如球面方程、圓柱面方程等），將動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)代人方程，驗(yàn)證方程是否恒成立，從而確定軌跡.

參數(shù)法：引入?yún)?shù)來(lái)表示動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題目條件建立參數(shù)方程，然后消去參數(shù)得到動(dòng)點(diǎn)的普通方程，進(jìn)而確定軌跡.

向量法：不通過(guò)建系，而是利用向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積、模等性質(zhì)，結(jié)合空間向量的基本定理，通過(guò)向量計(jì)算推導(dǎo)動(dòng)點(diǎn)的軌跡，尤其在處理與角度、距離相關(guān)的問(wèn)題時(shí)，向量法能提供更簡(jiǎn)潔的解題思路.

坐標(biāo)法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，將空間中的點(diǎn)、線、面用坐標(biāo)表示，將立體幾何中的軌跡問(wèn)題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算問(wèn)題，再利用坐標(biāo)運(yùn)算和方程求解推導(dǎo)動(dòng)點(diǎn)的軌跡，該方法在處理與距離、角度、平行、垂直等相關(guān)的立體幾何問(wèn)題時(shí)特別有效.

可以發(fā)現(xiàn)，各種解題方法適用的情境各不相同，因此學(xué)生需結(jié)合題目信息靈活選擇解題方法.

[例1]如圖1，在直三棱柱 中，Δ A B C 為邊長(zhǎng)是2的正三角形，3 ， N 為棱 上的中點(diǎn)， M 為棱 上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò) N 作平面 A B M 的垂線段，垂足為 o ，當(dāng)點(diǎn) M 從點(diǎn) c 運(yùn)動(dòng)到 時(shí)，點(diǎn) o 的軌跡長(zhǎng)度為多少？

解析：取 A B 的中點(diǎn) P ，連接 ，如圖2，

因?yàn)?P C ⊥ A B ， P N ⊥ A B 且 P N ∩ P C = P 所以 A B ⊥ 平面 又 A B ? 平面 A B M

則平面 A B M ⊥ 平面 ，平面ABM∩平面

過(guò) N 作 N O ⊥ P M ， N O ? 平面 所以 N O ⊥ 平面ABM.

取 P N 的中點(diǎn) Q ，當(dāng)點(diǎn) M 從點(diǎn) c 運(yùn)動(dòng)到 時(shí)，點(diǎn) o 的運(yùn)動(dòng)軌跡為以P N 為直徑的圓 Q （部分），如圖3所示.

如圖4，當(dāng) M 運(yùn)動(dòng)到 時(shí)，點(diǎn)o 到達(dá)最高點(diǎn)，此時(shí)

所以 ，從而 ∠ O Q P = 所以弧長(zhǎng) ，即點(diǎn) o 的軌跡長(zhǎng)度為 π

評(píng)析：本題為動(dòng)點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度問(wèn)題，解答這類(lèi)問(wèn)題的難點(diǎn)在于準(zhǔn)確判斷出動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，并結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)來(lái)解題.因此，解題時(shí)首先要仔細(xì)分析題目給出的所有條件，明確求解的是哪個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度，確定動(dòng)點(diǎn)的約束條件；接著根據(jù)題目條件，判斷動(dòng)點(diǎn)的軌跡是直線、圓、橢圓、拋物線還是其他更復(fù)雜的曲線；然后選擇解題方法，若軌跡是直線或圓等簡(jiǎn)單圖形，可以直接利用幾何性質(zhì)（如勾股定理、弧長(zhǎng)公式等）計(jì)算長(zhǎng)度；最后根據(jù)解題方法進(jìn)行解題.

二、最值問(wèn)題

最值問(wèn)題是常見(jiàn)考題，頻繁出現(xiàn)在高考試卷中.可將最值問(wèn)題再細(xì)分為距離最值、角度最值、面積最值、體積最值等幾類(lèi).其中，距離最值包括動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離最值、動(dòng)點(diǎn)到直線的距離最值、動(dòng)點(diǎn)到平面的距離最值、直線到直線的距離最值、直線到平面的距離最值等；角度最值包括異面直線所成角的最值、線面角的最值、二面角的最值等;面積最值包括三角形面積最值、四邊形面積最值及截面面積最值等.

在最值問(wèn)題中，常用的解題方法包括以下幾種.

直接法：通過(guò)作輔助線、面等方式，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為更簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題，利用幾何性質(zhì)（如平行、垂直、距離等）直接求解.

向量法：建立空間直角坐標(biāo)系，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題.先利用向量的點(diǎn)積、模長(zhǎng)等求解距離、角度等相關(guān)量，再結(jié)合函數(shù)思想（如設(shè)定動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或參數(shù)），建立目標(biāo)函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)求解最值.

幾何與代數(shù)結(jié)合法：先用幾何方法確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡或范圍，再利用代數(shù)方法建立目標(biāo)函數(shù)并求解最值.

特殊值法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線在特定位置時(shí)，可能會(huì)取得最值，此時(shí)可通過(guò)取特殊值來(lái)簡(jiǎn)化問(wèn)題.

[例2]如圖5，正方體ABCD- 中，點(diǎn) P 在線段 上運(yùn)動(dòng)，設(shè)異面直線 C P 與 所成角為 θ ，則 cos θ 的最小值為多少？

解析：在正方體 中，

所以四邊形 是平行四邊形，

則 ，

所以 C P 與 所成角 或其補(bǔ)角為 C P 與 所成角 θ

連接 A C ，由正方體的特征可知 為正三角形，

故當(dāng) P 與 A 重合時(shí)， 當(dāng) P 與 重合時(shí)，因?yàn)? 與 平行，所以 A

由余弦函數(shù)性質(zhì)可知 y = cos θ 在 上單調(diào)遞減，所以 cos θ 的最小值為 中

評(píng)析：本題為求異面直線所成角的余弦值的最小值問(wèn)題.要求得余弦值的最值，需判斷動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所求角度的變化情況，再結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)對(duì)其余弦值的最值進(jìn)行判斷.在解答角度最值問(wèn)題時(shí)，首先要明晰題目中給出的所有條件，明確需要求解的是最大角還是最小角；接著通過(guò)輔助線或輔助面，建立動(dòng)點(diǎn)與已知點(diǎn)、線、面之間的幾何聯(lián)系；然后利用平面幾何或立體幾何的性質(zhì)與定理（如平行線性質(zhì)、垂直線性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、正弦定理、余弦定理等）進(jìn)行推導(dǎo)；最后利用代數(shù)方法（如配方法、求導(dǎo)法、不等式性質(zhì)等）求解角度的最值.

三、空間位置關(guān)系問(wèn)題

在立體幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中，空間位置關(guān)系問(wèn)題的命題情境及解題方法多樣.常見(jiàn)的空間位置關(guān)系考查包括平行與垂直關(guān)系、距離與角度關(guān)系等問(wèn)題，如判斷動(dòng)點(diǎn)軌跡與定直線、定平面的平行或垂直關(guān)系，求證動(dòng)點(diǎn)軌跡與某直線、平面平行或垂直的條件，涉及距離之和、差、積等特定條件的問(wèn)題等.

在解答此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，常用的方法包括以下幾種.

圓錐曲線定義法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中保持某些距離或角度一定條件不變時(shí)，可聯(lián)想解析幾何中有關(guān)軌跡（如圓、橢圓、拋物線等）的定義，從而轉(zhuǎn)化條件求解.

空間向量法：利用空間向量的性質(zhì)（如向量的點(diǎn)積、叉積等）來(lái)求解空間中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，這種方法可以降低思維難度，使解題思路程序化.

在解答這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，要求學(xué)生具備較強(qiáng)的空間想象力，需要學(xué)生結(jié)合具體情況和所給條件靈活選擇解題方法.

[例3]如圖6，在梯形ABCD中， A B / / C D ！ 四邊形ACFE為矩形，且 C F ⊥ 平面A B C D ， A D = C D = B C = C F = 1 .

（1）求證：平面 E F C D ⊥ 平面 B C F

（2）點(diǎn) M 在線段 E F 上運(yùn)動(dòng)，求當(dāng)點(diǎn) M 在什么位

置時(shí)，平面 M A B 與平面FCB所成銳二面角余弦值

為√3 #

解析：（1）略；

（2）以 C 為坐標(biāo)原點(diǎn)， C A ，C B ， C F 所在直線分別為 x 軸， y 軸， z 軸，得到如圖7所示的坐標(biāo)系.

因?yàn)?A D = C D = B C = C F = 1 ，則 A B = 2

又 所以 3由 余弦定理有 所以 ，則 設(shè) ！ 則

所以 設(shè) 為平面 M A B 的一個(gè)法向量，則 號(hào)令 x = 1 ，則 易知 為平面 F C B 的一個(gè)法向量，所以 解得 或 而 ，所以 所以 即M 在線段 E F 靠近點(diǎn) F 的三等分點(diǎn)處時(shí)，滿足題意.

評(píng)析：本題為立體幾何動(dòng)態(tài)問(wèn)題中關(guān)于點(diǎn)的確定問(wèn)題，屬于常見(jiàn)問(wèn)題.本題主要借助向量法，即通過(guò)構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，得到兩個(gè)平面的法向量，而后根據(jù)兩個(gè)平面的二面角余弦值進(jìn)行列式，從而得到動(dòng)點(diǎn)的位置.

綜上所述，高中立體幾何動(dòng)點(diǎn)常見(jiàn)的三類(lèi)問(wèn)題，分別為軌跡問(wèn)題、最值問(wèn)題、空間位置關(guān)系問(wèn)題.這三類(lèi)問(wèn)題又可以細(xì)分為多個(gè)子問(wèn)題，各問(wèn)題對(duì)應(yīng)不同的解題方法，這三類(lèi)問(wèn)題在每年的高考中都會(huì)有所涉及.本文歸納了幾類(lèi)問(wèn)題的常見(jiàn)命題情境及解題方法，但由于命題情境靈活多變，學(xué)生需掌握不同情境下的解題方法，以確保在考試中能夠快速準(zhǔn)確解題.

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（責(zé)任編輯 黃春香）