基于胡克定律的有限土體 k 值求解方法

中圖分類號：TQ172.7 文獻標志碼：A 文章編號：1001-5922（2025）07-0156-04

Abstract：The reinforcement of cement soil in the passive zone plays an important role in strengthening the embedding and controlling the deformation of the supporting pile.At present，various software for the passive zone is to solidify itas asoil layer according tothe elasticresistance method tocalculate，soit is necessary to determine the m value and k value of the reinforcement zone.In the existing specification，the value of m for the reinforced soil is uniformly taken as 6000kN/m⁴ ，and the general soil layer in the finite soil is still selected according to the same empirical formula of the semi-infinite soil，which notonly calculates the dimensions before andafterthe inconsistency， but also ignores the superposition of the earth pressure inthe pasive zone under the finite soil.The selection of k valueandmvaluein the foundation pit elastic resistancemethod under theconditionoflimited soilinreinforcedsoil and general soil is studied，and the k value solution method based on the elastic modulus of soil layer is obtained.

Key words： passive area reinforcement；m value；Hookes law；elastic modulus； elastic resistance method

軟土地區深基坑通常對坑底土體進行加固[14]。被動區加固體有兩類：一類是裙邊加固;另一類是滿堂加固或中間抽條、開孔加固。單純的裙邊加固受力情況復雜，確定 ?_m 值沒有成熟的計算方法，而只能依靠經驗判斷。滿堂加固則不同，加固體由一側支護樁抵達至另一側支護樁，形成了暗撐，傳力路徑明確，其變形和剛度指標可以用彈性理論公式計算確定。

一般內支撐承受集中力，其剛度以支撐剛度系數表示。而被動區加固體通常有 5～6m 甚至更大的厚度，承受其厚度范圍內的分布荷載，其剛度更適合于用水平向基床系數表示，符號為 k ，量綱為“ kN/m³AA^，， 。

對于水平抗力系數比例系數 ?_m 值以及水平抗力系數 k 值的選取優化問題，國內諸多學者提出了諸多寶貴意見[5-7]。雷國平等通過引入2個剛度變化系數來綜合量化被動區土彈簧參數隨基坑開挖的動態變化過程，建立了基于該過程的基坑圍護結構計算增量法[8]。胡峰華等結合某實際深基坑工程，運用位移反分析法算出 m 值的大小，并闡述 m 值與坑底加固寬度的相關關系[9]。朱偉鑫等針對層狀地基土中水平抗力比例系數反演的多目標優化問題，結合支護結構水平位移實測值和桿系有限元法，提出基于粒子群算法（PSO）的層狀地基土水平抗力比例系數反分析法[10]。林東等針對傳統 m 法土壓力荷載施加不合理以及不考慮基坑施工過程的缺陷，在工程設計分析軟件SAP2000中實現了用于基坑開挖計算的增量空間 m 法，并對基坑外的主動土壓力進行插值修正，使用非極限狀態土壓力作為基坑外荷載來提升傳統 m 法的計算精度1]。張朋成等以規范理論框架為基礎，通過對工程現場地連墻測斜變形曲線的擬合，探求反演 ?_m 值與地勘提供 m 值之間的關系，分析地連墻內力取值及安全評價方法[12]。徐中華等利用UCODE反分析軟件和Abaqus有限元分析相結合的方法，根據圍護結構實測變形值，對基坑平面豎向彈性地基梁法中土層參數 m 值進行反演分析，得出了上海地區典型土層的m 值，并利用概率統計方法給出了更合理的取值范圍，以確定上海地區基坑工程圍護結構變形受影響較大的土層 m 值[13]。趙文虎等采用豎向彈性地基梁傳遞矩陣法，對同一土層的板樁墻進行豎向分段計算，并建立了不動點法迭代格式，以求解 ?_m 值[14]。楊光華等取加固體為研究對象，分析加固體的受力狀態，建立靜力平衡方程，得到全層加固體的最優有效加固寬度值。當為有限加固寬度時， m 值取值可以近似按加固寬度相對于最優有效加固寬度的線性插值進行計算[15]。郭健等基于彈性地基梁的微分方程并考慮基坑的分步開挖階段，推導出了相比于有限元計算更加快速地分步開挖彈性地基梁m 法圍護結構計算模型，得到了各工況下準確的圍護墻體位移函數、彎矩函數和剪力函數，從而可求出圍護墻體各工況下的位移、彎矩和剪力值并可據此對圍護結構進行優化計算[16]。

本研究對幾種不同水泥土暗撐推導，得出水平基床系數 k 的計算公式，以解決規范中經驗公式的前后量綱不一致，以及忽略有限土體下被動區土壓力會疊加的問題。

1基于胡克定律的 k 值求解方法

1.1等截面暗撐水平基床系數 k 計算

由廣義胡克定律可知，接觸面應力 σ 等于彈性模量 E 和應變 ε 的乘積，應變為無量綱單位是變形量和物體壓縮長度的比值，設等截面暗撐中不動點位于中軸線上，再根據接觸面應力 σ 等于水平基床系數 k 和位移的乘積，結合二者可以得到水平基床系數 k 和土體彈性模量的一般關系：

其中，通過彈性模量 E 和跨度 L 的比值可以得到確定的水泥土暗撐 k 值，不需要通過 m 值來計算，該法對于不同深度下的水平抗力系數 k 為定值。但按 m 法計算的 k 值對同一土層是隨深度增加的，且在基坑底部算得的 m 值及接觸面應力 σ 為 0 。因此，對比2種方法在同一長度、不同深度下求得水泥土暗撐的水平基床系數 k ，研究加固土體在不同計算方法下的區別。

若水泥土彈性模量為 120MPa ，長度為 10m ，規范中水泥土的 m 值一般取 6000kN/m³ ，不同深度下的等截面暗撐水平基床系數 k 如表1所示。

由表1可知，當加固長度為 10m， 加固深度為4m 時，二者計算結果一致。實際工程中加固深度一般為 3～5m ，在有限土體中二者計算所得一致，均可使用。加固深度較小時， m 法低估了水平基床系數 k 的取值;當加固深度大于 5m 時，k法又低估了水平基床系數 k 的取值。根據式（2），當加固區長度 L 較大時，采用此公式得到的水平基床系數 k 值過小。

1.2變截面暗撐（裙邊加抽條）水平基床系數 k 的計算

變截面暗撐（裙邊加抽條）模型圖如圖1所示。

如圖1所示，設暗撐由1、2、3段組成，其截面分別為 A₁、A₂、A₃ ，長度分別為 L₁，L₂，L₃ 。在軸力 Q （集中力）作用下，各段壓應力分別為：

各段壓應變分別為：

各段壓縮量分別為：

累計壓縮量：

δ=δ₁+δ₂+δ₃

對左側由式（7），可以推出左側水平基床系數k₁ 表達式：

對右側由（7）式，同理推得右側水平基床系數k₃ 表達式：

1.3變截面暗撐（多孔板狀）水平基床系數 k 的計算 變截面暗撐（多孔板狀）模型圖如圖2所示。

適用于變截面暗撐為對稱圖形時，兩側梯形段壓縮量計算簡圖如圖3所示。

公式推導如下，由式（10）和式（11）得每單元體寬度 dx 下的壓縮量 δ_x ：

式中：tanα為梯形腰與水平線夾角正切值； Q 為作用在梯形截面的集中荷載（kN）； A_x 為微元體截面面積（ m² ）； h 為梯形段暗撐厚度（m）。

對每段微元體的壓縮量求和，可得梯形段整體壓縮量。通過對式（11）積分實現：

無論在 b₁ 與 b₂ 任何大小關系的情況下，該公式均適用。當 b₁=b₂ 時，按一般式（13）進行計算：

求出壓縮量進而帶入變截面暗撐（多孔板狀）模型中推導 k 的計算公式。變截面暗撐（多孔板狀）簡化模型如圖4所示。

為方便計算，引入變截面暗撐形狀參 α_B ，取值按照式（14）參考：

則梯形截面壓縮量公式變為：

再整理總壓縮量表達式及水平基床系數和應力與位移的關系得：

δ=2δ_A+2δ_B+δ_C

聯立式（2.16）（2.17）（2.18），可得到變截面暗撐（多孔板狀）水平基床系數 k 的表達式：

2關于大跨度暗撐的問題討論

由以上水平基床系數 k 值公式推導可知，水平基床系數 k 值與加固區跨度 L 成反比。如果 L 很大，如70～80m 甚至超過 100m ，則 k 值將很小，以至滿堂加固的變形計算結果大于同樣厚度裙邊加固計算的結果，結論與工程實際不吻合。其原因是完全忽略了暗撐底部土體的作用。面對大跨度暗撐 k 值可能偏小的問題，可以改變計算模型，采用規范中 ?_m 值用m法計算并比較結論，取兩者更為合理的結果。

總而言之，被動區加固體如果形成了暗撐，可通過理論公式計算其面剛度指標一—水平向基床系數k 。對于大跨度暗撐應通過多種方法比較合理取值。

3基于廣義胡克定律的一般土體 值計算

一般土體由于沒有水泥土的高強度、高穩定性的特點，因此不考慮 k 法，依舊采用一般土體最契合的 m 法進行公式推導。

對于同一層土，顯然變形模量 E 和水平抗力系數的比例系數 m 為一定值，不符合 m 法中 k 值沿深度變化的規律；假設模型如圖5所示。

基坑底kk_h，2 （20中 k=m×zZ

假設求得的水平基床系數 k 就是該土層的平均值 k_h/2 ，同時假設求得 m 值為單位土層深度下 m 值，單位深度 z 取 1m 。由式（2）變形得到一般土體 ?_m 值計算公式：

式（19）為一般土在有限土體條件下的 ?_m 值計算公式。由該公式得到當被動區寬度在 5m 以內時需要對土的水平基床系數的比例系數 ?_m 值進行加強，土的抗力大小也相應增加。此類基坑統稱為溝槽基坑，諸多對溝槽基坑的研究也證明[17-18]，以往設計方法沒有考慮被動區兩側土抗力互相影響、疊加從而提升抗力大小的問題，從而導致溝槽基坑設計中樁長過大造成浪費，公式不僅符合該研究現象，也適用于溝槽基坑的計算。

4結語

通過廣義胡克定律對加固土體和一般土體在有限土體情況下的 k 值 ?^m 值進行推導，得出了等截面暗撐、變截面暗撐的 k 值公式，以及一般土體的 ?_m 值計算公式。對于加固土體，因其具有高強度的特性，在被動區寬度 L 較低時 k 法更適用于計算加固區的水平抗力系數 k 值。但 k 法隨著被動區跨度越來越大，值將很小，以至變形計算結果還大于同樣厚度裙邊加固計算的結果，完全忽略了暗撐底部土體的作用。面對大跨度暗撐 k 值可能偏小的情形，此時采用 m 法進行計算則更符合實際。對于普通土體，在被動區寬度 5m 以內時，由于兩側被動抗力互相疊加影響，應提高土體的 ?_m 值，在溝槽基坑設計計算時采取適當減少樁長及支護的措施以達到經濟節能的目的，為工程中水平基床系數的比例系數取值提供參考。

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