開辟數學核心素養提高的特色途徑

在數學科目中，為證明某個命題正確，應進行全面的邏輯推理，當判斷某個命題錯誤時，僅僅利用一個反例便能完成證明.為此，廣大數學教師應合理運用反例，深化學生在概念中的認知，幫助學生有效判斷命題，使其形成強大的解決問題能力.具體而言，數學教師應調整自身思維，完善教學理念，切實關注反例教學，深入挖掘反例的功能，讓數學教學達到更高水平的提升.

1 反例的基本內涵

數學反例指代符合某個命題的條件，但與命題結論不相符的例子.簡而言之，反例即證明某命題不成立的對應例子.站在某種角度來說，每一個例子都可稱作反例.即便是荒謬的命題也可證明成立，然而，教師所提及的反例是以被證明過的理論和邏輯推理為準，其作用也較為顯著.

反例教學中所用反例內涵獨特，主要指代教育實踐活動中所整理的典型例題的錯誤解法與核心知識點的常見錯誤認識，此種具有顯著的教學價值，經由錯解展示可理清解題的一般規律與基本方法，學會知識點，夯實薄弱點.反例教學通常會耗用較長的時間與一定的精力，若反例龐雜，那么會對教師與學生造成較大的負擔，可能會事與愿違，但若是教師自主挑選的反例，則教學意義也不顯著.為此，反例一定要保證有代表性，且簡練.

2 反例的應用意義

反例教學法強調通過實際材料來闡述教學觀點，所引入的材料應保證完整和典型，實際操作環節還應保證規范，其應用具有重大意義，主要表現在下述幾個層面：其一，可深化學生在抽象數學知識中的認知，促進概念定理的學習.反例應用應保證從簡單到復雜，為學生呈現直觀、清晰、具體的內容.經由反例可深化學生的感知印象，促進知識內化.其二，可彰顯學生的創造力.反例通常包含核心及枝節部分，教師應帶領學生摒棄枝節的不良影響，有效把控反例核心.核心內容和概念性質緊密相連，然而此種對應絕非一一對應，某個反例可能會與三四個概念定理相連，學生應全面應用數學知識挖掘反例，并學會從反例中找到問題的實質.其三，可幫助學生建立積極的情感.對典型反例進行講授可讓學生產生共鳴，外加教師的形象講解和學生的大力配合，可增強學生的認知，激發內在學習探索欲望，強化認知和體驗的整合，幫助學生建立堅定的信念.其四，可促進教學相長.在教學實踐活動中，教師充當著講授者與組織者，如果整個教學過程學生的思維都保持高度活躍，則思考探究效果也會比較理想，讓教師與學生共同成長.

3反例的主要應用原則

反例教學在數學教學活動中具有顯著的應用意義，它可利用有限時間通過最簡便的途徑尋求問題的答案，且在此環節，學生可經由反例研究增強探索意識，增強數學解題能力.綜合來說，具有重大意義，然而反例不是簡單的解題手段，實際應用過程應遵守下述原則.

3.1 有效性

教師應依托高考標準，讓學生能夠靈活運用反例，具體可參照高考題型制定科學、可行的應用計劃，一旦遇到相應題型會及時選用反例法，另外，也應依托數學培養方向，適當拓展，有效提高學生的能力.

3.2 結構性

反例既可幫助學生攻克難題、理清數學知識，還可建立知識結構，將函數和方程等不同內容有機融合，再經由習題進行鞏固，明確不清晰的地方，找到側重點，后期也能夠進行針對性的復習.

3.3 系統性

教師應通過反例將所學內容看成一個系統，從大方向進行指導，將以往按部就班的教學變成清楚明了、完善系統的教學.反例教學可幫助學生形成學習框架，將數學知識中緊密聯系、有機作用的知識加以整合，清楚該學什么，如何學習和改進.反例這種學習方法較為特殊，思維獨特并且十分有效，廣大教師應高度重視，學會系統應用，以此確立反例應用的主要脈絡，加強理解認知.

4 反例的教學功能

4.1 對知識的凈化理解功能

在數學核心素養背景下，強調四基和四能培養，而基礎知識作為四基的主要內容之一，無論哪種教學活動均是依托基礎知識展開，鞏固基礎是有效解題的關鍵，廣大教育工作者應重視基礎知識教學，只有逐步加強基礎知識記憶，方可實現拔高提升.筆者對此進行了相關嘗試和探索，得出反例對知識具有凈化理解的功能.

例如以\"直線與平面垂直的判定定理”內容為例，為幫助學生理解弄清直線與平面垂直的基本判定定理，鞏固對平面內兩條直線相交的認知，重點強調相交，并設計出下述教學活動：在圖1的正方體中， AB₁ 和 BC 垂直， AB₁ 和 B₁C₁ 垂直，但 AB₁ 和平面 BCC₁B₁ 不垂直，讓學生對這一命題結論進行討論.經由一段時間的討論，便有學生舉手發言，提出 BC 和 B₁C₁ 均處于平面 BCC₁B₁ 之內，然而 BC 和 B₁C₁ 不是相交的關系.通過上述反例可讓學生認識相交在上述定理中的重要性.此反例對知識進行凈化理解，增加了學生的知識記憶成果.如果遇到同類問題，可經由上述反例信息進行提取.該反例也指出，知識的學習可從正反兩個層面著手，規避思維定式的出現.

4.2 對錯題的否定功能

對高中數學而言，因所學知識具有系統性和復雜性，則實際教學中可能出現認知錯誤的現象，所以，為否定錯題、揭露錯誤的認知，應用反例尤為必要.反例是一種與數學命題條件相符，但與命題結論不相符的例子，應用反例可對錯題進行否定.

例如 為奇函數，求解 a 的實際值.因思維定式的影響，學生首先想到 f（0）=0 ，由此可知 a=1 .教師實際教授時進行了一定的調整，將原函數分子和分母進行了互換，學生可知 f（0）= 0的情形有所減少，然而對 f（-x）=x 的計算卻表現出較高的錯誤概率.對于上述兩種情形，出現錯誤的根源是學生對奇函數內涵的認知不深入，在f（0）=0 具體應用范圍中認識不完全.為找到問題根源，設計了以下反比例問題，以此糾正學生的認知，發展思維.

問題 1：a=1 是如何得到的？問題2：在奇函數中是否存在 f（0）=0 這種情況？問題3：如果問題2的答案是肯定的，結論是否能符合所有的奇函數，并通過反例進行否定？對于問題1，主要由 f（0）=0 得出；對于問題2，當 f（x） 為奇函數，則 f（-x）= -f（x） ，將其相加可知 f（0）=0 ；對于問題3，該結論并不符合所有的奇函數，利用 便可進行證明.

經由設問、追問和反例證明，可讓學生認清錯誤根源，并逐步深入思考和探索，最終看到問題的本質.眾所周知，正例與反例呈現出對立且統一的關系，在實際教學過程中，如果想通過正例來解決所有的問題是不可行的.在某些情形下，反例能呈現知識的核心點、揭露潛藏的錯誤點.為此，反例對錯題具有否定功能，并可鍛煉學生的思維，使其總結知識點，實現融會貫通.

4.3對錯題的辨析功能

在核心素養背景下，應明確學生解題過程中可能會出現的錯誤，把某些錯誤列入教學資源，這能夠全面激發學生的思維，并能培養其理解能力，規避相似問題的出現.經由相關實踐探索可知，正視教學活動中所表現出來的錯誤尤為重要，為此，在具體的教學活動中，應注意歸納總結和反思探索，及時發現問題，有效解決，而反例可對錯題進行否定，將問題根源展示出來，使其認清自己的問題.

例如以“一元二次方程根與系數的關系”內容為例，在學習本節內容時，絕大多數學生都會忽略已知條件，為讓學生認清自己的問題，提出以下問題：方程 x²+（k-3）x+k=0 ，該方程的兩根均小于一2，計算 k 的取值范圍.第一種錯誤解法：經由題意可知， Δ?0，x₁+x₂lt;-4，x₁x₂gt;4 ，代入可知（k-3）²?4k，3-klt;-4，kgt;4. 學生萌生此種解題方法，主要是因為在初中時期學習過一元二次方程的內容，它的兩個根存在都大于0的情形，因思維定式的影響，產生錯誤解法.很多學生復看時均不會看出問題.為真正改變學生這一思維，可引入下述反例：如果兩個根分別取值為一4和 ，則符合上述不等式，但卻不滿足題目條件.第二種錯誤解法：假定f（x）=x²+（k-3）x+k ，那么 Δ?0，f（-2）gt;0 ，代入可知 （k-3）²-4k?0，4+k-2（k-3）gt;0 此種解法并未注意對稱軸，實際解題出現錯誤.為讓學生有效找到問題根源，筆者對對稱軸進行了相應調整，學生馬上就清楚了.

通過反例闡述以上兩種典型錯誤，既能讓學生找到各類錯誤的根源，也能深化知識記憶，使其明確遇到此類問題務必要綜合考量，且判別式、對稱軸和端點還是非常重要的因素，經此學生便能得到本題的最終答案是 k∈Γ[9，10） .經由反例的運用，大大提升了教學成效，并對錯題進行辨析，無需教師一味強調，還可鞏固學生的基礎.

4.4對創造性思維的培養功能

創造性思維包含良好的觀察力、充分的想象力、系統的知識結構和獨特的靈感等.在思維創造過程中，學生經由思考、創新和探索，形成高效思維.反例在教學活動中發揮著巨大的作用，對創造性思維的培養也具有重要的推動性.

例如等比數列 a_n 共計有 3n 項，前 n 項之和是 S_n ，那么 S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n 構成等比數列，對此命題進行判定，并給出理由.經由討論有學生提出以上命題正確，并給出了證明理由，對 q=1 和 這兩種情形分別進行了驗證.其余的學生在看到推斷過程后都一致認為是正確的，甚至對教師的懷疑有些不解.還有學生提出在參考書中看到過這一題目，這與參考書中的答案一致.此時，教師告訴學生，無論是老師還是同學給出的結論都應該重新思考是否正確，不要被其他人的思路帶著走，即便是參考書籍，也應問問為什么，對待數學問題應秉承批判、求真的態度.以上證明有一定問題，學生便很疑惑具體問題在哪，教師指出 =q ，隨后研究如果 S_n=0 ，上述等式是否成立.學生紛紛開始討論，隨后有學生提出了用反例能夠進行證明，若4項等比數列對應公比是一1，則前2項相加、中間2項相加、最后2項相加都是0，由此可知S₄，S₈-S₄，S₁₂-S₈ 均非等比數列.此時，其他學生恍然大悟，頓時響起一片掌聲，他們從中體會到了學習的快樂.為培養創造性思維，應做好情境創設，營造創新氛圍，合理運用通性通法，加強信息儲備，引導學生全面挖掘形象思維與發散思維，并明確思維的辯證性.設計反例可促進學生思維的填密性，改變錯誤認知，拓寬數認知領域，發展創造性思維，

5結語

在數學教學活動中存在許多反例，明確反例構造方法便能得出代表性反例.只要巧妙運用反例，選準時機，注重教學藝術，既能挖掘學生的內在探索欲，還能培養鉆研精神，為學生帶來創造的快樂感，構建創新意識.

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