基于傳遞矩陣法的永磁渦流聯(lián)軸器不平衡響應(yīng)分析

中圖分類號(hào)：TM359.9 DOI：10.16578/j.issn.1004.2539.2025.05.013

0 引言

永磁渦流聯(lián)軸器是一種新型聯(lián)軸器系統(tǒng)，利用永磁體與導(dǎo)體之間的電磁力，在不同軸系之間傳遞動(dòng)能與力矩。永磁渦流聯(lián)軸器具備軟啟動(dòng)、非接觸連接的特點(diǎn)，相較于其他固定聯(lián)軸器有著高安全性、高力矩傳導(dǎo)效率與長(zhǎng)工作壽命的優(yōu)點(diǎn)，在航空航天、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域有著廣闊的應(yīng)用前景（1163-664

永磁渦流聯(lián)軸器因其優(yōu)秀的性能與發(fā)展?jié)摿Γ湓O(shè)計(jì)與磁力學(xué)分析已經(jīng)成為學(xué)界研究的熱點(diǎn)[2-3]由于高速電動(dòng)機(jī)組工作條件的嚴(yán)苛性，軸系存在的質(zhì)量不平衡現(xiàn)象會(huì)引發(fā)軸件壽命縮短、工作效率與準(zhǔn)確度降低、產(chǎn)生較大噪聲等一系列問題4。為了解決以上問題，在對(duì)高速軸系進(jìn)行產(chǎn)品質(zhì)量檢測(cè)時(shí)，往往需要進(jìn)行質(zhì)量配平工序；由于高速軸系的工作轉(zhuǎn)速往往高于其自身的臨界轉(zhuǎn)速，多被視作撓性轉(zhuǎn)子，需要對(duì)其進(jìn)行動(dòng)平衡分析5；同時(shí)，高速軸系作為高速轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)械中的重要組件，為了提高永磁渦流聯(lián)軸器的性能、延長(zhǎng)工作壽命，需要對(duì)其進(jìn)行準(zhǔn)確可靠的不平衡響應(yīng)分析。

當(dāng)前，對(duì)于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不平衡分析的主流方法主要有影響系數(shù)法和模態(tài)振型分析法。影響系數(shù)法主要被應(yīng)用在大型轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)械的軸系不平衡分析上。例如：文獻(xiàn)[6]采用雙目標(biāo)優(yōu)化方法，對(duì)影響系數(shù)法進(jìn)行優(yōu)化處理，從而完成了柔性轉(zhuǎn)子的動(dòng)平衡。文獻(xiàn)[7]提出廣義影響系數(shù)法，利用主動(dòng)磁軸承使轉(zhuǎn)子平穩(wěn)通過臨界轉(zhuǎn)速。模態(tài)振型分析法則是通過分析轉(zhuǎn)子軸系的模態(tài)頻率以及在該頻率下的振幅，將分散在軸段的各處不平衡量根據(jù)模態(tài)分析結(jié)果集中在若干個(gè)面上，以此高效準(zhǔn)確地完成配平工序。例如：文獻(xiàn)[8]基于瞬時(shí)模態(tài)，利用不平衡量和瞬態(tài)激振力的關(guān)系，有效地識(shí)別出轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不平衡量。文獻(xiàn)[9]在影響系數(shù)法與模態(tài)振型分析法之外，提出了全息動(dòng)平衡技術(shù)以及自動(dòng)平衡技術(shù)，為解決這類問題提供了不同方案。

由于永磁渦流聯(lián)軸器具備非直接接觸的特點(diǎn)，為了展開對(duì)該結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)分析，需要將聯(lián)軸器兩軸之間的磁力連接等效轉(zhuǎn)化為動(dòng)力學(xué)連接。為了高效準(zhǔn)確地解決永磁渦流聯(lián)軸器的動(dòng)平衡問題，本文根據(jù)已有模型構(gòu)建出聯(lián)軸器的集總動(dòng)力學(xué)模型，將永磁盤與導(dǎo)體盤之間的磁力連接等效轉(zhuǎn)化為動(dòng)力學(xué)連接，利用Riccati傳遞矩陣法構(gòu)建出聯(lián)軸器轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)的不平衡響應(yīng)分析模型；通過在不同平衡面添加預(yù)設(shè)不平衡量并作為激勵(lì)，得到了永磁渦流聯(lián)軸器在不同不平衡量作用下的響應(yīng)特征規(guī)律。

1轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模型構(gòu)建

1.1 聯(lián)軸器結(jié)構(gòu)

以圖1所示的基礎(chǔ)版盤式永磁渦流聯(lián)軸器盤樣機(jī)為研究對(duì)象，聯(lián)軸器的主體結(jié)構(gòu)為永磁轉(zhuǎn)子盤與導(dǎo)體轉(zhuǎn)子盤。其中，永磁轉(zhuǎn)子盤由背鐵與永磁體組成，導(dǎo)體轉(zhuǎn)子盤由背鐵與導(dǎo)體盤（本樣機(jī)導(dǎo)體盤為鋁盤）組成。兩者分別通過連接軸與主動(dòng)軸和從動(dòng)軸連接，在連接軸的粗端安裝滾動(dòng)軸承，兩部分之間通過渦流產(chǎn)生的磁力互相作用，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)矩的傳遞。

1.2集總模型建立

基于圖1所示樣機(jī)，構(gòu)建聯(lián)軸器轉(zhuǎn)子的集總模型，即選取該模型的軸向橫截面，將目標(biāo)轉(zhuǎn)子模型沿中心軸線分為 N 個(gè)軸段，每一軸段均被簡(jiǎn)化為無厚度圓盤與無質(zhì)量短軸的結(jié)合體。由文獻(xiàn)[10]可知，為了對(duì)聯(lián)軸器轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行有效的動(dòng)力學(xué)分析，需要控制軸段數(shù) N 滿足以下條件

N?5.33r+1

式中， r 為計(jì)算范圍內(nèi)固有頻率出現(xiàn)的最高階數(shù)，通常需要計(jì)算出轉(zhuǎn)子軸系的3階及以上固有頻率。本文選擇的軸段數(shù) N 為17，滿足分析要求。

設(shè)定的聯(lián)軸器相關(guān)參數(shù)如表1所示。表1中，永磁盤與導(dǎo)體盤的內(nèi)徑與外徑相同，連接的背鐵與連接軸的幾何參數(shù)相同。表1中參數(shù)對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)示意圖——集總動(dòng)力學(xué)模型如圖2所示。

1.3聯(lián)軸器磁力等效

永磁渦流聯(lián)軸器的工作原理：利用主動(dòng)軸高速旋轉(zhuǎn)時(shí)產(chǎn)生的磁力帶動(dòng)從動(dòng)軸，達(dá)到傳遞速度與力矩的效果。為了方便計(jì)算，設(shè)定該樣機(jī)的氣隙為固定值 （3.5mm ）。永磁體的形狀不會(huì)對(duì)磁力效果產(chǎn)生影響，同樣底面積和厚度的永磁體產(chǎn)生的磁力效果是相等的。本文采用圓形永磁體。

在氣隙保持不變的情況下，為了使聯(lián)軸器的功率與轉(zhuǎn)矩傳遞效果最大化，一般會(huì)將主動(dòng)軸與從動(dòng)軸的轉(zhuǎn)差率保持在 0.05^[1]669 。在此條件下，可以將兩盤之間的相互作用效果等效為傳遞等量轉(zhuǎn)矩與一定比例轉(zhuǎn)速的磁力連接。查閱磁力連接的剛度系數(shù)資料[12]，設(shè)定該連接剛度為 1000N/m 。

2 分析原理

2.1 軸段受力分析

將分為 N 個(gè)軸段的轉(zhuǎn)子軸系作為研究目標(biāo)，從中任選一軸段i進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析。該軸段上存在不平衡量 U_i ，對(duì)該轉(zhuǎn)子軸段產(chǎn)生的不平衡力 F_i 為

式中， U_i 為不平衡量， N?_m ； 為轉(zhuǎn)子的進(jìn)動(dòng)速度，r/s。

軸段左右兩端的傳遞關(guān)系為

Z_i+1=T_iZ_i+F_i

式中， Z_i 為軸段 i 的狀態(tài)矩陣； ±bT_i 為軸段 i 的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)傳遞矩陣。通過分析軸段的受力關(guān)系與材料力學(xué)，可以得到式（3）的具體表達(dá)式，即

式中， X 、C、 M 、 Q 分別為截面的4個(gè)主要參數(shù)，即轉(zhuǎn)子在運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的徑向位移 （m） 、產(chǎn)生的彎曲撓角、構(gòu)件負(fù)載的彎矩 （N?m） 與剪力（N）；l、 ?_m 分別為當(dāng)前軸段的長(zhǎng)度 （m） 與質(zhì)量 （kg） ； E 為軸段彈性模量， N/m² K 為軸段所受的支承剛度， N/m ; J_p 、 J_t 分別為當(dāng)前軸段的極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與直徑轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，kg?m² . I 為軸段截面矩， m⁴ . u 為截面剪切影響系數(shù)，根據(jù)文獻(xiàn)[ 10]^82-85 ，有

式中， k_t 為截面常數(shù)，實(shí)心軸段一般為0.886； G 為材料切變模量， N/m² A 為截面面積， m² ○

2.2Riccati傳遞矩陣法分析

對(duì)傳遞關(guān)系矩陣進(jìn)行分割處理與Riccati變換，可以實(shí)現(xiàn)傳遞矩陣計(jì)算的簡(jiǎn)化，減小計(jì)算復(fù)雜度，提高對(duì)目標(biāo)不平衡響應(yīng)的計(jì)算穩(wěn)定性與計(jì)算精度。

將軸段 i 的狀態(tài)矢量矩陣 Z_i 分為 f_i 與 e_i 兩組，其中， f_i 包含 ±bM_i 與 Q_i 分量， e_i 包含 X_i 與 C_i 分量。將傳遞矩陣 ±bT_i 分為對(duì)應(yīng)的4個(gè) 2×2 分矩陣 （±bu_11i，±bu_12i，±bu_21i， （204Δu_22i） 。將變換代入式（4），可以得到

對(duì)式（6）進(jìn)行變換，可以得到

為了對(duì)轉(zhuǎn)子軸段進(jìn)行進(jìn)一步分析，設(shè) f_i=S_ie_i+P_i 其中， S_i 為軸段 i 內(nèi)力形變矩陣； P_i 為軸段 i 外力形變矩陣。則式（7）可改寫為

S_i+1=（u_11iS_i+u_12i）（u_21iS_i+u_22i）^-1

P_i+1=（u_11iP_i+u_01i）-S_i+1（u_21iP_i+u_02i）

根據(jù)轉(zhuǎn)子的邊界條件可知： f₁=0 ， e₁≠0 ， f_N+1=0 e_N+1≠0 ，可以推導(dǎo)出以下邊界值

將 e_N+1 代入式（7），即可得到各軸段對(duì)應(yīng)的狀態(tài)分矩陣 e_i ，從而得到各軸段的徑向位移 X 與彎曲撓角c 。其中， X 為該軸段的不平衡響應(yīng)值。 e_i 的具體推導(dǎo)公式為

i=1，2，…，N

2.3 程序設(shè)計(jì)

為了確定轉(zhuǎn)子模型的不平衡響應(yīng)值，需要輸入在模態(tài)分析中獲得的臨界轉(zhuǎn)速值，以推導(dǎo)在臨界轉(zhuǎn)速下的轉(zhuǎn)子傳遞矩陣式。將轉(zhuǎn)軸參數(shù)與不平衡量代

入式（8）＼～式（9），得出 P_i ， S_i 的值；然后利用式（10）＼～式（11）求得轉(zhuǎn)子各軸段的不平衡響應(yīng)值分布。具體程序流程圖如圖3所示。

3計(jì)算結(jié)果分析

3.1傳遞矩陣法計(jì)算結(jié)果

本節(jié)對(duì)永磁渦流聯(lián)軸器進(jìn)行不平衡響應(yīng)分析。在選中轉(zhuǎn)子鐵軸的粗端設(shè)置彈性軸承約束，其等效剛度為 1×10⁶N/m 。設(shè)置永磁盤與導(dǎo)體盤之間存在剛度為 1000N/m 的彈性軸向連接，分別在永磁背鐵盤、導(dǎo)體背鐵盤的外徑邊緣處上邊緣點(diǎn)加載預(yù)設(shè)不平衡量 1×10^-4N?m ，并選取永磁背鐵盤外徑邊緣處上邊緣點(diǎn)為振動(dòng)觀測(cè)點(diǎn)，計(jì)算聯(lián)軸器在分布于不同軸段上的不平衡量作用下產(chǎn)生的形變量，并繪制出相應(yīng)的頻率-形變分布圖，如圖4所示。

得到的聯(lián)軸器3階模態(tài)轉(zhuǎn)速分別為50.5、102.5、 474.5r/s 。當(dāng)不平衡量作用于永磁盤時(shí)，對(duì)應(yīng)的模態(tài)振型如圖5所示。

3.2 三維有限元驗(yàn)證

根據(jù)盤狀永磁渦流聯(lián)軸器的計(jì)算模型，建立對(duì)應(yīng)的三維有限元模型，如圖6所示。聯(lián)軸器轉(zhuǎn)子的不平衡量被設(shè)置于對(duì)應(yīng)盤體背鐵的外表面處，在兩軸之間設(shè)置彈性連接，大小為 1000N/m 。設(shè)置轉(zhuǎn)子鐵軸的連接端口為僅允許軸向旋轉(zhuǎn)的遠(yuǎn)端約束，在鐵軸的粗端設(shè)置等效剛度為 1×10⁶N/m 的彈性軸承約束。

+

通過三維有限元仿真分析，得到聯(lián)軸器對(duì)應(yīng)的諧響應(yīng)分析結(jié)果，得到的聯(lián)軸器3階模態(tài)轉(zhuǎn)速分別為54、106、 471r/s 。當(dāng)不平衡量作用于永磁盤時(shí)，聯(lián)軸器展現(xiàn)出的前3階模態(tài)振型云圖如圖7所示。

比較傳遞矩陣法與三維有限元法的不平衡振型分析結(jié)果（圖5與圖7）可知，1階振型均為永磁盤振動(dòng)，2階振型均為導(dǎo)體盤振動(dòng)，3階振型均為永磁盤與導(dǎo)體盤振動(dòng)。兩種方法得到的振型分析結(jié)果基本相符。

選取永磁背鐵盤外徑邊緣處上邊緣點(diǎn)為振動(dòng)觀測(cè)點(diǎn)，將三維有限元分析法與傳遞矩陣法的諧響應(yīng)分析結(jié)果進(jìn)行比較，如圖8所示。

由圖8可知，曲線之間的擬合度較好，表明了本文傳遞矩陣法的準(zhǔn)確性。此外可以發(fā)現(xiàn)，三維有限元結(jié)果得到的振動(dòng)速率相對(duì)較高，兩者最大偏差為7.4% 。出現(xiàn)偏差的主要原因是基于傳遞矩陣法的一維動(dòng)力學(xué)分析模型與三維有限元模型之間存在一定差異。

3.3不平衡響應(yīng)計(jì)算結(jié)果分析

當(dāng)轉(zhuǎn)速達(dá)到各階模態(tài)轉(zhuǎn)速時(shí)，觀測(cè)分別位于永磁盤與導(dǎo)體盤上的振動(dòng)觀測(cè)點(diǎn)，得到不同不平衡量引發(fā)的振動(dòng)形變量，如表2所示。

比較兩種情況下的觀測(cè)點(diǎn)位移，在整個(gè)轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)，可以觀測(cè)到以下特點(diǎn)：

1.不平衡量在同側(cè)轉(zhuǎn)子產(chǎn)生的整體形變量遠(yuǎn)大于異側(cè)轉(zhuǎn)子形變量，但這一差值會(huì)在聯(lián)軸器轉(zhuǎn)速接近各階模態(tài)轉(zhuǎn)速時(shí)顯著縮小。2.當(dāng)轉(zhuǎn)子達(dá)到2階臨界轉(zhuǎn)速時(shí)，產(chǎn)生的不平衡振動(dòng)最大。當(dāng)不平衡量作用于永磁盤時(shí)，轉(zhuǎn)子產(chǎn)生的不平衡振動(dòng)最大，其2階振幅為 2.91×10^-2m ○

異側(cè)轉(zhuǎn)子也產(chǎn)生形變量的原因：當(dāng)一側(cè)轉(zhuǎn)子因不平衡量產(chǎn)生形變時(shí)，產(chǎn)生的形變量會(huì)引發(fā)永磁盤與導(dǎo)體盤之間的電磁力變化，使異側(cè)轉(zhuǎn)子產(chǎn)生形變。對(duì)比同側(cè)轉(zhuǎn)子與異側(cè)轉(zhuǎn)子的受力情況，前者兼受不平衡力與電磁力變化的影響，后者只受到電磁力變化的影響。因此，不平衡量在同側(cè)轉(zhuǎn)子上產(chǎn)生的總體形變量遠(yuǎn)大于異側(cè)轉(zhuǎn)子形變量。

4結(jié)論

提出了一種基于Riccati傳遞矩陣法的永磁渦流聯(lián)軸器不平衡分析方法，對(duì)永磁渦流聯(lián)軸器的動(dòng)力學(xué)特征展開了進(jìn)一步的分析。對(duì)于永磁轉(zhuǎn)子與導(dǎo)體轉(zhuǎn)子之間存在的電磁力，使用等效參數(shù)換算的方法進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)分析。通過構(gòu)建集總分析模型與建立不平衡響應(yīng)分析程序，準(zhǔn)確地分析出永磁渦流聯(lián)軸器的不平衡分布特征。利用三維有限元仿真方法，驗(yàn)證了傳遞矩陣法分析結(jié)果的準(zhǔn)確性，為相關(guān)轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)械的動(dòng)平衡提供了有效的分析思路與可借鑒的結(jié)論。

對(duì)永磁渦流聯(lián)軸器的不平衡特性進(jìn)行分析，得出如下結(jié)論：在轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)，相較于不平衡量作用于觀測(cè)點(diǎn)異側(cè)轉(zhuǎn)子的情況，不平衡量作用于觀測(cè)點(diǎn)同側(cè)轉(zhuǎn)子產(chǎn)生的不平衡整體形變量較大；在轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)，異側(cè)轉(zhuǎn)子產(chǎn)生的不平衡形變量明顯較小。

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