兩條守恒定律在解決碰撞模型中的應(yīng)用

在物理學(xué)中，碰撞是物體間相互作用的一種重要形式.根據(jù)碰撞過程中能量損失的不同，碰撞可以分為彈性碰撞、非彈性碰撞和完全非彈性碰撞.其中，彈性碰撞和完全非彈性碰撞是高中階段學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，它們各自具有獨(dú)特的特征和解題策略.

1彈性碰撞

彈性碰撞是碰撞過程中動能守恒、機(jī)械能守恒的碰撞.在彈性碰撞中，碰撞前后系統(tǒng)的總動能保持不變，且碰撞后兩物體的分離速度與碰撞前接近速度成正比.這種碰撞在理想情況下發(fā)生，如鋼球之間的碰撞.

解題策略（1）守恒定律的應(yīng)用：在彈性碰撞中，應(yīng)首先運(yùn)用動量守恒定律和機(jī)械能守恒定律建立方程組.通過這兩個方程，可以求解出碰撞后兩物體的速度.

（2）相對速度的處理：在處理彈性碰撞問題時，經(jīng)常需要用到相對速度這一概念.通過計算碰撞前后兩物體間的相對速度，可以簡化問題，更容易找到解題的突破口.

例1如圖1所示，在水平面上放有質(zhì)量分別為 δ_m，3m 的木板 A 和物塊 C ，質(zhì)量為 2m 的物塊 B 置于木板A的左端，并以初速度 v₀=3m/s ，從左向右運(yùn)動，當(dāng) A 和 B 共速時，木板A恰好與物塊 C 發(fā)生第一次碰撞.若木板 A 的長度足夠長，忽略木板 A 與水平地面間的摩擦力，物塊 B 可視為質(zhì)點(diǎn)，且物塊 B 與木板 A 之間的動摩擦因數(shù)為 μ=0.1 ，物塊 C 與水平地面間的動摩擦因數(shù) μ₂=0.05 ，每次碰撞時間極短，均視為彈性碰撞，忽略空氣阻力， g 取10m/s² .求：

（1）木板 A 與物塊 C 第一次碰撞后的瞬間A、C的速度；

（2）木板 A 與物塊 c 第一、二兩次碰撞的時間間隔.

解析 （1）先要求出 A 和 B 的速度相等時的速度，這可以通過動量守恒定律直接列式求出；然后可以用動量守恒定律和機(jī)械能守恒定律聯(lián)立列式，求出“ A 與 c 第一次碰撞后瞬間 ^A，C 的速度”；（2）木塊 A 和物塊 C 碰撞后，物塊 C 向右做勻減速運(yùn)動，可由運(yùn)動學(xué)公式求其滑出的時間和位移；繼續(xù)利用動量定理求出 A 和 B 再次速度相等時的速度大小，兩者共速所用時間和一起勻速運(yùn)動所用時間則可以利用運(yùn)動學(xué)公式求出.

（1）設(shè) A 和 B 的速度相等時的速度為 v₁ ，由題意知兩者所組成的系統(tǒng)動量守恒，有 2mv_?=（2m+ γ_m）γ_v1 ，解得 v₁=2m/s

由題意可知 A 與 C 之間的碰撞為彈性碰撞，由機(jī)械能守恒定律和動量守恒定律可得：

mv₁=mv_A+3mv_C，

聯(lián)立上面兩式解得 v_A=-1m/s，v_C=1m/s

（2）A 與 C 碰撞后， C 做減速運(yùn)動所用時間 t_C=

C 做減速運(yùn)動滑行距離：

在 A 和 C 碰撞后， A 和 B 再次速度相等的過程中，根據(jù)分析可知， A 和 B 組成的系統(tǒng)動量守恒，取水平向右為正方向，由動量守恒定律有 2mv₁+ mv_A=3mv₂ ，解得 A 和 B 再次速度相等時的速度v₂=1m/s

A回到原位置所用時間

A 和 B 再次共速后一起做勻速運(yùn)動與 C 碰撞的時間 ，所以兩次碰撞的時間間隔為 t=t₁+t₂=1s+1s=2s

評析系統(tǒng)不受外力作用或者在某一方向上不受外力作用（或所受合外力為0）是利用動量守恒定律解題的首要條件.

注意使用動量守恒定律并非唯一方法.比如第（2）小問中，求“在 A 和 C 碰撞后， A 和 B 再次速度相等”所用時間時，可以使用動量定理求解：（20 mv₂-mv_A=μ₁?2mgt₁ ，同樣可以求出 t₁=1s

2完全非彈性碰撞

完全非彈性碰撞是碰撞過程中動能損失最大的碰撞.在完全非彈性碰撞中，碰撞后兩物體粘在一起，以共同的速度運(yùn)動.這種碰撞在實(shí)際生活中較為常見，如兩個泥球碰撞后粘在一起.

解題策略（1）動量守恒的應(yīng)用：在完全非彈性碰撞中，雖然機(jī)械能不守恒，但動量仍然守恒.因此，應(yīng)首先運(yùn)用動量守恒定律建立方程，

（2）能量損失的計算：完全非彈性碰撞過程中會有大量的能量以熱能的形式損失.在解題時，可以通過計算碰撞前后系統(tǒng)動能的變化來求得能量損失.

例2在超市中有一種常見的可以互相嵌套的手推車.假設(shè)某次在還手推車時，在水平地面的前方距離 L₁=1m 處正靜止一輛相同的手推車，用力將要還的手推車推向前方，它會沿著直線運(yùn)動與前方的車子嵌套在一起，然后兩者一起繼續(xù)又運(yùn)動了 L₂ =1.25m 后停止.已知手推車的質(zhì)量均為 m=16kg 人推車的時間和兩車相碰的時間極短（可忽略），手推車所受阻力的大小恒為車重的 k=0，25 倍， g 取10m/s² .求：

（1）兩輛手推車從嵌套到停止所用的時間；

（2）兩輛手推車在嵌套過程中損失的機(jī)械能.

解析根據(jù)題意可知，兩車嵌套在一起運(yùn)動的情況屬于完全非彈性碰撞問題，在該過程中，系統(tǒng)會損失機(jī)械能，且主要以損失動能為主，損失的機(jī)械能多轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，且某些情況下可用摩擦力做功的形式代表.

第（1）小題，以整體為研究對象，通過常規(guī)的運(yùn)動學(xué)公式列式就可以解決；第（2）小題則需要利用動量守恒定律和能量的計算公式來求系統(tǒng)損失的機(jī)械能.

（1）以兩個小推車為整體作為研究對象，根據(jù)牛頓第二定律可得 h×2mg=2ma ，

解得 a=2.5m/s² 將整個過程逆向分析，有 解得 t=1s

（2）兩車嵌套在一起后，對整體有 0=v₂-at ，解得 v₂=2.5m/s

以手推車的初速度方向?yàn)檎较颍滞栖囋谇短走^程中，在水平方向上動量守恒，由動量守恒定律可得 mv₁=（m+m）v₂ ，解得 v₁=5m/s

兩輛手推車在嵌套過程中損失的機(jī)械能為

評析本題在完全非彈性碰撞問題中屬于較簡單的類型，解題的關(guān)鍵在于確定兩個小推車嵌套過程屬于完全非彈性碰撞，從而避免錯用機(jī)械能守恒定律.

小結(jié)不論哪種模型，首要任務(wù)是確定初、末速度，然后利用機(jī)械能的減少量（通常為動能的變化量）等于轉(zhuǎn)化成的其他形式的能來列式求解，

3結(jié)語

總之，彈性碰撞和完全非彈性碰撞是碰撞模型的兩大類，它們在解題策略上有著明顯的不同.在彈性碰撞中，應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注動量守恒和機(jī)械能守恒；而在完全非彈性碰撞中，應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注動量守恒和能量損失與能量轉(zhuǎn)化的計算.

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