一種基于核支持向量機的盲均衡算法

本文引用格式：，.一種基于核支持向量機的盲均衡算法[J].自動化與信息工程，2025，46（3）：17-22

LIU Yaning，LIJianglin.Ablind equalizationalgorithm basedon kerel support vector machine[J].Automation amp; Information Engineering，2025，46（3）：17-22.

關鍵詞：盲均衡；核支持向量機；恒模算法；小波函數；碼間干擾中圖分類號：TN911.5 文獻標志碼：A 文章編號：1674-2605（2025）03-0003-06DOI： 10.12475/aie.20250303 開放獲取

A Blind Equalization Algorithm Based on Kernel Support Vector Machine

LIU YaningLI Jianglin （CECHuada Electronic Design Co.，Ltd.， Beijing，Beijing 102209， China）

Abstract：Toaddress the inter-symbol interference （IS）caused bynon-idealchannel transmissioncharacteristics，a blind equalizationalgorithmbasedonkemelsupportvectormachines （SVM）is proposed.Thisalgorithm introduces theerorfunctionof theconstantmodulusalgorithm（CMA）intothecostfunctionoftesupportvectormachin，mitigatingthphaseoffsetissueofCMA in nonliearchannels.Byconstructing theSVMkemel function using wavelet functions，thecomputationalcomplexityof solving nonlinearproblemsisduced，furthemprovingthecomputationaleficiencyof teblindequalizationalgorithmSimulatioesults demonstrate thatcomparedtotheconstant modulusalgorithmandSVMwithSigmoidkernelfunctions，theSVMwithwaveletkeel functions exhibitsfasterconvergencespeed.Moreover，teblindequalizationalgorithmbasedonthis kemelSVMachieveshigher classification accuracy.

Keywords： blind equalization; kernel support vector machine;constant modulus algorithm; wavelet function; inter-symbol interference

0 引言

在無線通信過程中，信道時延、噪聲、多徑衰落等現象均可能導致碼間串擾或信道間干擾，影響信號恢復質量。抑制碼間串擾常用的方法是利用均衡器在接收端對信道特性進行補償，從而保證信號高質量傳輸。傳統的自適應均衡器需要在傳輸信號中插入一段已知的訓練序列，接收端通過分析訓練序列的變化來跟蹤信道狀態信息，并據此調整均衡器系數。但訓練序列無法傳輸有效信息，擠占資源，降低了帶寬利用率。而盲均衡算法無需借助訓練序列，僅利用接收信號的先驗信息即可恢復傳輸信號，既能有效抑制碼間串擾，又能提升信道利用率，在無線通信領域應用廣泛。

傳統的盲均衡算法主要包括基于Bussgang類算法，如恒模算法，其復雜度低、魯棒性好，但存在收斂速度慢及相位偏差校正困難等問題[1-2]；基于高階統計量算法，其收斂速度快，但計算量大且復雜，在工程實踐中應用較少[3]。

支持向量機（supportvectormachine，SVM）的凸二次規劃特性，較好地克服了Bussgang類盲均衡算法的局部極值問題。文獻[4]首次將SVM的迭代重加權二次規劃算法應用于通信系統，以解決盲均衡算法的局部極值問題，但由于二次規劃算法的計算復雜度較高，不適用于工程實踐。

基于SVM的盲均衡算法的基本思路是將恒模算法的誤差函數引入SVM的代價函數中，以提升算法的收斂速度，解決局部極值問題。文獻[5]提出一種基于改進SVM的恒模盲均衡算法，利用SVM初始化均衡器系數；利用恒模算法計算均衡系數，計算量較小，更適用于低速率的水聲信道。文獻[6]提出一種多輸入多輸出系統的盲源分離與均衡算法，以SVM為框架，利用信號的恒模特性改進代價函數，在線性信道下對正交幅度調制（quadrature amplitude modulationQAM）信號恢復具有較好的性能，但在處理非線性信號時性能有所下降。

此外，SVM通過核技巧可將低維空間的非線性問題轉化為高維空間的線性問題，在幾乎不增加計算量的情況下，解決了非線性信道下的均衡問題。然而，核SVM的性能受核函數的影響較大。

本文利用小波函數構造SVM的核函數，不僅提高了盲均衡算法的收斂速度，還提升了相同數據樣本的分類效果，有效增強了盲均衡算法的魯棒性。

1相關內容

1.1 系統結構

假設信源序列 ?_si 為獨立同分布的二進制序列，經過沖激響應 h_k 的信道，同時引入均值為0的加性高斯白噪聲 ，則接收機接收的信號 ?_zi 為

z_i=s_i*h_k+n_i

式中：*為卷積運算。

將 作為均衡器的輸入信號，則均衡器的輸出信號X可表示為

式中： W=（w₁，w₂，…，w_M） 為 M 階均衡器的系數。

恒模算法的代價函數為

式中： R₂=E（|s_i|⁴）∣dle/E（|s_i|²），E（|s_i|⁴） E（|S_i|⁴） E（|S_i|²） 分別為信源序列 s_i 的四階矩、二階矩。

利用梯度下降法不斷迭代，減小恒模算法的代價函數，得到代價誤差函數為

根據SVM理論，期望求得一個最優超平面y σ=σ wz+b ，使每個樣本點到該超平面的幾何間隔最大。根據結構風險最小化原則，基于SVM的盲均衡算法的代價函數表示為

式中： Cgt;0 為懲罰因子； |e_i|_ε=max{0，|e_i|-ε} ε為均衡器精度； N 為樣本總數。

然而，并非所有的樣本都是線性可分的。為此引入松弛變量 ξ_i 和 ，則SVM的代價函數可重寫為

求解SVM的代價函數最小時的 w ，即

式中： 為均衡器輸出的判決恢復信號。

公式（7）＼～（10）是一個凸二次規劃問題，因此關于 w 的解是存在的。為方便求解，將公式（7）＼～（10）轉化為拉

格朗日對偶問題，其拉格朗日函數為

式中： 為拉格朗日乘子。

對 求偏導，先最小化求解（2 ，再最大化求解 ，最后得到均衡器的系數為

通過最大化公式（13），可求得拉格朗日乘子：

式中： z_i?z_j 為均衡器輸入信號 z 的內積。

1.2 核函數

上述分析主要針對線性信道。然而，在實際通信系統中，存在著大量的非線性信道。非線性信號難以通過簡單的線性劃分來恢復。SVM的核技巧能夠解決非線性問題，且應用簡單。其利用一個核函數替代公式（13）中的內積運算 z_i?z_j ，可將原特征空間的非線性數據映射到一個高維的特征空間，從而將低維空間的非線性問題轉化為高維空間的線性問題，且算法其他部分均保持不變。

定義1設 z 為輸入空間（歐氏空間 |Rⁿ 的子集或離散集合）， H 為特征空間（希爾伯特空間），如果存在一個從 Z 到 H 的映射 ?（z）：ZH ，使得對所有z，z^′∈z ，函數 K（z，z^′） 滿足條件：

K（z，z^′）=?（z）??（z^′）

則稱 K（z，z^′） 為核函數， ?（z） 為映射函數，?（z）??（z^′） 為 ?（z） 與 ?（z^′） 的內積。

SVM中常用的核函數包括但不僅限于以下幾類：

1）高斯核函數

2）多項式核函數

K（z，z^′）=[（z?z^′）+p]^q

3）Sigmoid核函數

K（z，z^′）=tanh[k（z?z^′）+ν]

核函數的選擇會影響SVM的性能，不同的核函數意味著將數據映射到不同的向量空間。不恰當的核函數可能導致SVM陷入局部極值問題，降低分類準確度[8-11]。選擇恰當的核函數不僅有助于提升算法性能，還可能降低計算復雜度。但核函數的選擇沒有特定規律，通常需要結合具體問題進行具體分析。

2 小波核函數

2.1 小波變換

傅里葉變換在處理突變信號等非平穩問題時，無法有效反映頻率隨時間的變化。短時傅里葉變換通過加窗的方式將整個時域分割成多個等間隔的小區間，每個小區間內的信號近似平穩。但窗口寬度會影響時間分辨率，且高頻、低頻信號適合的窗口寬度不同。然而，短時傅里葉變換的窗口寬度是固定的，無法兼顧不同頻率的信號，具有一定的局限性。

不同于傅里葉變換，小波變換的基函數不是正弦波，其長度有限，能量集中于某一點附近，且積分值為0。小波基函數包含伸縮因子和平移因子2個變量。其中，伸縮因子對應于頻率，平移因子對應于時間，可以靈活縮放，實現了類似于短時傅里葉變換中改變窗口寬度的功能，有效彌補了傅里葉變換的局限性。

小波變換表達式為

式中： a 為伸縮因子； τ 為平移因子； 為母小波函數，需滿足平方可積特性，且 。

由以上分析可知，小波變換通過改變伸縮因子和平移因子，可以對信號進行多尺度分析。其既可以描述信號的整體，也可以聚焦信號的某一特定細節（某個或若干個頻率），具有較強的靈活性。

2.2基于小波函數構造SVM核函數

為了提升盲均衡算法的性能，利用小波函數的多尺度分析、多分辨率等特點，構造SVM的核函數。

核函數具有對稱性，需要滿足Mercer定理[7]。

定理1（Mercer定理）：對于平方可積空間上的任意對稱函數 K（z，z^′） 為某特征空間中的內積運算，能夠以正系數 展開為

其充分必要條件是對所有 φ（z）≠0 且 ∞ 的函數 φ（z） ，有

以墨西哥帽小波函數為例：

定理 2^[12] 假設母小波函數為 ψ（z），a 為伸縮因子，τ 為平移因子， z，a，τ∈R 。對于 z， z^′∈R^N ，滿足Mercer定理的點積形式的小波核函數為

以及滿足平移不變的小波核函數為

二者均為可被允許的SVM的核函數。

根據以上分析可知，墨西哥帽小波函數的核函數為

采用墨西哥帽小波函數作為核函數[13]，替代公式（13）中的內積運算（zi·zj），構造基于墨西哥帽小波函數的核SVM，相當于求解以下問題：

最終求得均衡器的輸出為

3 仿真測試

本文利用MATLAB對基于核SVM的盲均衡算法進行仿真測試。仿真測試環境：Intel（R）Core（TM）i5-10210U 1.60GHz ，Windows11 64bit，MATLABR2019a 。

以正交相移鍵控（quadrature phase shift keying，QPSK）信號為例，添加信噪比為10dB的高斯白噪聲，在非線性信道下進行仿真測試，信道沖激響應為[-0.1089+j0.1465-0.0223+j0.2897-0.0152-j0.4778]。

3.1核函數對SVM收斂速度的影響

核函數影響SVM性能的一種直觀表現為算法的收斂速度。本文以均方誤差（mean square error，MSE）作為評估指標，對比采用Sigmoid函數和墨西哥帽小波函數作為核函數的2種核SVM的算法收斂速度。

MSE的計算公式為

式中： y_n 為接收端解調比特， s_n 為發送端原始比特。

采用Sigmoid函數和墨西哥帽小波函數作為核函數的2種核SVM的MSE收斂曲線如圖1所示。

由圖1可知：采用墨西哥帽小波函數作為核函數的核SVM的MSE曲線下降速度更快，在迭代約25次時已基本收斂，后續曲線也較平穩；而采用Sigmoid函數作為核函數的核SVM在迭代約40次時才收斂，且在50～55次迭代區間出現了輕微抖動，表明采用墨西哥帽小波函數作為核函數的核SVM收斂速度更快，性能更穩定。

3.2算法分類性能比較

星座圖是一種能夠直觀表現信號間關系的分析工具。當星座圖中的點越向中心點聚合，且離散點數量越少時，說明分類效果越好。本文分別通過恒模算法、采用Sigmoid函數作為核函數的核SVM盲均衡算法、采用墨西哥帽小波函數作為核函數的核SVM盲均衡算法對同一組數據樣本進行仿真，所得結果的星座圖分別如圖2～4所示。

對比圖2～4可以看出：圖2的星座圖相位分布較清晰，但存在明顯的相位偏移，這是由于恒模算法的誤差函數僅與接收信號的幅值相關，難以恢復由非線性信道引發的相位偏移；圖3的星座圖聚類邊緣清晰，相位偏移得到校正，僅存在少量的離散點；圖4的星座圖聚類在預期位置，不僅較好地糾正了相位偏移，而且離散點數量明顯減少，表明采用墨西哥帽小波函數作為核函數的核SVM盲均衡算法，比恒模算法、采用Sigmoid函數作為核函數的核SVM盲均衡算法的分類準確度更好。

4結論

本文提出一種基于核SVM的盲均衡算法，將恒模算法的誤差函數引入SVM的代價函數中，并利用小波函數構造核函數。通過對非線性信道下的QPSK信號的仿真測試結果表明，采用小波函數作為核函數的核SVM盲均衡算法收斂速度更快，分類準確度更高。然而，本文在仿真階段采用人工方式篩選核函數參數，耗時較長，后續研究擬引入自適應參數優化等方法，降低參數選擇的工作量，進一步提升算法效率。? Theauthor（s） 2024.This is an open access article under the CCBY-NC-ND 4.0 License （https：//creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）

參考文獻

[1] GODARD D. Self-recovering equalization and carrier tracking in two-dimensional data communication systems[J]. IEEE Transactions on Communications， 1980，28（11）：1867-1875.

[2]SUNJ，LI X，CHENK，et al.A novel cma+ dd_lms blind equalization algorithm for underwater acoustic communication [J].The Computer Journal，2020，63（6）：974-981.

[3] WANG G，KAPILANB，RAZUL SG， et al. Blind equalization in the presence of co-channel interference based on higher-order statistics[J]. Circuits， Systems， and Signal Processing， 2018， 38（9）：4150-4161.

[4] SANTAMARIA I， PANTALEON C， VIELVA L， et al. Blind equalization of constant modulus signals using support vector machines[J]. IEEE Transactions on Signal Processing， 2004， 52（6）：1773-1782.

[5] 童峰，許肖梅，方世良，等.改進支持向量機和常數模算法水聲 信道盲均衡[J].聲學學報，2012，37（2）：143-150.

[6] SUN C， Yang L， Du J， et al. Blind source separation and equalization based on support vector regression for MIMO systems[J]. IEICE Transactions on Communications， 2018， 101（B）：698-708.

[7] CORTES C， VAPNIK V. Support-vector networks[J]. Machine Learning，1995，20（3）：273-297.

[8] 梁禮明，鐘震，陳召陽.支持向量機核函數選擇研究與仿真[J]. 計算機工程與科學，2015，37（6）：1135-1141.

[9] SLOAN I H， WOZNIAKOWSKI H. Multivariate approximation for analytic functions with Gaussian kernels[J]. Joumal of Complexity，2018，45：1-21.

[10] PANDE C B， KUSHWAHA N L， ORIMOLOYE I R， et al. Comparative assessment of improved SVM method under different kemel functions for predicting multi-scale drought index[J].Water Resources Management，2023，37（3）：1367- 1399.

[11]鄭強.基于K均值聚類和支持向量機的電梯層門腐蝕等級 評估[J].機電工程技術，2025，54（8）：178-181;185.

[12] ZHANG Q， ZHOU W， JIAO L. Wavelet support vector machine[J]. IEEE Transactions on Systems，Man， and Cybernetics，PartB：Cybermetics，2004，34（1）：34-39.

[13] DONG L， LIAO J. Wavelet kemel function based multiscale LSSVM for eliptic boundary value problems[J]. Neurocomputing，2019，356：40-51.

作者簡介：

劉雅寧，女，1989 年生，碩士研究生，工程師，主要研究方向：通信算法及信號處理。E-mail：liuxiaoduoduoduo@qq.com李江林，男，1984年生，碩士研究生，主要研究方向：通信算法及信號處理。