閉鏈弓形五連桿動力耦合特性研究

中圖分類號：TP242 文獻標志碼：A文章編號：2095-414X（2025）03-0051-09

0引言

閉鏈弓形五連桿是一種在垂直平面內的滾動機構，通過兩個主動關節的驅動改變桿系的形狀，使系統質心相對于觸地點發生偏置，從而形成重力矩驅動桿系滾動。在動態翻滾過程中，系統的重力和慣性力等廣義力對機構的動力性能和驅動器配置具有重要影響，因此，研究桿件間的動力耦合特性顯得極為重要[1-4]。考慮到閉鏈弓形五連桿具有十種驅動器配置方案，研究不同驅動器配置方案下主、被動關節間的耦合運動，為實現閉鏈弓形五連桿欠驅動關節的控制打下基礎。

近年來，一些科研人員分析了欠驅動機器人主、被動關節間的運動學耦合，得到了可用于運動學規劃的耦合指標。其中Marcel等提出了欠驅動機械臂被動關節和主動關節加速度間的動態耦合度量指數，說明耦合指數可作為驅動器配置設計的理論依據，并對提出驅動器控制策略具有重要意義。李娜等針對主動關節輸入及慣性張量對開鏈多剛體蛇形機器人被動關節耦合運動的影響進行了研究，由于開鏈多剛體蛇形機器人在水平面內運動，因此不涉及重力對被動關節耦合運動的影響。陳朋威等通過建立局部單關節耦合指數和全局單關節耦合指數，得出了仿袋鼠跳躍機器人的踝關節與欠驅動關節間存在足夠大耦合的結論。何廣平等分析了欠驅動機械臂主、被動關節間的動力學耦合特性，得到了可用于欠驅動機械臂操作空間軌跡規劃的耦合指標，并研究了該機械臂的運動學奇異問題。葛文杰等通過建立彈跳機器人的等效全驅動模型，分析比較了三種驅動器配置方案并給出了最優的配置方式。余躍慶等-\"針對欠驅動柔性機器人，提出柔性桿彈性變形分別與主、被動關節動力學耦合的新指標，并通過數值仿真表明柔性系統能得到較大耦合值，有利于能量的傳遞，在此基礎上，針對含拐點的柔順機構建立了等效慣量和耦合慣量，分析了其拐點關節依靠各桿件的動力學耦合運動，研究表明含拐點的柔順機構的變形特性具有優越性。綜上所述，目前開展的大部分動力耦合研究都是以欠驅動開鏈機器人為研究對象，對閉鏈滾動機構的動力學耦合特性研究還有待深入。

本文運用矢量法建立閉鏈弓形五連桿的直線翻滾運動學模型，以此模型為基礎，對十種驅動器配置方案進行運動學分析，并運用拉格朗日方法建立動力學模型，針對運動學方程和動力學方程分離主、被動關節。

在此基礎上，推導出機器人系統的二階非完整約束方程和主、被動關節的加速度表達式。通過定義表征操作空間和關節空間的可操作度作為慣性力、重力和關節驅動力矩影響閉鏈弓形五連桿翻滾運動的耦合性能指標，并分析不同驅動器配置方案下主動關節驅動力矩對翻滾角加速度和系統質心加速度的影響規律。

1閉鏈弓形五連桿運動學分析

構建閉鏈弓形五連桿的運動學模型是研究機構固有動力學屬性的前提，為建立表征關節耦合能力的指標提供理論基礎。本節將根據閉鏈弓形五連桿幾何模型對十種驅動配置方案進行分類，并建立其運動學模型。

1.1閉鏈弓形五連桿機構

閉鏈弓形五連桿由5個相同的弓形桿件模塊通過轉動副首尾相連組成，其三維模型如圖1所示。每個弓形桿件模塊由左右弓形桿件、直流電機、配重塊、電磁離合器、角度傳感器和陀螺儀組成。其中，左弓形桿件與電機端蓋固接，左右弓形桿件則通過配重板連接，并確保平行度使得機構具有對稱性，此外各弓形桿件模塊的質心視為桿件弦長中點處。

1.2十種驅動器配置的運動學分析

建立如圖2所示的閉鏈弓形五連桿直線翻滾運動學模型。其中，虛線圓表示半徑為 R 的虛擬滾動圓，虛擬圓的輪廓始終與觸地桿件重合，桿件觸地點為 P 設機構初始狀態時觸地點為 此時 A 與 o 重合，以 o 點為坐標原點建立世界坐標系 XOY 由上述分析可知， AP 弧長表示機構的滾動位移，并定義該弧對應的虛擬圓圓心角為系統的翻滾角 ? 。此外，該機構并無嚴格意義上的末端執行器，這類機構的輸出可視為其移動規律，即翻滾角的運動狀態。各桿件的弦長和質量為 l_i 和 m_i ，以逆時針為正方向，各桿件弦的夾角為關節角 θ_i ，機構總質量為 m_t ，各桿件繞桿系質心點處的轉動慣量為 I_i 。

閉鏈弓形五連桿的自由度為3，而描述機器人的位姿包括其位置和姿態。其中，機構的位置可通過翻滾角 ? 來表示，因此表述機構的姿態需要兩個關節變量，即定義兩個驅動關節。根據閉鏈弓形五連桿主動關節位置的分布規律可以將十種驅動配置方案分為兩類，一類為兩主動關節相鄰，另一類為兩主動關節相隔。選取不同關節角作為主動關節角，通過余弦定理可得到被動關節角的表達式，各方案的主被動關節角分布如表1所示。

由表1可知，方案1、4、7、8和10屬于兩主動關節相鄰的驅動配置方案，根據閉鏈弓形五連桿的幾何模型可得其被動關節角的表達式如下

式中， c_i=cosθ_i，s_i=sinθ_i，c_ij=cos（θ_i+θ_j），s_ij=sin（θ_i +θ_j） ，后文與該縮寫相同并依次類推。

同理，方案2、3、5、6和9屬于兩主動關節相隔的驅動配置方案，對應的被動關節角表達式可寫為如下形式

在動態翻滾過程中，閉鏈弓形五連桿機構沿世界坐標系的 X 軸向右滾動，此時五根弓形桿件依次觸地，由于閉鏈弓形五連桿的結構具有較高的對稱性，且各弓形桿件模塊完全相同，故每個弓形桿件模塊觸地時機構的運動規律呈周期性變化。因此，僅分析桿件1觸地，即觸地桿件兩端關節分別為 A 和 B 時機構的運動學模型。

由圖2可知，各弓形桿件的弦與地面所成夾角 φ_i 和各桿系質心在世界坐標系XOY中的坐標 （x_i，y_i） 可寫為如下形式

根據質心合成公式可得到機構的系統質心在世界坐標系 XO Y中的坐標 （X_c，Y_c） 表達式如下

設描述閉鏈弓形五連桿系統位形的廣義坐標為q=（q₁ q₂ q₃）^T ，其中， q₁ 和 q₂ 均為機構的主動關節角， q₃ 為翻滾角 ? ，各桿件的桿系質心在世界坐標系

中的坐標向量為 r_i=（x_iy_iφ_i）^T ，各桿件的桿系質心的速度向量 表達式如下

式中，xi，m （20號 m=1，2，3 。

聯立式（6）和式（7）可得各桿件桿系質心的加速度向量表達式如下

式中，

由式（5）-（9）可得系統質心的速度向量 和加速度向量 的表達式

式中， J 為系統質心廣義坐標映射到關節角的系數矩陣。

2動力學分析和解耦

動力學研究的是物體的運動與受力之間的關系，由動力學方程的各項系數矩陣可表征機構在運動時性能和關節間耦合能力的好壞。本節將建立閉鏈弓形五連桿機構的動力學模型，在此基礎上，分別對運動學和動力學方程進行解耦。

2.1動力學分析

在建立閉鏈弓形五連桿動力學模型時，假設各弓形桿件模塊與地面之間的摩擦力足夠大并且僅發生滾動，沒有相對滑動。此時，機構的翻滾運動可視為純滾動，桿件與地面接觸點的瞬時速度為零，可將機構的運動等效為繞地面與桿件接觸面法線的轉動進行分析。運用拉格朗日方法建立閉鏈弓形五連桿機構的動力學方程如下

式中， T 為系統的總動能， P 為系統的總勢能。

由于閉鏈弓形五連桿機構屬于典型的多剛體系

統，機構的總動能可由各弓形桿件模塊的平動動能和轉動動能之和來表示，以地面為零勢能面，可寫出系統總動能和總勢能的表達式

N_i=diag（m_im_iI_i）

式中， N_i 為桿件 i 的質量與轉動慣量矩陣，將式（14）-（16）代入式（13）可得閉鏈弓形五連桿機構在動態翻滾過程中的動力學方程

式中， t=k=m=1，2，3 。 M 為慣性力項， H 為科氏力和離心力項， G 為重力項， τ 為關節驅動力項， C_t^km 為描述系統質量和轉動慣量的二階影響系數矩陣。

2.2運動學和動力學模型解耦

為了研究閉鏈弓形五連桿機構的驅動關節對被動關節及系統末端的控制能力，即主動關節的耦合能力，需要探尋主動關節驅動力矩對被動關節加速度及系統質心加速度的影響程度。經上述分析得到了機構的運動學和動力學模型，然而其系數矩陣中包含了主動關節角和翻滾角，難以得到被動關節及系統質心的加速度關于主動輸入的關系。因此，需要針對運動學和動力學模型進行解耦，分離機構的主、被動關節。

由于系統翻滾角的變化規律可表征機構的翻滾運動規律，設機構的主動關節矢量 q_a=（q₁ （q₂）^T ，被動關節矢量 q_P=? ，則系統的廣義坐標可寫為 q=（q_aq_p）^T 對應的角速度和角加速度矢量可寫為 和 。

對運動學方程進行解耦，實質上是分離方程中的主、被動關節，由式（10）-（12）可得解耦后的運動學方程如下

式中， J_a 為系統質心廣義坐標映射到主動關節上的系數矩陣， J_P 為系統質心廣義坐標映射到被動關節上的系數矩陣。

對動力學方程進行解耦，實質上是分別將動力學方程中的慣性力項矩陣、科氏力和離心力項矩陣、重力項矩陣及關節驅動力項矩陣改寫成主、被動關節分離的形式。

根據式（18）可將慣性力項矩陣解耦為如下形式

式中， M_aa 為主動關節力矩與主動關節加速度之間的映射矩陣， M_ap 為主動關節力矩與被動關節加速度之間的映射矩陣， M_pa 為被動關節等效力矩與主動關節加速度之間的映射矩陣， M_PP 為被動關節等效力矩與被動關節加速度之間的映射矩陣。

根據式（19）和式（20）可將科氏力和離心力項矩陣解耦為如下形式

式中， H_a 為科氏力和離心力映射到主動關節的系數矩陣， H_p 為科氏力和離心力映射到被動關節的系數矩陣。

根據式（21）可將重力項矩陣解耦為如下形式

G=（G_aG_p）^T

式中， G_a 為重力映射到主動關節的系數矩陣， G_P 為重力映射到被動關節的系數矩陣。

根據式（22）可將關節驅動力項矩陣解耦為如下形式

τ=（τ_aτ_p）^T

τ_a=（τ₁τ₂）^T

τ_p=0

式中， τ_a 為關節驅動力矩映射到主動關節的力矩，即系統的主動輸入， τ_p 為關節驅動力矩映射到被動關節的力矩，其大小為零。

聯立式（27）-（40）可將式（17）的動力學方程改寫成主、被動關節分離的形式

3動態耦合性能指標

針對解耦的模型可研究十種驅動配置方案的主動關節對被動關節及系統質心加速度的耦合能力，分析其耦合性能變化規律及影響因素，比選耦合性能較優的驅動配置方案。為此，建立可表征機構關節間耦合能力的指標

3.1關節空間動態耦合性能指標

式（41）的動力學方程可體現出系統主動關節變量與被動關節變量之間的關系，為了研究主、被動關節間的耦合能力，將式（41）寫成方程組的形式

由式（42）中的第2式可得到主動關節加速度 的表達式

式中，由于 M_pa 不是正定矩陣， M_pa⁺ 是其偽逆矩陣。將式（43）代入式（42）中的第1式，整理后可得被動關節加速度 關于主動關節力矩的表達式如下

式中， 為主動關節力矩關于被動關節加速度耦合運動的映射系數矩陣，可用于描述主動輸入影響被動關節加速度的程度， 為虛擬驅動力矩，表示主動關節驅動力矩減去主動關節上的重力、科氏力和離心力，再加上被動關節上的重力、科氏力和離心力。

式（44）-（46）表明被動關節加速度受到主動關節輸入、主動關節及被動關節上的重力、科氏力和離心力的影響。根據 建立關節空間動態耦合性能指標，對該系數矩陣進行SVD分解可得到對應的奇異值 ，由于定義的被動關節矢量為翻滾角，等效被動關節數量 $| { n p } ＼rrangle$ 為1，因此，以各奇異值的積定義的關節空間動態耦合性能指標可寫為如下形式

關節空間動態耦合性能指標可表征機構的主動關節對等效被動關節的可控性，即主動輸入對翻滾角加速度的控制強度，關節空間動態耦合性能指標的數值越大，對被動關節的控制越容易，驅動關節與被動關節間的耦合能力越強。

3.2質心空間動態耦合性能指標

結合主、被動關節分離后的運動學及動力學方程，可研究主、被動關節間動力耦合對機構翻滾運動的影響，即主動關節驅動力矩對系統質心加速度的耦合能力。

根據式（42）中的第2式可得被動關節加速度的表達式如下

式中， M_?pp 為正定矩陣，將式（48）代入式（24）可將系統質心加速度的表達式改寫成如下形式

式中， 為主動關節加速度映射到主動關節驅動力矩的系數矩陣，將式（49）代入式（48），整理后可得系統質心加速度 關于主動關節驅動力矩 τ_a 的表達式如下

式中， 為機構的系統質心的虛擬加速度， 為虛擬驅動力矩與系統質心加速度耦合運動的映射系數矩陣， 為虛擬驅動力矩，表示主動關節驅動力矩加上主動關節上的重力、科氏力和離心力，再減去被動關節上的重力、科氏力和離心力。

根據 建立質心空間動態耦合性能指標，對 進行SVD分解可得到對應的奇異值δ≥δ≥.≥δna，由上述分析可知存在兩個主動關節，即 na 為2，以各奇異值的積定義的質心空間動態耦合性能指標可寫為如下形式

質心空間動態耦合性能指標 μ_B 可表征主、被動關節間動力耦合對系統質心加速度的影響程度，即系統質心獲得加速度的能力， μ_B 的數值越大，關節間耦合效果越好，系統質心由關節耦合所獲得加速度的能力越強。

4動力耦合特性仿真

由上節構建的關節空間和質心空間動態耦合性能指標可表征閉鏈弓形五連桿機構關節間的動力耦合性能。下面針對十種驅動配置方案的主動關節對被動關節和系統質心加速度的動力耦合作用進行分析。

設閉鏈弓形五連桿的動力學參數如下，虛擬圓半徑R=0.15m ，弓形桿件 i 的質量 m_i=1.0kg ，弓形桿件 i 的轉動慣量 J_i=0.0026kg?m² ，重力加速度 。采用常規的修正梯形曲線加速度規劃曲線作為機構的主動輸入。其中，修正梯形曲線的翻滾角角加速度表達式如下：

式中， t_e=2s ，根據式（54）可遞推出翻滾角的表達式及兩主動關節角的角位移，針對關節相鄰和關節相隔兩類驅動配置方案，其關節空間動態耦合性能指標分布圖分別如下

由圖3和圖4可知，對于兩類驅動配置方案，其關節空間動態耦合性能指標均隨主動關節角 θ_a2 的減小而增大，且在 θ_a2 趨近于 1.22rad 時指標數值趨于最大，此后隨著 θ_a2 的減小而減小。同時，驅動器位置關于中軸線對稱的配置方案的指標數值區間接近。此外，相較于驅動關節相鄰方案，驅動關節相隔方案的關節空間動態耦合性能指標數值區間范圍較大，并且其區間長度更大，即驅動關節相隔方案的主動關節對被動關節的耦合能力更強，機構的動力耦合性能更好，分析其原因為該方案下驅動關節與被動關節的間距更小，給被動關節傳遞能量較快，且損耗較低。因此，在進行驅動配置選取時應優先選擇驅動關節相隔方案。

為探究主動關節的分布對系統質心加速度的影響，可根據式（53）和式（54）得到兩類方案的質心空間動態耦合性能指標分布圖，如圖5和圖6（見下頁）所示。

由圖5和圖6可知，相較于驅動關節相鄰方案，驅動關節相隔方案的質心空間動態耦合性能指標數值區間范圍更大，且指標數值區間的長度更長，即在驅動關節相隔方案下，主動關節對系統質心加速度的耦合能力更強，機構的系統質心加速效果更好。各驅動配置方案的質心空間動態耦合性能指標均為弧狀發散的變化趨勢，其中，驅動配置方案1、2、3、4、5和7的指標 μ_B 在主動關節角 θ_a1 和 θ_a2 均趨近 1.26rad 時數值最大，而其余方案的指標 μ_B 在 θ_a1 趨近 1.26rad 并且 θ_a2 趨近1.32rad 時指標 μ_B 的數值最大。分析其原因為驅動關節位置靠近機構的翻滾方向，能夠較好利用系統的重力，使得系統質心獲得更大的加速度。

5結論

本文針對閉鏈弓形五連桿的動力耦合特性進行了研究，對機構的運動學和動力學模型進行解耦，即分離對應方程的主、被動關節變量。在此基礎上，分別推導驅動力矩關于被動關節和系統質心加速度的表達式，并通過對系數矩陣的奇異值分解分別建立機構的關節空間和質心空間動態耦合性能指標。分析各驅動配置方案的指標分布規律可得結論如下：

（1）對于驅動關節位置關于中軸線對稱的方案，其關節空間和質心空間動態耦合性能指標的最大數值分別相差2和0.4，區間長度較接近，即互為對稱的驅動配置方案利用系統重力的能力相似，其動力耦合能力也接近。

（2）對于關節空間動態耦合性能指標，其指標數值均在 θ_a2=1.26rad 時達到最小值，在 θ_a2=1.22rad 時處于峰值，且隨著 θ_a2 的減小其指標數值先增大后減小，即機構在關節觸地時主動關節對被動關節的影響最弱；對于質心空間動態耦合性能指標，其指標值在兩關節角均為1.26rad時處于峰值，在 θ_a1=1.32rad 并且θ_a2=1.26rad 時具有最小值，其變化趨勢為弧狀發散，即機構在關節觸地時主動關節對系統質心的影響最強。

（3）相較于驅動關節相鄰方案，驅動關節相隔方案的關節空間和質心空間動態耦合性能指標的最大數值區間分別為30＼～70和1.6＼～2.2，此時驅動配置分別為方案3和方案6，相較于驅動關節相鄰方案分別增大了8＼～46和0.3＼～1.05，說明機構在該類方案下主動關節對被動關節和系統質心的耦合能力較強，即驅動關節相隔有益于主動關節對被動關節和系統質心的動力學性能傳遞和運動控制，在進行控制研究時應優先選取驅動配置方案3和方案6。

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Abstract：Theclosedfive-bow-shaped-barlinkageasanunderdrivemchanismhastendriveconfigurationschemes，andthesectionof thebeterdriveoguratiosofgeatsifcaetotudyofttialaeatiopfoaeofthasdet ryplanning.Iniewofteaboveprobems，tispaprvestigatesteifueneoftheivetorqueotecouplingperformancelaofthe acelerationofthepassvejtsandthacelerationoftecenterofmassofthsystmuderthvariousrivecofiguraionsbasdonte power-couplingharacteristics.Firstlyteinematicanddamicmodelsoftelosedfivebo-aped-barlikagewereetablishdre spectivelyadoelseredcopledfortiedpiejtsOntisisaicupgpaneert spaceandcenter-of-masspace were definedbydynamic manipulabiltyellpsoid.Finall，MATABsimulation wasused toanalyzeand studythedistributionlawofthetwocouplingindexesundereach driveconfigurationscheme.Theresultsshowedthatthemaximumvalue intervalsfjtcedtefaspaeupgeried-spcielyentttio schemeassedeasd4dsielyaditt separationfacilitatestetraserofdaicsdcotrolofteactijtstepassejointsadecenteof-assoftessteAnd thescenariosiththelargestluesoftetwometrcsareenariosand6spectivelyhenthemchanismasorecapableofutili ingthegravityofthesystem，andthesetwodriveconfigurationscenariosshouldbeprioritizedwhenconductingcontrolstudies. Keywords：closedfive-bow-shaped-barlinkage;dynamiccoupling;dynamiccouplingperformancemetrics;dynamicdecoupling

（責任編輯：李強）