彈跳機器人著陸姿態分析及其控制方法研究

中圖分類號：TH122；TP241 DOI：10.16578/j.issn.1004.2539.2025.07.017

0 引言

目前，彈跳機器人在人類的各類活動中扮演著愈發舉足輕重的角色，承擔著愈發重要的任務。同時，人類對非結構化地形的探索需求更加明顯，如外星探索、森林防火、地震或爆炸后的救援等。為此，人類開發出各種各樣運動模式的機器人，如輪式移動機器人和仿生彈跳機器人等。輪式移動機器人在面對復雜地形時，往往表現出適應性不足的問題，其越障能力也相對較弱，這成為其在實際應用中面臨的一大挑戰。隨著機器人應用范圍的擴大，彈跳機器人在針對復雜未知非固定結構的環境探索中具有獨特的優勢[]。

在彈跳機器人研究領域，RAIBERT堪稱先驅者，他與其團隊深入剖析了單質量彈簧模型，設計出世界上首個以跳躍方式運動的單腿機器人[2]。

重慶大學的BAI等[3模仿非洲嬰猴的跳躍動作和身體結構，設計了一款彈跳機器人。他們使用牛頓第二定律建立彈跳機器人動力學模型，使用比例-積分-微分（Proportional-Integral-Derivative，PID）算法控制機器人關節角度，實現對機器人著陸姿態的控制；此外，將Luger模型加入控制系統，實現機器人著陸時的摩擦力補償，提高了機器人的著陸穩定性。橫濱國立大學的UGURLU等提出了一種基于零力矩點（ZeroMomentPoint，ZMP）定理的彈跳機器人跳躍軌跡生成方法。支撐階段：首先，在極坐標系中對ZMP方程進行離散化處理，其數學模型包含角動量信息，可實現對角動量的抑制，并且得到質心的運動軌跡；其次，使用逆運動學的方法，得出關節角度。滯空階段：根據拋射體動力學、動量守恒定律和起跳時的速度等信息，預測出質心在豎直和水平方向上的軌跡，從而實現機器人的穩定跳躍。蘇黎世聯邦理工學院的LOEPFE等5設計了一種依賴重力自我復位的彈跳機器人，它利用線性彈簧儲存、釋放能量來實現跳躍動作，著陸后，通過較低的重心和球形外殼設計實現自動復位。

FUKUSHIMA等觀察到松鼠跳躍過程中尾巴擺動的現象，提出生物在跳躍過程中通過尾巴控制自身姿態的觀點，并制作了一個雙連桿機器人來驗證這一現象，為后續彈跳機器人空中姿態控制提供了思路。CHANG-SIU等在FUKUSHIMA等研究的基礎上，設計了一個基于動量矩定理的非線性反饋控制器，在二連桿機器人處于自由落體狀態時控制其身體姿態，并通過試驗驗證了基于該控制器的機器人可實現接近動物姿態控制能力的快速響應。奧克蘭理工大學的KIM等提出了配備動量輪機制的跳躍機器人。動量輪機制有助于控制機身角度，通過控制動量輪的旋轉，跳躍機器人可以實現連續跳躍。加州大學的HALDANE等設計了一款名為Salto-1P的新一代機器人系統，用于探索極端跳躍運動。Salto-1P能夠連續跳躍超過 1m 的高度，并可橫向跳躍達2m 的距離。該機器人使用空氣動力推進器和慣性尾部部件在空中控制其方向。一個線性化的Raibert步進控制器足以實現無約束原地跳躍和前后行走，同時借助外部位置反饋。

本文對彈跳機器人著陸階段的仿真曲線進行分析，提出了一種基于動勢能關系的著陸穩定判據；此外，本文在KIM等研究的基礎上，設計了具有三軸動量輪的彈跳機器人，使用抗擾動性能更好的積分滑模算法對機器人滯空階段和著陸階段進行控制，并采用前饋控制器實現該多輸入多輸出系統的解耦。

1彈跳機器人設計

1.1 彈跳機構設計

圖1（a）為彈跳機器人彈跳機構等軸測圖。該機器人后腿為彈跳腿，且前肢具有輔助平衡的作用。如圖1（b）所示，彈跳腿為菱形布局，各連桿之間采用鉸鏈連接。彈跳機構由大齒輪和不完全齒輪的齒輪組與彈跳腿組成，齒輪嚙合時完成儲能，退出嚙合時釋放能量。其中，左上彈跳連桿與右上、右下彈跳連桿長度相等。彈跳機構各零件屬性如表1所示。

圖2為彈跳機構工作原理圖。圖中， A^′ 、 B^′ 、 C^′ 處為扭簧安裝位置。儲能階段[圖2（a]：由舵機驅動彈跳驅動軸轉動，不完全齒輪和驅動軸相互固接，不完全齒輪與大齒輪嚙合，帶動末端傳動軸轉動；且左上彈跳連桿和第二傳動軸固接，從而改變各個彈跳連桿之間的相對角度，壓縮或者拉伸扭簧，完成儲能。釋能階段[圖2（b]：由于不完全齒輪的缺齒特性，在完成最后一個齒的嚙合后，不完全齒輪與大齒輪脫離嚙合，限制扭簧力矩消失，扭簧復位，釋放能量。

1.2動量輪布局及彈跳機器人整機設計

動量輪控制機器人姿態角的方法早已在衛星、自平衡機器人上進行了驗證[10-12]。此外，對于彈跳機器人，目前的研究集中在弱引力環境下的以動量控制為驅動的機器人（Momentum-driven Robot，MoRo）[13-15]

動量輪采用偏置布局方式，如圖3所示。考慮到動量輪模組對機器人靜態穩定性的影響，采用兩后一前的正交布置方式。由圖4所示的動量輪模組可知，為了防止動量輪在高速轉動時由于偏心所導致的周向振動，動量輪模組中均有滾珠軸承對轉軸進行周向限位。其中，俯仰模組使用聯軸器與軸承的形式，增加其可靠性。

機器人整機采用ABS塑料3D打印成型，整體質量輕，轉動慣量小。動量輪模組均由ABS塑料打印成型。機器人及動量輪質量參數如表2所示。

2機器人著陸過程穩定性分析

2.1機器人水平面靜態穩定性分析

靜態穩定邊界法表示的是在給定的支撐區域內，機器人重心投影至支撐區域各邊界距離的最小值，該值稱為靜態穩定裕度。靜態穩定裕度越大，機器人穩定性越好；該值小于0時，機器人處于不穩定狀態[]。

機器人初始直立狀態下的支撐多邊形ABDE和質心 C 的關系如圖5所示。若該質心 C 點的投影點 C_og 在支撐多邊形ABDE內，則該機器人靜止狀態下穩定。

假設圖5中 E 點為坐標原點，則質心 C 坐標為（x_c，y_c，z_c）

故點 C_oG 到支撐多邊形 ABDE 各邊的距離分別為

式中， d₁ 、 d₂ 、 d₃ 、 d₄ 分別為點 C_oG 到 AE 、 BD 、 AB 、ED 邊的距離。

表3所示為圖5中各點坐標。代入表3數據，根據機器人靜態邊界穩定法可知，穩定裕度 S_ssu 為

S_ssu=min{d₁，d₂，d₃，d₄}=28.79mm

彈跳機器人未儲能狀態下靜態穩定裕度大于0，故此狀態下機器人穩定。

2.2機器人著陸階段動態穩定性分析

假設機器人著陸時 E 點先與地面接觸，且彈簧由機械結構鎖死，不發生形變，如圖6（a）所示。此時，如圖6（c）、圖6（d）所示，機器人身體姿態角不為0，且在慣性的作用下，以一定的角速度繞慣性坐標系三軸旋轉和某一方向的直線運動；即存在轉動動能、直線運動的動能，以及以地面為零勢能面的重力勢能。

直線運動的動能最終由阻力做功抵消，繞z軸的偏航旋轉不改變 C_0G 到支撐多邊形的距離，故對機器人穩定性沒有影響，本文不做討論。

定義：以機器人慣性系 y 軸正方向為基準，逆時針旋轉為正，即右傾角為正；順時針為負，即左傾角為負，記為 θ₃ 。以機器人慣性系 x 軸正方向為基準，逆時針旋轉為正，即前傾角為正；順時針為負，即后傾角為負，記為 θ₂ 。

利用達朗貝爾原理對圖6（a）時刻的機器人作受力分析，結果如圖7所示。其中， A_pr B_pr 、 D_pr ， E_pr 均為機器人的支撐多邊形頂點； C_og 為質心 C_pr 在水平面的投影點； F 、 M 、 G f 分別為慣性力、慣性力矩、重力和地面對機器人的作用力； ρ_pr 為質心到旋轉中心的位置矢徑。

因此，慣性力矩、慣性力分別為

F=-ma

式中， L_s 為系統動量矩； J_Epr 為系統繞 E_pr 點轉動的轉動慣量； ?_m 為系統質量； a，α 分別為系統的加速度和角加速度。

則圖6（a）時刻下機器人的平衡力系為

G×ρ+F×ρ+M=0

G+f+F=0

式中， ρ 為質心到旋轉中心的位置矢徑。

顯然，若此時系統角速度為0，慣性力矩 M 也為0，則系統力系不平衡， C_oG 點為系統的正壓力點。若此時 C_oG 點在支撐多邊形內，機器人則會在重力的作用下向斜后運動，并在摩擦力的作用下各姿態角逐漸收斂至0[圖6（b）]。

機器人姿態角若能收斂，則需滿足當機器人動能為0時， C_oG 點仍在支撐多邊形內，在這一過程中，系統動能轉化為勢能。

2.3建立機器人著陸階段的動態穩定判據

機器人以 E 點著陸，如圖8所示， C_R 為機器人著陸時的質心； ρ_R 為質心的位置矢量； C_ocR 為質心對支撐面的投影點；A、 B 、 D 、 E 分別為支撐多邊形頂點； F_BA 、 F_AE 、 F_BD 、 F_DE 分別為 C_ocR 到各邊的垂足。

設 E 點為慣性系坐標原點，質心 C_R 坐標為

ρ_R 的計算式為

式中， ρ_R 為旋轉后的位置矢量； R_c^E 為質心繞 E 轉動的旋轉矩陣。

由第2.2節分析可知，若機器人趨于穩定，則動能為0時， C_og 點仍在支撐多邊形內。故

代人表3數據可知，機器人極限姿態角為

同理，機器人以 B 點為慣性系坐標，可得

式（15）＼～式（18）中，當姿態角等于極限角度時，C_og 點位于支撐多邊形ABED上；大于極限姿態角時，C_oG 點則在支撐多邊形ABED外。

如圖9所示，設機器人水平站立時的質心高度為零勢能面，則當 C_oG 點位于點 F_BA 、 F_AE 、 F_BD 、 F_DE 時，為各邊勢能最低點；當 C_oG 點位于點A、 B ， D 、 E 時，為各邊勢能最高點。

由上述分析可知，要使機器人著陸穩定，除了需要滿足著陸姿態角小于極限姿態角外，還需要滿足當前系統角速度方向上的動、勢能之和小于該方向所對應的支撐多邊形的極限勢能。故此機器人動態穩定裕度 S_m 為

S_m=P_stable-T-P

式中， P_stable 為當前角速度方向上支撐多邊形對應的極限勢能； T，P 分別為當前系統的動能和勢能。

著陸時的角動能 T 為

式中， J_x，J_y 均為機器人繞旋轉中心轉動的轉動慣量。

機器人勢能 P 為

P=mg（h-z_c）

h=ρ_?R（3，1）

綜上可知，機器人著陸時，若滿足著陸角小于極限傾斜角和 S_mgt;0 ，則機器人姿態角可收斂至0，即穩定著陸。若不滿足，則機器人姿態角發散，發生傾倒。因此，下一步設計機器人姿態角控制器，實現對機器人姿態角以及角速度的控制，從而使機器人穩定著陸。

3機器人姿態角控制器設計

3.1 滯空階段運動學

由于滯空階段機器人前肢、身體、后肢保持相對靜止，只有3個動量輪旋轉對機器人進行姿態調整，故將機器人簡化，如圖10所示。

圖10中，點 O_c 為機器人質心及慣性坐標系原點； O_b 為機器人機體質心； O_y 、 O_p 分別為橫滾、偏航、俯仰動量輪質心。

定義該系統廣義坐標為

q=[θ₁θ₂θ₃φ₁φ₂φ₃]^T

式中， θ₁ ∴θ₂，θ₃ 分別為機器人機體坐標系繞慣性坐標系 z x 、 y 軸旋轉角度，即機體的偏航、俯仰、橫滾角； φ₁ 、 φ₂ 、 φ₃ 分別為偏航、俯仰、橫滾動量輪相對于機體坐標系的旋轉角度。

由圖10中矢量關系，有

式中， 、 、 分別為慣性坐標系指向橫滾、俯仰、偏航動量輪質心的矢量； 分別為總質心指向身體質心和橫滾、俯仰、偏航動量輪質心的矢量； m_b 、 m_r 、 m_y 、 m_p 分別為身體質量和橫滾、偏航、俯仰動量輪質量。

式中， π_y^b， π_p^b 、 π_r^b 分別為身體質心坐標系下偏航、俯仰、橫滾動量輪質心坐標。

聯立式（24）＼～式（34），并對時間 χ_t 求導，有

式中， 分別為機器人身體相對慣性坐標系的線速度和俯仰、偏航、橫滾動量輪相對慣性坐標系的線速度。

由角速度和旋轉矩陣關系，有

式中， （204號 ω_r 分別為機器人身體質心相對慣性坐標系角速度和俯仰、偏航、橫滾動量輪相對慣性坐標系的角速度。

3.2滯空階段動力學模型

基于拉格朗日方程，對機器人滯空階段建立動力學模型[]，即

式中， L 為拉格朗日函數且 L=T-U ， T 為系統動能，U 為系統勢能； q 為廣義坐標； Q 為廣義力矩。由于研究的是機器人處于滯空階段的姿態，故系統處在非慣性坐標系下，重力由牽連慣性力平衡，故不考慮系統勢能變化[8]。

式（44）為拉格朗日方程表達式。

結合式（35）＼～式（38）、式（40）＼～式（43），動能T為

式中， J_b?J_y?J_p. （20 J_r 分別為機器人身體轉動慣量矩陣和偏航、俯仰、橫滾動量輪轉動慣量矩陣。

且式（44）中廣義力矩 Q 為

式中， τ_1?τ_2?τ₃ 分別為偏航、俯仰、橫滾電動機所提供的力矩； T_?1 、 T₂ 、 T₃ 分別為電動機作用在慣性系上的機體力矩； d_m（m=1 ，2，…，9）過于冗雜，不展開說明。

動力學方程表達式為

將式（44）化簡為式（48）， M 矩陣和 c 矩陣中元素過于冗雜，故只對兩矩陣中元素為0的項和特殊項說明，如下所示：

至此，數學模型構建完畢。

3.3積分滑模控制器及前饋控制器設計

建立機器人滯空階段動力學模型后，考慮到系統在起跳和著陸時碰撞的作用下，機器人姿態角速度突然增大，類似于單位階躍信號。這就對控制算法的抗擾動能力提出了較高的要求。

積分滑模算法具有響應速度快、抗擾動能力強的特點，被廣泛應用在電動機和帶臂無人機等領域[19-20]。

由式（46）＼～式（48）可知，該系統是以 為輸入、 為輸出的多輸入多輸出耦合系統，故以該系統為控制對象、用機器人姿態角 θ_i 控制系統狀態。

建立的系統控制方程為

式中， d 為系統耦合矩陣； D 、 、 f 均為控制方程中的參數矩陣。將其作為系統擾動項，式中矩陣分別為

建立基于前饋控制器和積分滑模控制器的反饋控制系統，如圖11所示。

建立積分滑模控制器，定義

式中， ρ_e 為誤差； x_d 為期望角度。

采用的積分滑模面 s 為

式中， k_i（i=1，2，3） 為正系數矩陣。

為了改善滑模趨近運動的動態品質，選擇指數型趨近律[21]198-210為

式中， 均為正系數矩陣。聯立式（50）＼～式（54），得滑模的控制率為

利用李雅普諾夫穩定理論[21198-210證明該系統的穩定性，有

系統滿足李雅普諾夫理論，將 u_c 代人式（50）即完成系統閉環控制。

符號函數 sgn（s） 在實際控制的切換中存在一定的滯后性，會引起相應的抖振問題。因此，采用雙曲正切函數削弱滑模系統的抖振問題[22]，即

式中， ε 為常系數矩陣。至此，積分滑模控制器構建完畢。

4Adams-Simulink聯合仿真

4.1著陸穩定性仿真

將圖3所示機器人模型導入Adams軟件，在Simulink中構建控制系統。設定采樣時間為 0.001 So

如圖12所示，機器人在0.64s時起跳，1.06s時著陸，控制器并沒有工作。圖12中， A^′′ 、 B^′′ 、 C^′′ 點分別為機器人著陸時俯仰角、偏航角、橫滾角坐標，其中，俯仰角 θ₂=35.02^° ；橫滾角 θ₃=-13.16^° 。由第2.3節對旋轉方向的定義和極限姿態角可知，著陸時，機器人俯仰角大于極限俯仰角 θ_2max=13.91^° ，故機器人姿態角發散，機器人傾倒。

使用PID_A（PID控制器參數A）對機器人滯空階段進行控制，分別如圖13、圖14所示。由圖13中的放大圖可知，機器人著陸時，姿態角均小于極限姿態角。由圖14（a）可知，機器人跳躍過程最大跳躍高度為 242.34mm ；由圖14（b）可知，機器人著陸時，動、勢能之和大于極限勢能， S_mlt;0 ，故機器人姿態角發散，機器人傾倒。其中，圖14中橘黃色部分為角速度方向所對應的支撐多邊形極限勢能。

使用PID_A對機器人滯空、著陸階段進行控制，如圖15、圖16所示。由圖15中的放大圖可知，機器人著陸時，姿態角均小于極限姿態角。由圖16（a）可知，機器人跳躍過程最大跳躍高度為 242.34mm ；由圖16（b）可知，機器人著陸時，動、勢能之和小于極限勢能， S_mgt;0 ，故機器人姿態角收斂，機器人站穩。其中，圖16中的綠、橘黃、粉色部分均為角速度方向所對應的支撐多邊形極限勢能。

至此，仿真結果和理論模型相互吻合。

4.2機器人跳躍、著陸過程控制仿真

由第4.1節的仿真發現，使用控制算法對機器人滯空、著陸兩個階段進行控制，可以有效地克服著陸碰撞對機器人的擾動，使機器人著陸更加平穩。本節使用更適合非線性系統的積分滑模控制算法對機器人跳躍過程進行控制，并且與PID控制算法進行對比。

如圖17、圖18所示，使用ISMO控制的機器人跳躍、著陸過程的姿態角更加平穩，特別在0.64＼～0.7s過程中，機器人受初始動量的影響，各姿態角快速增大，ISMO相比于PID更快地完成了對姿態角的調控。滯空階段的0.64＼～1.049s內，由圖18（a）中的放大圖可知，ISMO比PID更快地完成了偏航角誤差的收斂；由圖18（b）中放大圖可知，ISMO使俯仰角誤差最大值僅為 0.8^° ，遠小于PID控制器的 5.9^° 橫滾角方面，ISMO的最大誤差僅為 0.09^° ，也遠小于PID控制器的 0.7^° 。機器人著陸階段的 1.049～ 1.062s內，ISMO比PID控制器更好地克服了碰撞所帶來的擾動，并且在后續的 1.062～1.4s 內，ISMO更快地使機器人穩定站立，姿態角完成收斂。

綜上可知，相較于PID控制器，ISMO在控制彈跳機器人系統方面展現出更為優越的性能。其卓越的抗擾動特性能夠出色地抑制彈跳機器人在起跳和著陸瞬間的擾動。此外，通過動、勢能關系建立的機器人動態穩定判據，其理論與仿真結果相互吻合。

5 試驗

為了驗證動量輪改變彈跳機器人姿態的可行性，使用3D打印的方式，制作了圖19（a）所示的試驗樣機。該樣機的控制電路板如圖19（b）所示，彈跳機構驅動舵機如圖19（c）所示。

使用PID算法對彈跳機器人的動量輪進行控制，試驗結果如圖20、圖21所示。由于機器人滯空時間較短，受陀螺儀、電動機的硬件限制，無法得到精度較高的機器人俯仰角速度和角度曲線，因而沒有類似于仿真曲線中機器人著陸階段的典型曲線。此外，由于電動機力矩太小，故無法有效地控制身體姿態，只能有限度地影響姿態角。

在圖20所示機器人跳躍過程中，（a）＼～（c）為儲能過程；（b）對應機器人姿態角；（c）為儲能臨界點；（d）＼～（f）為滯空階段和著陸階段。

對比圖21（a）＼～圖21（c）中身體姿態角最高點 Y_F1"、Y_s1 、 Y_R1 可以發現，動量輪正轉對機器人姿態角有小幅度的減小，動量輪反轉則加大了機器人俯仰角。Y_F2， Y_S2 、 Y_R2 點分別是機器人著陸碰撞后的最小點。電動機正轉情況下，機器人著陸碰撞后的俯仰角改變量最小，僅為 15.1^° ；而電動機不轉和電動機反轉的情況下，機器人俯仰角改變量分別為 19.3^° 和 28.9^° 。

故此，結合圖21和上述分析可知，動量輪對彈跳機器人身體姿態角有一定的影響。

6結論

采用積分滑模控制算法，對所設計的三正交動量輪彈跳機器人實現了姿態控制，并且在此基礎上提出了一套適用于足式機器人的動態穩定判據。通過仿真以及試驗，揭示了使用動量輪、控制算法相結合對彈跳機器人姿態控制的可行性。在動態穩定方面，所提出的方法可通過當前時刻機器人狀態對其是否在“未來”發生傾倒進行預測。進一步，本文提出的姿態控制方法以及動態穩定性判據可推廣至四足機器人等需要在作業時保證姿態穩定、著陸穩定的場合，例如：鱷魚型機器人的姿態、步態穩定性。

未來研究方向如下：使用大轉矩電動機替代扭簧作為機器人起跳的執行元件，以使機器人在裝備大負載的情況下更加靈活；優化該穩定性判據，使其與控制算法相互結合，實現機器人更穩定地執行作業。

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Landing attitude analysis and control of bouncing robots

WU Zhe'ZHOU Zupeng1YANGQuan2 （1.SchoolofMechanicalandElectricalEngineering，GuilinUniversityofElectronicTchnology，Guilin54o4，Cina） （2.Schoolof Inteligent Manufacturing，Guangxi Vocationalamp;Technical InstituteofIndustry，Nanning53o1，China）

Abstract：[Objective]Aimingatthe problemthatthe bouncing robot is easilytoppledandunstable when landing，athreemomentumwheelbouncingrobotwithorthogonalarrangementwasdesigned.[Methods]Firstlythestaticstabilityofherobot wasanalysedusingthestaticstabilityboundarymethod，whichprovedthestabilityoftherobotstandinghorizontallatest. Then，anewlandingstabilitycriterionwasproposedbasedontheatitudeangleofthebouncingrobot，aswellasthekineticand potentialenergyrelationbycombiningD'Alembert’sprincipleandenergyconservation，andthestabilityofthebouncingrobot inthelanding phase wasanalysed basedonthismethod.Furthermore，forthecharacteristicsoflargedisturbancesandsystem couplinginthebouncingandlandingphasesoftherobot，arobotatitudeanglecontrollerbasedonanintegralslidingmode controlalgorithmandafed-forwardcontrollrwithsystemdecouplingweredesignedtocontroltherobotatitudeduring the bouncingandlanding phases.UsingAdams-Simulinkcosimulation，thecorrctnessofthedynamicstabilitycriterionwas verified，andbyomparingtheintegralsingmodeerver（O）andtheproportioalintegralrivatie（P）tole the former’sperturbationrobustness significantlyovercome the perturbations generated by the robot’s jumping and landing colisions.Finall，aprototypewasbuiltoverifythefeasibilityofusing themomentumwheetochange theatitudeof the bouncingrobot.[Results]Thedesignedatitudecontrolmechanismbasedonthreeorthogonalmomentumwheelscombined with theintegralslidingmodecontrolalgorithmcaneffectivelycontroltheatitudeoftherobotafterbouncing，andtheproposed robotlanding stability criterion can effectively predict the stabilityofthe robot through the current robot state.

Key Words： Bouncing robot; Dynamic stability discrimination;Integral sliding mode control; Atitude control