文理融合視域下高中數(shù)學(xué)邏輯教學(xué)的實踐與思考

隨著新課標的實施，為提升學(xué)生的核心素養(yǎng)，教學(xué)方式的創(chuàng)新一直備受廣大數(shù)學(xué)教師的重視．新課標明確指出，要精選課程內(nèi)容，處理好數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)和知識技能之間的關(guān)系，強調(diào)數(shù)學(xué)與生活以及其他學(xué)科的聯(lián)系，提升學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題的能力，注重數(shù)學(xué)文化的滲透.數(shù)學(xué)既源于生活，又高于生活，是一種獨特的表達和交流語言.這表明數(shù)學(xué)并非孤立存在，而是與其他學(xué)科有著重要聯(lián)系.那么，如何在日常教學(xué)中有效開展數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的融合教學(xué)呢？本文圍繞數(shù)學(xué)與語文的融合教學(xué)展開探討，以期與同行交流.

課標、教材及學(xué)情分析

1．課標分析

根據(jù)新課標的要求，充分條件、必要條件、充要條件的考查主要包含以下三個方面：一是理解充分條件、必要條件和充要條件的意義，能判斷命題的充分性與必要性，并根據(jù)其解決相關(guān)問題；二是能夠借助充分條件、必要條件、充要條件進行數(shù)學(xué)對象表達、數(shù)學(xué)邏輯推理與論證；三是體會充分條件、必要條件、充要條件在表述數(shù)學(xué)內(nèi)容和論證數(shù)學(xué)結(jié)論中的作用，提高交流的嚴謹性與準確性，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理素養(yǎng).

2.學(xué)情分析

（1）學(xué)生已有的認知基礎(chǔ)

學(xué)生在初中時期接觸過一元二次方程增根等問題，通過檢驗得出正確結(jié)果，此過程涉及條件與結(jié)論的等價轉(zhuǎn)化，本質(zhì)上是條件與結(jié)論之間的非充要條件關(guān)系，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)提供了鋪墊.通過蘇教版（2019）必修第一冊的學(xué)習(xí)，學(xué)生已掌握集合的基本概念及多種表示方法、集合的基本關(guān)系、集合的運算、命題的概念.在語文學(xué)習(xí)中，學(xué)生學(xué)習(xí)過課文《勸學(xué)》，對文中意思有所理解.學(xué)生已具備解決子集、補集、交集、并集運算的能力，掌握了識別命題中條件與結(jié)論的能力．此外，學(xué)生在初中和蘇教版（2019）必修第一冊的學(xué)習(xí)過程中形成了一定的數(shù)形結(jié)合、分類討論、歸納猜想等數(shù)學(xué)思想.

（2）學(xué)生可能遇到的困難

本節(jié)課屬于邏輯用語知識板塊，要求學(xué)生掌握嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)表達．在日常表達中，“必要”一詞常被用于闡述事實，學(xué)生學(xué)習(xí)此部分內(nèi)容時，必然會將生活語言與數(shù)學(xué)語言聯(lián)系起來．然而，二者語義存在差異，學(xué)生可能會因此產(chǎn)生邏輯混淆.同時，本節(jié)課的學(xué)習(xí)需要語文知識輔助，但受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)慣性的影響，學(xué)生往往不會運用語文中分析句子成分的方法，來準確找出問題中的條件與結(jié)論．此外，盡管本節(jié)課內(nèi)容聚焦邏輯用語，但其在研究參數(shù)范圍時與集合知識關(guān)聯(lián)緊密，這種隱性聯(lián)系是教學(xué)中的難點，學(xué)生難以挖掘出這兩部分知識的內(nèi)在關(guān)聯(lián)與共性.最后，學(xué)生在進行分類討論時，還容易出現(xiàn)考慮不全面的問題.

3.教材分析

（1）教材知識體系層面

在蘇教版（2019）必修第一冊中，學(xué)生已學(xué)習(xí)集合的基本概念及多種表示方法、集合的基本關(guān)系、集合的運算、命題的概念.本節(jié)課是對前期學(xué)習(xí)內(nèi)容的延續(xù)與拓展．充分必要性是研究數(shù)學(xué)問題的重要理論基礎(chǔ)，在后續(xù)定理推導(dǎo)、性質(zhì)探究以及問題解決等教學(xué)內(nèi)容中，起到理論建構(gòu)和高屋建瓴的指導(dǎo)作用.基于此，教材安排本節(jié)課，旨在幫助學(xué)生為更深入探究數(shù)學(xué)結(jié)論、解決數(shù)學(xué)問題做好準備.

（2）教材對學(xué)生的影響

其一，從文學(xué)、生活語言角度出發(fā)，引發(fā)學(xué)生思考，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情；其二，從數(shù)學(xué)定義的形成過程出發(fā)，體現(xiàn)將生活語言抽象為數(shù)學(xué)語言的思想方法，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)概念源于生活且服務(wù)于生活;其三，通過分析判定定理、性質(zhì)定理等所具備的充分必要性，凸顯數(shù)學(xué)理論的重要作用；其四，在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合、分類討論等能力，滲透數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng).

教學(xué)目標

（1）通過對生活語言的研究，引導(dǎo)學(xué)生抽象出充分條件、必要條件、充要條件的定義，并能運用這些定義解釋生活中的常見語言，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)，達成數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)學(xué)業(yè)質(zhì)量水平一的要求，

（2）借助數(shù)形結(jié)合思想方法，提升學(xué)生認識問題、分析問題和抽象概括問題的能力；在將生活語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言的過程中，提高學(xué)生嚴謹、理性、簡潔的數(shù)學(xué)表達能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運算和邏輯推理核心素養(yǎng)，達到邏輯推理核心素養(yǎng)學(xué)業(yè)質(zhì)量水平二的標準.

（3）通過探究邏輯語言與集合之間的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索的精神，同時滲透分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，幫助學(xué)生形成有理有據(jù)、嚴謹求實的學(xué)習(xí)態(tài)度，培養(yǎng)學(xué)生辯證思維能力，提升學(xué)生運用數(shù)學(xué)語言表達世界的核心素養(yǎng).

教學(xué)策略選擇與設(shè)計

根據(jù)課程標準的考查要求、知識體系的內(nèi)在特點、學(xué)生的認知水平、知識間的邏輯關(guān)系以及學(xué)法指導(dǎo)需求等因素，本節(jié)課綜合運用多種教學(xué)策略．為充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位，依據(jù)課堂教學(xué)的角色定位，采用“學(xué)生主體、教師主導(dǎo)\"的教學(xué)策略;針對本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容的特性，實施由特殊到一般、由具體到抽象的生成式教學(xué)策略；鑒于知識學(xué)習(xí)是一個由淺入深、由表及里的漸進過程，運用問題串教學(xué)策略引導(dǎo)學(xué)生探索新知；為契合學(xué)生當前文言文學(xué)習(xí)的知識儲備，實現(xiàn)數(shù)學(xué)與語文的跨學(xué)科融合教學(xué)，采用學(xué)科融合式教學(xué)策略；根據(jù)本節(jié)課知識與其他內(nèi)容的關(guān)聯(lián)特點，運用明暗線穿插式教學(xué)策略；考慮到數(shù)學(xué)源于生活、高于生活且服務(wù)于生活的學(xué)科本質(zhì)，采用回歸生活的教學(xué)策略.

教學(xué)重點和難點

通過對課程標準、學(xué)生學(xué)情以及教學(xué)實際情況的分析可知，將生活語言抽象為數(shù)學(xué)語言、探究知識間的內(nèi)在聯(lián)系、靈活運用知識點解決問題是學(xué)生的學(xué)習(xí)重點與難點.基于此，確定本節(jié)課的教學(xué)重點與難點為：

（1）充分條件、必要條件、充要條件的定義理解與實際運用；

（2）明確充分條件、必要條件、充 要條件與集合之間的聯(lián)系.

教學(xué)過程

1.情境引入

請默寫《勸學(xué)》中的片段：

積土成山，風雨興焉;積水成淵， 蛟龍生焉；積善成德，而神明自得，圣 心備焉.故設(shè)計意圖本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容聚焦邏輯語言，它是對生活語言進行抽象提煉的成果，因此所教授的知識必須扎根于生活實際．《勸學(xué)》是學(xué)生同期正在學(xué)習(xí)的內(nèi)容，他們對文本內(nèi)涵已有較為深入的理解．選取這一經(jīng)典片段作為教學(xué)切入點，既能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又能增強其學(xué)習(xí)信心通過這樣的學(xué)科融合方式，向?qū)W生展現(xiàn)知識并非孤立割裂，而是一個相互關(guān)聯(lián)、和諧統(tǒng)一的整體，只不過在不同學(xué)科中有不同的表達形式.

問題1默寫的內(nèi)容是命題嗎？如果是，請你將其改成“若 ，則 q ”的形式；若不是，請說明理由.

設(shè)計意圖此環(huán)節(jié)旨在復(fù)習(xí)命題的結(jié)構(gòu)形式—命題由條件與結(jié)論構(gòu)成．通過該問題，引導(dǎo)學(xué)生準確、快速地找出句子中的條件與結(jié)論，鞏固上節(jié)課所學(xué)知識，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

問題2積跬步一定能至千里嗎？語文老師說：“積跬步\"是“至千里”的必要條件，而非充分條件，這句話正確嗎？

設(shè)計意圖通過該問引導(dǎo)學(xué)生進行理性思考，開啟邏輯用語的學(xué)習(xí).“積跬步”并非“至千里”的充分條件，因為“至千里\"還需具備足夠的能力、合理優(yōu)化的方法等多種因素.在此，教師可引導(dǎo)學(xué)生運用句子成分分析的方法，拆解句子結(jié)構(gòu)，找出句子中的主謂賓．以“‘積跬步'是‘至千里’的必要條件”為例，主語是“積跬步”，謂語是“是”，賓語是“必要條件”，“至千里”作為定語修飾\"必要條件”．通過這樣的分析，幫助學(xué)生解決可能遇到的理解困難，為后續(xù)分析命題中的條件做好鋪墊，同時培養(yǎng)學(xué)生將生活語言抽象為數(shù)學(xué)語言的能力.

問題3結(jié)合“積跬步”是“至千里\"的必要條件，請總結(jié)充分必要條件的定義.

設(shè)計意圖基于上述對“積跬步”與“至千里”關(guān)系的分析，“積跬步”為條件，“至千里”為結(jié)論．當“至千里”成立時，“積跬步”必然成立，這表明“至千里”對“積跬步”的成立具有充分性；反之，如果“積跬步”不成立，那么“至千里”也一定不成立，體現(xiàn)了“積跬步”對“至千里”成立的必要性.借此引出條件與結(jié)論之間的邏輯關(guān)系，逐步引導(dǎo)學(xué)生抽象出充分必要條件的定義，幫助學(xué)生掌握從具體到抽象的學(xué)習(xí)方法，完成從生活實例到數(shù)學(xué)概念的轉(zhuǎn)化過程，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

2.概念生成

符號：推出符號為“ $$ ”，讀作“推出”;推不出符號為\"”，讀作“推不出”例如，“若 ，則 q ”為真命題，記作 ，讀作 ^*p 推出 q^，， ；“若 ，則q”為假命題，記作 ”，讀作 Δ^′p 推不出q”

充分條件：如果· ”，那么稱p是q的充分條件，也稱q是p的必要條件.

充要條件：如果 ，且 q?p^′ 那么稱 是q的充分必要條件，簡稱為 p 是 q 的充要條件，也稱 q 是 的充要 條件.

3.數(shù)學(xué)回歸

問題4根據(jù)充分條件、必要條件、充要條件的定義，“積跬步\"是“至千里\"的什么條件呢？

設(shè)計意圖依據(jù)數(shù)學(xué)中嚴謹?shù)亩x，回歸生活實際，對比生活中所講的必要性與數(shù)學(xué)中的必要性的異同.二者的區(qū)別在于，生活語言往往會省略主語或定語，而數(shù)學(xué)語言在簡練的基礎(chǔ)上更注重嚴謹性．在解答該問題時，教師運用圖示（如圖1）進行闡釋：“積跬步\"不一定能“至千里”，但“至千里”必然以“積跬步”為前提.因為“至千里\"是多重因素共同作用的結(jié)果，所以由“積跬步\"無法必然推出“至千里”，而“至千里”則意味著已經(jīng)“積跬步”．這種由條件不能推出結(jié)論，但由結(jié)論可以推出條件的情況，不僅為學(xué)生后續(xù)自主分析起著示范引導(dǎo)的作用，還為探究充分條件、必要條件、充要條件與集合之間的聯(lián)系埋下了伏筆.

問題5我國唐代著名詩人王昌齡的《從軍行》中的兩句詩“黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還”，該詩句描寫了當時戰(zhàn)事的艱苦以及成邊將士的豪情壯志.現(xiàn)在從充分條件、必要條件、充要條件的定義角度來看，請自主分析，“破樓蘭\"是“終還\"的什么條件？

設(shè)計意圖在教師的示范引導(dǎo)下，學(xué)生通過自主學(xué)習(xí)、自我消化整理，積累探究充分條件、必要條件、充要條件與集合之間聯(lián)系的實踐經(jīng)驗；同時，在自主繪制的過程中，積累從具體到抽象的活動經(jīng)驗.

問題6請大家根據(jù)上述兩個具體事例以及圖1、圖2，利用圖示的方法，探究充分條件、必要條件、充要條件與集合之間的聯(lián)系.

結(jié)論：（1）對于集合 ^?A，E ，若 E? A ，則 ，故A是 E 的必要不 充分條件， E 是A的充分不必要條件； （2）對于集合 _?A，E ，若 E=A ，則A是 E 的 充要條件.

設(shè)計意圖基于學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，引導(dǎo)學(xué)生從實際問題出發(fā)，通過分析、提煉與總結(jié)得出數(shù)學(xué)結(jié)論，將其升華為理論知識．這一過程不僅為學(xué)生運用充分條件、必要條件和充要條件解決數(shù)學(xué)問題夯實了理論基礎(chǔ)，還有效培養(yǎng)了學(xué)生從具體到抽象的思維能力與學(xué)習(xí)方法.

4.數(shù)學(xué)應(yīng)用

例題請從“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中選擇合適的一項填空，

（1）“ _alt;1 是“ a?1 的 條件.（2）“ |x|=2^? 是 x=2^， 的 條件.（3） ^a_A∪B=A ”是 ^?B?A ”的

條件.（4）“ 是“ 的

條件.變式訓(xùn)練：請從“充分不必要”

“必要不充分”“充要”“既不充分也不

必要\"中選擇合適的一項填空.（1）“ ”是“ （x-1）（x+2）=0³ 的條件.（2） ?_agt;1γ 是“ 的

條件.（3）“ abgt;1^′ 是 ?_{agt;1，bgt;1}，? 的

條件.（4）集合 M={1，x}，N={1，2，3} ，則

業(yè) 是 ?_M?N， 的 條件.（5） 是“集合 ?A={x|ax²-3x+

2=0} 中至多有一個元素\"的_ 條件.

設(shè)計意圖數(shù)學(xué)教育的本質(zhì)在于育人．通過引導(dǎo)學(xué)生運用所學(xué)知識解決實際問題，讓他們深刻感悟數(shù)學(xué)“源于生活、高于生活、最終回歸生活”的完整過程．在這一過程中，學(xué)生能夠切實體會到數(shù)學(xué)的現(xiàn)實意義與實用價值，進而真正理解數(shù)學(xué)的育人價值所在.

5.課堂總結(jié)與布置作業(yè)

（略）

教學(xué)反思

1.基于融合性，增強知識性

數(shù)學(xué)是一門獨特的基礎(chǔ)學(xué)科，以嚴謹、簡潔為追求，是解決理工科等領(lǐng)域問題的重要工具；語文則兼具工具性與人文性，是人們進行思想交流與情感表達的重要媒介．兩門學(xué)科都具備語言載體與實用工具的雙重屬性．通過本節(jié)課的教學(xué)實踐可以發(fā)現(xiàn)，雖然數(shù)學(xué)與語文的學(xué)科特質(zhì)不同，但其中某些知識概念的本質(zhì)內(nèi)涵具有一致性．例如，學(xué)生在不同學(xué)科情境中接觸到具有統(tǒng)一性的同一知識，這不僅有效激發(fā)了他們的學(xué)習(xí)興趣和積極性，還能促使其對知識形成更深刻的理解．在語文教學(xué)觀察中，筆者發(fā)現(xiàn)語文教師較少向?qū)W生闡釋知識的充分性，這一現(xiàn)象與生活實際中人們對語文知識的運用特點相符合．然而，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中確實存在對知識全面性的認知需求，數(shù)學(xué)課堂恰好能夠彌補語文教學(xué)在這方面的不足，幫助學(xué)生構(gòu)建更完善的知識體系．對于學(xué)生而言，單一學(xué)科的知識往往具有局限性，而學(xué)科融合則有助于突破這種片面性；對于教師而言，在教學(xué)過程中需要充分發(fā)揮不同學(xué)科的優(yōu)勢，通過學(xué)科間的互補，逐步完善學(xué)生的知識結(jié)構(gòu).

2.基于融合，增強方法性

在本節(jié)課教學(xué)中，運用句子成分分析方法是達成教學(xué)目標的重要保障．長期以來，受學(xué)習(xí)慣性影響，學(xué)生往往孤立地看待各學(xué)科學(xué)習(xí)，忽視學(xué)科間的內(nèi)在聯(lián)系，導(dǎo)致無法自然地將語文中習(xí)得的分析方法遷移到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中．因此，教師在教學(xué)過程中需加強引導(dǎo)．實踐表明，當筆者對學(xué)生進行句子成分分析方法指導(dǎo)后，他們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識時明顯更加輕松，解決問題的能力也得到了進一步強化．這一教學(xué)實踐印證了一個重要觀點：在不同學(xué)科的教學(xué)情境中習(xí)得同一方法，比在單一學(xué)科環(huán)境中獲取的方法更具可靠性和深刻性．當前，融合式教學(xué)中存在不少以情境引入為主的“偽融合\"現(xiàn)象．筆者認為，真正的學(xué)科融合應(yīng)當涵蓋知識、方法、技能等多個維度，唯有如此，才能切實提升學(xué)生的“四基\"水平.

3.基于融合性，提升核心素養(yǎng)

從《勸學(xué)》的案例分析引出充分條件、必要條件和充要條件的定義，從《從軍行》的案例分析推導(dǎo)出充分條件、必要條件、充要條件與集合之間的聯(lián)系，這都是從生活實際、文學(xué)作品中逐步抽象出數(shù)學(xué)知識與方法，有效培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)．與常規(guī)教學(xué)方式不同，本節(jié)課基于學(xué)科融合，從多學(xué)科維度引導(dǎo)學(xué)生掌握“四基\"與“四能\"的學(xué)習(xí)方法．教學(xué)不僅關(guān)注問題的解決，更注重傳授獲取知識技能的方法，引導(dǎo)學(xué)生從學(xué)科聯(lián)系的視角分析同一問題，學(xué)會辯證統(tǒng)一地看待問題，系統(tǒng)培養(yǎng)理性思維，運用聯(lián)系發(fā)展的眼光觀察世界．如此一來，“用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維思考世界，用數(shù)學(xué)語言表達世界”的教學(xué)目標才能真正實現(xiàn)，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)也才能切實落地.

結(jié)束語

誠然，我們可以清晰發(fā)現(xiàn)，并非所有數(shù)學(xué)知識都能實現(xiàn)文理融合或跨學(xué)科融合.但在教學(xué)過程中，教師應(yīng)處處留心，盡可能推動學(xué)科教學(xué)的深度融合，培養(yǎng)學(xué)生以聯(lián)系的眼光觀察問題，從多元思維視角分析和解決問題，在多維視野下開展高質(zhì)量創(chuàng)新活動，進而提升學(xué)生的綜合素養(yǎng)和能力.