逼近思想是學習“實變函數”課程的鑰匙

摘 要：“實變函數”是數學專業最重要的專業課之一，也是大多數師生公認的最難課程。本文分析了學生在理解課程理論時的一些困難點，并針對性地指出可將逼近思想作為學生學習該課程的思想“鑰匙”，探討了逼近思想在該課程中的核心地位與其重要的教學意義，并整理了多個案例來展示逼近思想在教學內容中的具體運用。在教學中引導學生掌握逼近思想，有利于幫助學生更好地理解課程理論，提高數學素養，有利于培養學生的科學精神與創新能力，并對實現立德樹人，推動學生全面發展有著積極意義。

關鍵詞：逼近思想；實變函數；Lebesgue積分

中圖分類號：O174

Abstract：\"Real variable function\" is one of the most important professional courses in mathematics，and it is also the most difficult course recognized by most teachers and students.This article analyzes some difficulties for students when understanding course theory，and points out that the approaching thought can be used as the \"key\" for students to learn the course，explores the core position of approximate thought in the course and its important teaching significance，and organizes multiple cases to show the specific application of approximate thought in the teaching content.Guide students to master the approaching ideas in teaching will help students better understand the curriculum theory and improve their mathematical literacy，and will help cultivate students' scientific spirit and innovation abilities，and will have positive significance for realizing moral education and promoting students' allround development.

Keywords：approximate idea;real variable function;Lebesgue integral

一、學習難點分析

“實變函數”是數學專業的必修課程之一。該課程以Lebesgue積分理論為核心，是數學分析課程的進一步深化，同時也是學習泛函分析、PDE、現代概率理論、多復變函數論等高級數學所必須掌握的知識基礎。

該課程具有理論性強、高度抽象的特點，因而也常被認為是最難專業課。該課程內容多課時少，學生往往不能及時消化其中蘊含的方法和思想。在教學實踐中，學生常反映難以理解課程內容，并且在作業和考試中的表現也不盡如人意。面對這一困境，已有不少數學教育工作者進行了深入研究，提出了提升教學效果的諸多方法與策略。

筆者觀察到，學生學習該課程時易陷入具體細節的驗證中難以自拔。學生在面對新的概念和性質時，往往只能被動接受，不能正確體會其與已有知識間的內在聯系。此時學生的自我效能感會不斷受到挫折，學習意愿也會不斷降低。

實變函數理論并非如學生所感受到的那樣晦澀艱深，事實上該課程各章節的目標是十分清晰的。盡管如此，在教學過程中學生仍會遇到諸多困惑。如外測度，盡管容易理解到提出該概念的目標是為了推廣“長度”的概念，但為何如此定義，這仍然是困擾學生的重要問題；又如Lebesgue積分的定義和性質，開始時學生往往不能自主理解到為何先研究簡單函數，再討論非負可測、一般可測函數的積分性質，從而不能建立起順暢的邏輯鏈條。

以上兩個情境都指向了同一個問題，即學生雖知道了實變函數的目標“是什么”，但對于理論推導中的“為什么”仍缺少認識。這造成了在面對問題時對“怎么辦”無從下手。為了改變這一現狀，教師須對本課程中重要的思維方法進行抽象總結，凝練出簡明的思想方法，作為學生修習本課程的指導。

二、逼近思想可作為學習實變函數的鑰匙

（一）逼近思想簡述

“逼近”一詞在數學中常用來特指函數逼近理論，比如Runge逼近、Mergelyan逼近等術語，但這里所希望討論的“逼近思想”卻要更加寬泛。

逼近思想或許可以這樣來概括，其核心是利用已知的、熟悉的事物，通過一個合理的近似過程，來實現對該目標事物性質進行一定的描述和刻畫，最終實現認識層面上質的提升。這是我們認識未知事物、拓展知識邊界的一種重要思想方法。

逼近思想歷史久遠，而隨著微積分理論的產生，極限工具的嚴格化，如芝諾悖論等哲學問題被正確解答，這是逼近思想的重大勝利。如今這一思想已成為數學領域最重要的思想方法之一，為數學理論的前進提供了重要指引。

（二）逼近思想是“實變函數”課程的核心思想方法

“實變函數”課程作為一門典型的分析學理論，其中廣泛地運用逼近思想是不言而喻的。但與“復分析”“泛函分析”等課程中多種數學思想交叉靈活運用的特點不同，在實變函數中，各個階段主要困難的克服都依賴于逼近思想的運用，這一思想的使用貫穿了課程始末，是絕對的核心思想。

實變函數理論中還包含了一種典型的思維范式：在面對一個困難問題時，可以先研究最容易解決的情形，推導出相應結論，再將這些結論作為條件，對問題進行進一步研究，得到更強的結論，如此逐步推進。這一過程中我們的知識不斷擴張，技術不斷強化，直至最終建立起一套強大的理論，解決最終目標。

上述這一思維范式在實變函數中如此重要，Lusin定理等重要定理的證明，乃至整個課程理論的建構，都充分體現了這一思維范式。這一過程中，我們將抽象的條件與命題作為已知的事物，不斷逼近并最終證明目標命題，這正是逼近思想在認知與思維層面的精彩運用。

（三）學生具備掌握逼近思想的知識基礎

要作為學習實變函數理論的鑰匙，僅僅能夠串聯課程內容是不夠的，還需要在學生的能力范圍之內。比如度量空間的完備化對于理解實數的完備性理論有很大幫助，但教學實踐中不可能先講泛函分析對應部分，再來學習數學分析。學習的過程必須遵循由易到難的認知規律。

而在“實變函數”課程前，學生對逼近思想已并不陌生。不論是對實數的認識，還是函數的求導和積分，這些都是逼近思想的典型運用，示范了如何利用熟悉的事物來刻畫陌生的對象。學生已有很多感性認知，只是沒有將這種認知上升到方法論層面，只需對這些內容進行簡單的回顧與提煉，就可以幫助學生明確其背后的共性，并能將其作為學習中的思想指導。

三、將逼近思想引入教學的育人意義

（一）提高專業能力與素養

在教學過程中，將逼近思想的具體應用明確地作為一條教學線索，能夠幫助學生站在更高的角度來理解課程理論，同時還可以幫助學生聯系以往知識，實現學習遷移，并且實現授人以漁，提升解決問題的能力，對學生專業素養的塑造有深遠意義。

專業課的學習也是建立專業認同與專業自信的重要階段。在逼近思想指導下，學生將體會到更多的成功經驗，建立起自信與對本專業的熱愛。

（二）培養創新能力與科學精神，促進全面發展

在合適的數學思想引導下，學習的過程將會蛻變成對科學突破的一次簡化模擬。在這一過程中，學生將可以對數學探索過程近距離感受。雖然這和真正的科研仍有一定差距，但這種經驗已經可以作為科學創新能力的啟蒙，產生科研興趣，并激勵學生勇于突破與創新，塑造科學精神。

在教學中幫助學生凝練總結數學知識中的思想方法，是課程思政的重要手段，是數學專業實現立德樹人、全面發展這一教育目標的重要途徑。數學是教人如何正確面對并尋求解決問題之道的學科，其中凝聚了人類的最高智慧與追求真理的崇高勇氣。經過數學思想教育洗禮的學生，在未來人生中面對挑戰和對人生的命題時，定能擁有無畏的勇氣，并在前人的智慧中獲得啟迪，尋找到突破瓶頸的思考方法。

四、逼近思想在教學內容中的具體體現

以下我們以案例的形式，梳理了逼近思想在“實變函數”各教學篇章中的部分運用并加以分析。

例1：對于一族集合{Uα}α∈Λ，它們的并集定義為

∪α∈ΛUα∶{x；存在某個α∈Λ使得x∈Uα}。

此定義雖然簡單，但直接認識一個進行無窮次的過程其實并不容易。此定義其實是通過推廣并運算在有限個集合所保持的性質來描述一個新的集合，而有限并是容易理解的，可見這其實也是逼近思想的一種運用。

中的開集總可以寫成至多可數個互不相交的左開右閉區間的并。

這里的證明技巧是使用“打格子”的方法，尋找完整落在區域當中的區間，隨著“打格子”過程的加細，不斷添入新的更小區間。這里每一步所產生的集合，正是在從內部不斷地逼近原區域。通過這一做法，可輕松證明開集必定是可測集。

例3：康托爾三分集C。

這是一個著名的例子，不論是其構造，還是驗證其性質的過程，都體現了逼近思想。比如直接驗證其疏朗性，此集合的復雜難免會讓人困惑，但對于每個局部，定義C時第n步所產生的集合是一些閉區間構成的，再讓n不斷變大，就很容易看到思路。

這里的目標是對更加一般的集合來定義它們的“體積”，而n維區間的體積無疑是為人熟知的，我們正是使用一些區間的體積來近似代替這個點集的體積。這樣所得到的體積直觀上比E的“體積”總是會大一點，于是可用下確界來逼近E的體積。

例5：可測集的定義。

在例5中外測度的定義是從外部對E進行逼近，即所謂的外包法，而以內填法為思路事實上還可以定義一個“內測度”，參考文獻［13］的附錄。一個有界集如果內外測度相等就被稱為是可測集，這一要求也很自然，因為我們總希望可測集的余集也可測，但如果E的內外測度不相等，勢必會導致關于這個集合和它的余集的外測度不再具備可加性。這樣一看，可測集的要求與黎曼積分的可積性要求頗有異曲同工之處。

例6：可測函數與簡單函數的關系定理。對于可測集E上的非負可測函數f，總可以找到一列簡單函數φk（x），滿足對任意的k∈

我們希望定義的Lebesgue積分，是通過對函數值域進行劃分，將函數圖像下方區域劃分成若干個矩形來實現近似代替。而這里簡單函數的構造，正是在用函數逼近的語言來描述劃分值域這件事。該定理表明，非負可測函數的定義，翻譯成白話就是可以進行上述分割值域操作的函數，這正是為了定義Lebesgue積分自然產生的要求。通過體會這里逼近思想的運用，會對可測函數概念的理解大有助益。

例7：依測度收斂的定義：設{fn}是可測集E

這是較難掌握的一個概念。逼近方法使用的一個重要條件，就是要能夠合理地描述兩個互相比較事物之間的差距，這一概念給出了一個很好的示范。這里是如何衡量fn與f的差距的呢。類似于數列極限，先任意給定一個誤差范圍σ，希望當n充分大時fn與f之間的某種差距小于σ。粗糙地來說，這種差距指的是在定義域的“絕大部分”，fn和f的函數值差距都要小于誤差范圍σ。但這意味著允許在一些點上函數值差距大于誤差范圍，隨之而來的要求就是這個集合要比較小。這里點集的“大小”是用測度來衡量的，因此這一要求就被描述為m（E［fn-f≥σ］）隨著n增大而收斂到0。

例8：可測函數Lebesgue積分的定義過程與基本性質證明。

這里的定義過程是先從非負簡單函數出發，而后利用案例7過渡到非負可測函數的積分定義和性質的討論，在此基礎上再研究一般可測函數的積分。以上思路不僅在技術上體現了逼近方法，更是體現了思維層面的逼近方法。這一例子在思維層面、概念層面和具體技術層面同時體現了逼近思想。

例9：實變函數課程學習全過程回顧。

縱觀整個實變函數教學過程，為了解決積分的定義這一核心目標，逐步克服了各種障礙，最終構建起Lebesgue積分的理論框架，其中的每一步都極致地運用了逼近思想，與案例9頗有相同之處。整個學習過程，目標明確，直面困難，像推土機一樣逐步推進，最終將困難鏟平，這一過程充分體現了實變函數理論獨特的學科魅力。

結語

逼近思想貫穿于實變函數的各個層面，可以作為學生掌握這門理論的思想指引，并且對于培養專業素質、創新能力和科學精神，實現學生全面發展也有著重要意義。

參考文獻：

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