注重一題多解，發(fā)展幾何直觀素養(yǎng)

中考不僅是高中選拔人才的主要途徑，還為解題教學(xué)提供了方向指引.初中數(shù)學(xué)教師研究本省數(shù)學(xué)中考試題，尤其是壓軸題，具有重要的教學(xué)意義.

幾何直觀素養(yǎng)作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分，其培養(yǎng)需經(jīng)歷一個(gè)長(zhǎng)期過(guò)程，無(wú)法一蹴而就.在幾何題解答過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行一題多解訓(xùn)練，對(duì)發(fā)展學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)和創(chuàng)新意識(shí)大有神益.本文深人剖析2024年福建省中考數(shù)學(xué)第25題的內(nèi)在條件，結(jié)合相關(guān)數(shù)學(xué)模型探究解法，旨在為數(shù)學(xué)教師的解題教學(xué)提供參考，助力學(xué)生發(fā)展幾何直觀素養(yǎng).

一、試題呈現(xiàn)及分析

如圖1，在 Δ A B C 中， ∠ B A C = c A B = A C ，以 A B 為直徑的 ? o 交 B C 于點(diǎn) D ， A E ⊥ O C ，垂足為 E B E 的延長(zhǎng)線(xiàn)交 于點(diǎn) F

（1）求 的值；

（2）求證： Δ A E B Δ B E C （3）求證： A D 與 E F 互相平分.

本題的知識(shí)主題、考查的核心素養(yǎng)、問(wèn)題情境，如表1所示.

本題以圓為背景，命題風(fēng)格簡(jiǎn)潔，巧妙避開(kāi)常規(guī)套路和技巧，遵循了命題的公平性、創(chuàng)新性原則，是一道梯度合適、綜合性強(qiáng)的試題.試題通過(guò)合理設(shè)問(wèn)為學(xué)生搭建解決問(wèn)題的“腳手架”，引導(dǎo)學(xué)生的思維自然地從低階向高階發(fā)展，體現(xiàn)了“素養(yǎng)導(dǎo)向、知識(shí)為基、能力為重”的評(píng)價(jià)理念.試題聚焦圓的基本性質(zhì)、等腰三角形、直角三角形、相似三角形、全等三角形、三角函數(shù)、平行四邊形等核心知識(shí)，以及轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等重要思想方法，考查了幾何直觀、推理能力、運(yùn)算能力等核心素養(yǎng).其設(shè)計(jì)尊重學(xué)生個(gè)體差異，三個(gè)問(wèn)題自然銜接、相互關(guān)聯(lián)、層層遞進(jìn)，能有效區(qū)分不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)水平.試題各考查知識(shí)深度交融，既實(shí)現(xiàn)了角與邊的內(nèi)在關(guān)聯(lián)轉(zhuǎn)化，又滲透了運(yùn)用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題的思維方式.

二、試題解法探究

第（1）問(wèn)注重基礎(chǔ).解題需運(yùn)用幾何直觀，從圖1中抽象出基本圖形（如圖2），分析 O E ， A E 與其他線(xiàn)段的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，建立條件與條件、條件與結(jié)論之間的聯(lián)系.大部分學(xué)生能通過(guò)圖2中幾何圖形的基本特征，求出 或 該問(wèn)較為簡(jiǎn)單，以下側(cè)重分析第（2）和（3）問(wèn).

第（2）問(wèn)證明 Δ A E B ～ Δ B E C 的關(guān)鍵在于知識(shí)關(guān)聯(lián)和思維接軌.學(xué)生需要發(fā)現(xiàn)角與角、邊與邊、三角形與三角形之間隱藏的內(nèi)在關(guān)系，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)和判定來(lái)證明三角形相似并解決相關(guān)問(wèn)題，這充分考查了學(xué)生對(duì)邊角關(guān)系的理解和把握能力．

第（3）問(wèn)注重能力提升，通過(guò)探究本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生深度理解.

（一）第（2）問(wèn)的解法

1.執(zhí)果索因（分析法）

（1）三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似

由題可知， B E 是 Δ A E B 與 Δ B E C 的公共邊， ，只要找到 B E 與 A E 的數(shù)量關(guān)系，即可解決問(wèn)題.

設(shè) O E = x ，則 A E = 2 x ， C E = 4 x 根據(jù)勾股定 理，可得 接下來(lái)對(duì)求 B E 的方法進(jìn)行分類(lèi)討論.

解法1（利用母子型相似）： 又： ? ∠ B O E = ∠ C O B ， ∴ Δ B O E ～ 求得

解法2（利用勾股定理）：如圖3，過(guò)點(diǎn) E 作 E H ⊥ A B ，垂足為 H ，則E H = 2 O H . 在 R tΔ E O H 中， O E = x ， ， 在 R tΔ B E H 中，： ，

《課標(biāo)》指出，“圖形與坐標(biāo)\"強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合，用代數(shù)方法研究圖形，在平面直角坐標(biāo)系中用坐標(biāo)表示圖形上點(diǎn)的位置，用坐標(biāo)法分析和解決實(shí)際問(wèn)題.基于此，可通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系（如圖4或圖5）解題.

解法3（建立平面直角坐標(biāo)系）：如圖4，以 A 為原點(diǎn)， A B 邊所在直線(xiàn)為 x 軸， A C 邊所在直線(xiàn)為 y 軸，建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè) A （ 0 ， 0 ） ， B （ 2 a ， 0 ） C （ 0 ， 2 a ） ， O （ a ， 0 ） ， D （ a ， a ） ，則 ：直線(xiàn) C O 的方程為 ，直線(xiàn) A E 的方程為 ，聯(lián)立兩直線(xiàn)方程，求出點(diǎn) E 的坐標(biāo)為 利用兩點(diǎn)間距離公式，求得AE=2√5 = 最后求出三邊的比值，證明三邊對(duì)應(yīng)成比例即可.

（2）兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似

結(jié)合題干，若要證 Δ A E B ～ Δ B E C ，只需證 ∠ B A E = ∠ C B E ， ∠ B C E = ∠ A B E .

在 Δ A B C 中， ，又由（1）可知 ∠ B A E = ∠ A C E ，： ∠ B C E + 若要 ∠ B A E = ∠ C B E ， ∠ B C E = ∠ A B E ，只要 ，即 又： A E ⊥ O C 故證明 即可.

基于證 角構(gòu)造直角三角形的經(jīng)驗(yàn)，有以下幾種解法：

解法4：如圖6，過(guò)點(diǎn) B 作 B G ⊥ C E ，交 C E 延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn) G ， ∴ ∠ B G O = ： A O = B O ， ∠ B O G ， ∴ Δ A E O ? Δ B G O ，得 A E = B G ， O E = O G . 由（1）知 A E = 2 O E ，： . B G = 2 O E = E G ，得 ∠ G E B = ∠ G B E = ，即 ：

解法5：如圖7，延長(zhǎng) A E ，與圓交于點(diǎn) M ，連接 B M . ∵ A B 是直徑，· ，得 ∠ A M B = ∠ A E O ，故 E O / / B M ， ，即

A E = E M ， E 為 A M 的中點(diǎn)， ∴ E O 是 Δ A B M 的中位線(xiàn)，得 B M = 2 O E 又： A E = 2 O E ，： . E M = 2 O E ，即

解法6：如圖8，過(guò)點(diǎn) o 作 O N ⊥ B E 于點(diǎn) （直徑所對(duì)圓周角）， ，： ， ，得 ∠ N E O = ∠ E A F ，故Δ E O N Δ A E F ，結(jié)合 A E = 2 O E 易得 E F = 2 O N . 要證 ，只需證 ，即 ，故 N O / / A F ，： 即 A F = 2 O N ）

2.執(zhí)因索果（挖掘圖形結(jié)構(gòu)）

解法7（一線(xiàn)三直角）：如圖8，依據(jù)圖形直觀感知，可聯(lián)想到“一線(xiàn)三直角”模型，具體解答過(guò)程同解法6.

解法8（倍長(zhǎng)中線(xiàn)）：如圖 是 的中點(diǎn)，延長(zhǎng) 至點(diǎn) ，使得O G = O E ，由此可證 Δ A E O ? Δ B G O ，得到 ，具體解答過(guò)程與解法4相似.

解法9（共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)）：將Δ E A B 繞點(diǎn) A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 得Δ A C G ，連接 G F ，如圖10所示.本解法相對(duì)復(fù)雜，這里僅提供輔助線(xiàn)（提示：需證 G， F， E 三點(diǎn)共線(xiàn)）

（二）第（3）問(wèn)的解法

1.圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和文字語(yǔ)言相互轉(zhuǎn)化

設(shè) E F ， A D 相交于點(diǎn) P ，如圖11所示.將文字語(yǔ)言“求證： A D 與 E F 互相平分\"轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言‘ 又或者證明 A D 與E F 的中點(diǎn)是同一點(diǎn).

證法1（純計(jì)算）：設(shè) O E = x ，則 A E = 2 x ， A F = （可見(jiàn)解法6），由勾股定理得 ， 在 R tΔ B D P 中， ，可得BD=2DP，即DP=√10 在Rt△AFP中，易得FP=√2 ： A D = 2 A P E F = 2FP.

證法2（三角函數(shù)）：通過(guò)對(duì)題目的分析可知，只需證明 B D = 2 P D ， A F = 2 F P ，而 B D 與 P D 在R tΔ B D P 中， A F 和 F P 在 R tΔ A F P 中，因此只需從三角函數(shù)入手求解.由（2）可知 ∠ P B D = ∠ B A E ，又由 （可見(jiàn)解法6）， ∴ ∠ F A P = ∠ B A E ，即tan

證法3（建系）：如圖4，由第（2）問(wèn)的解法3可知A （ 0 ， 0 ） ， B （ 2 a ， 0 ） ， C （ 0 ， 2 a ） ， O （ a ， 0 ） ， D （ a ， a ） ，即 A D 的中點(diǎn)坐標(biāo)為 ：直線(xiàn) C O 的方程為 - 2 x + 2 a ，直線(xiàn) A E 的方程為 ，聯(lián)立兩直線(xiàn)方程，求得點(diǎn) E 的坐標(biāo)為 ：直線(xiàn) 的方程為 ，直線(xiàn) A D 的方程為 ，聯(lián)立兩直線(xiàn)方程，求得交點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ：直線(xiàn) A F 的方程為 ，直線(xiàn) 的方程為 ，聯(lián)立兩直線(xiàn)方程，求得點(diǎn) F 的坐標(biāo)為 由此可以求出 E F 的中點(diǎn)坐標(biāo)為 可知交點(diǎn) P 分別為 E F 和 A D 的中點(diǎn).

《課標(biāo)》指出，要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷針對(duì)圖形性質(zhì)、關(guān)系、變化確立幾何命題的過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)命題中條件和結(jié)論的表述，感悟數(shù)學(xué)表達(dá)的準(zhǔn)確性和嚴(yán)謹(jǐn)性，會(huì)借助圖形分析問(wèn)題，形成解決問(wèn)題的思路，發(fā)展模型觀念.幾何證明的難點(diǎn)在于需結(jié)合圖形，將條件和結(jié)論中的孤立知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來(lái)，形成準(zhǔn)確、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)表達(dá).而整合文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言的過(guò)程正是思維聯(lián)系和發(fā)展的過(guò)程.

2.挖掘題目?jī)?nèi)涵，構(gòu)造平行四邊形

由“求證： A D 與 E F 互相平分”可聯(lián)想到平行四邊形對(duì)角線(xiàn)互相平分的性質(zhì).因此，連接 D F 和 D E （如圖12），只需證明四邊形AFDE是平行四邊形.由“同弧所對(duì)圓周角相等”可知， ，又由第（2）問(wèn)的解法6可知 ，即 ∠ B F D = ∠ A E F ，得 A E / / F D

證法4：只需證 A F / / D E . 由（2）可知 Δ A E B c o △BE Δ B E D ，： ? ∠ A F B = ∠ D E F ，即 A F / / D E 業(yè)

證法5：如圖13，以 D 為圓心， B D 為半徑作圓，易知其為Δ A B C 的外接圓，延長(zhǎng) ，與? D 交于點(diǎn) Q ，連接 c Q ，則 ∠ B Q C = ，： ∠ B Q C = ∠ A F E ，得 C Q / / A F . 又：t ：BQ=

2CQ.又： ， . C Q = Q E ，得 E 為 B Q 的中點(diǎn)，： E D 為 Δ B Q C 的中位線(xiàn)，即 C Q / / D E ， D E / / A F 得證.

證法6：只需證 A E = D F . 如圖12，設(shè) O E = x ，則A E = 2 x 為求 D F 的長(zhǎng)度，考慮構(gòu)造 D F 所在的直角三角形.結(jié)合圖形，可直觀感知 Δ D E F 是直角等腰三角形，因此目標(biāo)鎖定于證明‘ .由 可知， O C ⊥ D F 于點(diǎn) s . 根據(jù)垂徑定理， s 為 D F 的中點(diǎn)，即 o c 垂直平分 D F D E = E F ，由此可證

證法7：只需證 A E = D F . 設(shè) O E = x ，則 A E = 2 x 元為求 F D 的長(zhǎng)度，考慮通過(guò)三角形相似得到邊的數(shù)量關(guān)系.如圖12，易證 Δ D F A ～ Δ B E A 由第（1）問(wèn)的解法1可知 ，故D F = 2 x

在思考與解決問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生需經(jīng)歷觀察、推理、計(jì)算、證明等基本數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，以厘清幾何圖形的內(nèi)在邏輯關(guān)系，并運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題.這一過(guò)程對(duì)學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)、推理能力、抽象能力和運(yùn)算能力等核心素養(yǎng)的發(fā)展具有重要意義.

三、教學(xué)思考

（一）感知圖形結(jié)構(gòu)，探尋多元解法

幾何題解題應(yīng)從審圖人手，邊推敲題自邊標(biāo)注圖形中的量，進(jìn)行條件的組合聯(lián)想，從復(fù)雜圖形中抽象出基本圖形，并思考由此聯(lián)想到的內(nèi)容.幾何直觀的基石是基本圖形，探究其蘊(yùn)含的線(xiàn)段、角度關(guān)系以及圖形間的關(guān)聯(lián)，可挖掘出題目的隱含信息.這一過(guò)程需在日常訓(xùn)練中強(qiáng)化，如多觀察近幾年各地中考幾何壓軸題的圖形，多進(jìn)行聯(lián)想，并多思考如何借助尺規(guī)作圖逐步還原圖形.本題中，第（1）問(wèn)的解法以及第（2）問(wèn)的解法7至解法9均借助直觀想象與題目條件的關(guān)聯(lián)，從題圖中抽象出基本圖形.第（2）問(wèn)通過(guò)分析法所得的構(gòu)造輔助線(xiàn)方法（如一線(xiàn)三直角、倍長(zhǎng)中線(xiàn)等），令人有種“撥云見(jiàn)日”之感.第（2）、（3）問(wèn)均可根據(jù)垂直條件聯(lián)想到建系法，以數(shù)解形.正如笛卡兒所言“一切數(shù)學(xué)問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題”，第（3）問(wèn)將圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和文字語(yǔ)言進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化，并結(jié)合圖形，能產(chǎn)生多種解題視角.

在日常教學(xué)中，教師應(yīng)深入挖掘幾何題背后的原理、方法和思想，引導(dǎo)學(xué)生探尋多角度的解題思路.在實(shí)現(xiàn)一題多解的同時(shí)，還需總結(jié)一般化方法，以達(dá)到“會(huì)一題，通一類(lèi)\"的效果，進(jìn)而提高備考效率.

（二）多方面發(fā)力，發(fā)展核心素養(yǎng)

《課標(biāo)》在解析幾何直觀素養(yǎng)的內(nèi)涵時(shí)指出，建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型.在本題中，多樣的輔助線(xiàn)添加都源于幾何直觀和空間觀念.基于本題所體現(xiàn)的幾何直觀與空間觀念的重要性，在平常教學(xué)中，教師應(yīng)多關(guān)注以下幾點(diǎn)：

1.引入實(shí)際問(wèn)題：以解決實(shí)際生活中的問(wèn)題為途徑引入幾何概念，讓學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中培養(yǎng)幾何直觀素養(yǎng)和推理能力.將現(xiàn)實(shí)生活中學(xué)生熟悉的資源作為命題素材，既能讓學(xué)生產(chǎn)生親切感，又能使其感受數(shù)學(xué)價(jià)值，關(guān)注社會(huì)以及數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，這符合《課標(biāo)》倡導(dǎo)的學(xué)習(xí)方式.

2.利用圖形工具：《課標(biāo)》在內(nèi)容整合的基礎(chǔ)上強(qiáng)調(diào)代數(shù)推理和幾何直觀.強(qiáng)化幾何直觀需重視尺規(guī)作圖，以此建立圖形直觀感覺(jué)，培養(yǎng)空間想象能力.因此，應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生規(guī)范使用尺、圓規(guī)、幾何畫(huà)板等工具的習(xí)慣，使其通過(guò)動(dòng)手操作探索幾何圖形性質(zhì)，增強(qiáng)直觀感受.同時(shí)，借助數(shù)字化幾何軟件，學(xué)生能在計(jì)算機(jī)上繪制和操作幾何圖形，進(jìn)一步加深對(duì)幾何概念的理解，為發(fā)展幾何直觀素養(yǎng)提供支持.

3.設(shè)計(jì)探究活動(dòng)：設(shè)計(jì)探究活動(dòng)，讓學(xué)生通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納等方法探索與發(fā)現(xiàn)幾何規(guī)律，逐步培養(yǎng)推理能力.

4.邏輯推理訓(xùn)練：注重邏輯推理訓(xùn)練，通過(guò)證明定理、解決幾何問(wèn)題等活動(dòng)，鍛煉學(xué)生的邏輯思維和推理能力.信息技術(shù)可用于創(chuàng)建互動(dòng)式邏輯推理練習(xí)，讓學(xué)生在解題過(guò)程中培養(yǎng)邏輯思維，提升推理能力.

5.傳授問(wèn)題解決策略：教會(huì)學(xué)生解決問(wèn)題的策略和方法，借助思維導(dǎo)圖幫助學(xué)生形成系統(tǒng)的思維方式.信息技術(shù)可提供虛擬實(shí)驗(yàn)室、模擬環(huán)境等，讓學(xué)生在模擬環(huán)境中嘗試解決問(wèn)題，進(jìn)而更好地掌握問(wèn)題解決策略.

6.交流與討論：鼓勵(lì)學(xué)生在小組內(nèi)交流解題思路與方法，通過(guò)討論和辯論深化對(duì)幾何概念及推理方法的理解.信息技術(shù)可用于創(chuàng)建在線(xiàn)討論區(qū)或論壇，以供學(xué)生線(xiàn)上交流討論.

7.反思與總結(jié)：每次學(xué)習(xí)活動(dòng)結(jié)束后，引導(dǎo)學(xué)生反思總結(jié)，幫助他們把握所學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系及邏輯關(guān)系.信息技術(shù)可提供在線(xiàn)反思工具，幫助學(xué)生記錄整理學(xué)習(xí)與思考過(guò)程

8.跨學(xué)科學(xué)習(xí)：以數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容為核心，融合其他學(xué)科知識(shí)、思想、方法的試題，是以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的考試評(píng)價(jià)的重要探索方向.將幾何知識(shí)與物理、美術(shù)等其他學(xué)科知識(shí)相融合，能讓學(xué)生在跨學(xué)科背景下，更全面地培養(yǎng)幾何直觀素養(yǎng)和推理能力.信息技術(shù)可用于營(yíng)造跨學(xué)科學(xué)習(xí)環(huán)境，讓學(xué)生在整合多學(xué)科知識(shí)的平臺(tái)上開(kāi)展學(xué)習(xí)探索.

綜上，整理解題細(xì)節(jié)，回味探尋解法之樂(lè)，感慨教師視角決定學(xué)生解題視野之寬窄.若能認(rèn)真研讀課標(biāo)，從問(wèn)題解答中探究每種解法的切人角度，優(yōu)化解題思路，并鼓勵(lì)學(xué)生多角度分析圖形、挖掘本質(zhì)，長(zhǎng)此以往，我們看問(wèn)題便能達(dá)到一定高度，能以更廣闊的視角引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用幾何直觀和邏輯推理分析與解決問(wèn)題，從而更有效地培養(yǎng)其應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，提升其幾何直觀、抽象能力、推理能力等核心素養(yǎng).

[參考文獻(xiàn)]

[1］中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：2022年版M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2」孫軍波，何東濤.數(shù)學(xué)命題技術(shù)研究[M].杭州：浙江教育出版社，2024.

[3]藍(lán)文英.分析結(jié)構(gòu)明辨方向拓展思維：一道中考幾何壓軸題的解法探究與教學(xué)思考[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2024（9）：34-37.

（責(zé)任編輯 黃春香）