G-α-E. -半預不變凸規劃的Wolfe型對偶

中圖分類號：0221.6 文獻標志碼：A

凸性和廣義凸性在數理經濟學、金融學、工程、機器學習、最優化理論等許多領域有著十分重要的應用。有關對偶模型的建立以及廣義凸性的研究是凸規劃最重要的方向之一。一些學者致力于推廣這方面的研究并得到了重要的研究成果。

1981年，HANSON[1]提出一類廣義凸函數一—不變凸函數，它是凸函數的真推廣。隨后，許多文獻利用這類函數探討了優化問題的最優解和對偶性。WEIR等23在研究中對不變凸函數進行了真推廣，得到另外一類廣義不變凸一—預不變凸函數，并提出了非線性規劃的最優性條件和對偶理論，為傳統凸函數研究帶來了重要的進展。YANG等[4]拓展了預不變凸函數的范疇，引人了半預不變凸函數的概念，并拓展了此類函數在優化問題的有關應用，得到了相應的數學規劃問題Fritz-John條件。陳秀宏[5-6]先后研究了半預不變凸函數的一些性質，給出了相應不可微最優問題的最優性條件以及多目標規劃（multi-objectivepro-gramming，MP）真有效解必要條件的2個定理，對MP進行了對偶性的討論。江維瓊探討了半預不變凸多目標規劃問題有效解的充要條件，基于Wolfe型對偶模型得出了弱對偶和強對偶定理。文獻[8-9]系統探討了 E- 凸集、 E- 凸函數、 E? 凸規劃以及半預 E? 凸函數的相關研究。陳雪靜等[10]提出了一類新的廣義凸函數，即 α-E- 半預不變凸函數，并研究了 α -E-半預不變凸函數的一些性質以及它在多目標規劃中的應用。作為對 G- 凸函數的一種推廣，2007年， G- 不變凸首次被ANTCZAK[\"提出。對于非可微情形，ANTC-ZAK^[12] 定義了 G- 預不變凸函數的概念。在此基礎上，文獻[13-14]把 G- 不變凸函數推廣到非可微的情況下，進而研究了其對應的多目標規劃問題，得出了相應的最優性條件和對偶性條件。2013—2017年，彭再云等[15-18]定義了幾類廣義不變凸函數，即 G_- 半預不變凸函數、-G-E-半預不變凸函數和半嚴格-G-E-半預不變凸函數，并證明了這幾類函數的存在性;隨后，探討了其在多目標規劃問題中的應用，得到一系列最優性條件；此外，還建立了與之相對應的Wolfe型對偶模型，并得出了弱對偶、強對偶和逆對偶定理。近年來，這一領域的研究取得了一些新的進展和成果[19-22]。陳玉等[23]研究了 G-α- 預不變凸函數與非光滑向量優化問題。祁鈺等[24]運用Clark廣義梯度，給出了一類新的廣義凸函數一半預不變凸函數，并得到了其可行解是弱有效解的若干最優性條件。

在文獻[7，10，16]的基礎上，本研提出了一類新型的廣義凸函數—G-α-E-半預不變凸函數。首先，通過具體示例證明了 G-α-E- 半預不變凸函數的存在性，并探討了它與其他相關廣義凸函數之間的聯系；其次，引入了與 G-α-E- 半預不變凸函數有關的多目標規劃問題，給出這類問題的最優性充分條件；再次，建立相對應的Wolfe型對偶模型，探討了該模型與原問題之間的可行解和有效解之間的關系，獲得了弱對偶、強對偶、逆對偶定理，并進行了證明以驗證這些定理。

1 預備知識

定義 1^[4] （2號 設集合 X?Rⁿ ，若存在一個非零向量值映射 η：X×X×[0，1]?Rⁿ ，使得對任意 x，y∈ ，滿足

y+λη（x，y，λ）∈X

則稱 X 是關于 η 的半連通集。

定義 2^[21] 設 K?Rⁿ 是非空子集，若存在向量值映射 ， ，使得對任意 x，y∈K，λ∈[0，1] ，滿足

則稱 K 是關于 η 和 α 的 α- 半不變凸集。

定義 3^[10] 設 K?Rⁿ 是非空子集，若存在向量值映射 ， ，以及 E（?） ，使得對任意 x，y∈K ，λ∈[0，1] ，滿足

E（y）+λα（E（x），E（y））η（E（x），E（y），λ）∈K 則稱 K 是關于 η 和 α 的 α-E. 半不變凸集。

定義 4^[20] 設集合 X?Rⁿ 是關于 η：X×X×[0 的半連通集，則 是 X 上關于 η 的（嚴格） G- 半預不變凸函數，當且僅當存在連續的實值遞增函數 ，使得對任意 x，y∈ （ x≠y，λ∈（0，1）. ，滿足

lim_λ0λη（x，y，λ）=0

且

定義5設集合 X?Rⁿ 是關于 η：X×X×[0，1] ， 的 α-E- 半不變凸集， ，則 是 X 上關于 η 和 α 的（嚴格） G-α-E- 半預不變凸函數，當且僅當存在連續的實值遞增函數 ，使得對任意 x，y∈ （ x≠y，λ∈（0，1） ），滿足

且

注1若 G（t）=t ，則 G-α-E- 半預不變凸函數為 半預不變凸函數。

注2若 α（x，y）=1 ，則 G-α-E- 半預不變凸函數為 G-E- 半預不變凸函數。

定義6設集合 X?Rⁿ 是關于 η：X×X×[0，1]? ， 的 α-E- 半不變凸集，E（?） XX ，則 是 X 上關于 η 和 α 的半嚴格 G-α-E- 半預不變凸函數，當且僅當存在連續的實值遞增函數 ，使得對任意 x，y∈ 和 ，滿足

lim_λ0⁺λη（E（τ），E（τ），λ）= 0

且

首先，通過例1來說明 G-α-E- 半預不變凸函數是大量存在的。

例1設

按照定義5進行驗證，可以很容易證明函數 f 是 X 上關于 η 和 α 的 G-α-E- 半預不變凸函數。

注3 α-E- 半預不變凸函數是（關于同一 η 和 α 的） G-α-E- 半預不變凸函數（可取 G（t）=t ）的一個特例，但反之可能不成立。

下面，通過例2來說明 G-α-E- 半預不變凸函數有可能不是（關于同一 η 和 α 的） α-E- 半預不變凸函數。

例2設

X=（0，+∞） 是關于 η 和 α 的 α-E. 半預不變凸集，函數 f 是（關于 η 和 α 的） G-α-E- 半預不變凸函數。但取 時，有

f（E（y）+λα（E（x），E（y））η（E（x），E（y），λ））

顯然，函數 f 不是（關于 η 和 α 的） G-α-E- 半預不變凸函數。

緊接著，通過例3來說明 G-α-E- 半預不變凸函數可能不是（關于同一 η 和 α 的）嚴格 G-α-E- 半預不變凸函數。

例3設

G（t）=e^t，t∈[0，+∞），E（x）=x²，α（x，y）=xy

由定義5可得，函數 f 是關于 η 和 α 的 G-α-E. 半預不變凸函數。

然而，令 ，可得

f（E（y）+λα（E（x），E（y））η（E（x），E（y），λ）） =f（2.5） =G^-1（λG（f（E（x）））+（1-λ）G（f（E（y）））） 顯然，函數 f 不是（關于同一 η 和 α 的）嚴格 G_-α-E 半預不變凸函數。

2 最優性條件

引理1[12] 設 G：RR 是一個實值連續，則 G^-1 是遞增函數，當且僅當 G 也是遞增函數。引理 2^[12] 設 G：RR 是一個實值連續，如果 G 遞增且是凹的，則 G^-1 是凸的；如果 G 遞增且是凸的，則 G^-1 是凹的。

由參考文獻[4]和參考文獻［7]的引理1，類似可得引理3。

引理3若 {φ_i}，i∈I={1，2，…，m} 為 α-E- 半不變凸集 X 上關于同一 η 和 α 的 G-α-E- 半預不變凸函數簇，則下面兩系統中有且僅有一個有解：

（1）存在 ， （2）存在 ，使得

引理4設 X 是關于 η 和 α 的 α-E- 半不變凸集，如果 在 X 上具有一階連續偏導數， G 遞增且凹，則 是 X 上關于 η 和 α 的 G-α-E- 半預不變凸函數的必要條件是對于任意 ，E（x）≠E（y） ，有

其中 0證明因為 是 X 上關于 η 和 α 的 G-α-E- 半預不變凸函數，由 G-α-E- 半預不變凸函數的定義可得，對于任意 有

由于 G 遞增且凹，由引理2知 G^-1 遞增且凸，從而對任意 ， E（x）≠E（y） ，

即

（204號去括號移項可得

不等式兩邊同時除以 λ（λ≠0） ），則

x，y∈X，?λ∈（0，1]，E（x）≠E（y）

有

又因為 λ 是任意性，當 時，有

從而

也即

說明若實值函數 G 滿足 G（x+y）=G（x）+ G（y） ， x，y 在該函數的定義域中，則稱 G 滿足可加性；若實值函數 G 滿足 G（kx）=kG（x），kgt;0 ， x 在該定義域中，則稱 G 滿足正齊次性。

定理1設 X?Rⁿ 是關于 η 和 α 的 α?E? 半不變凸集，實值函數 和 G^-1 具備可加性和正齊次性條件，若函數 f_i，g_j，h_k：X?R（i=1，2，…， p;j=1，2，…，m;k= 1，2，…，s） 均為 X 上關于同-η 和 α 的 G-α-E- 半預不變凸函數，同時有常數 h_kgt;0（k=1，2，…，s） ，那么函數 ， （204j=1，2，…，m;k=1，2，…，s） 也是 X 上關于同一 η 和 α 的 G-α-E- 半預不變凸函數。

證明因為函數 f_i：X?R（iω_i=1，2，…，p） 為 X 上關于同一 η 和 α 的 G-α-E- 半預不變凸函數，即

f_i（E（y）+λα（E（x），E（y））η（E（x），E（y），λ）） ）常數 t_igt;0（i=1，2，…，p） ，實值函數 和 G^-1 具備可加性和正齊次性條件，所以

（204號 是 G-α-E- 半雞是倒

ujgi，∑Uhk也是 G-α-E- 半預不變凸函數，即 以上兩式相加可得

（204號

（204號所以 是 G-α-E- 半預不變凸函數， s ）也是 G-α-E- 半預不變凸函數。

設 ，x=y 表示 x_i=y_i（i=1，2，…，n） ; xilt; y_i（i=1，2，…，n） ： x≦y 表示 x_i?y_i（i=1，2，… n ）； x?y 表示 x_i?y_i（i=1，2，…，n） ，而 x≠y 5 表示存在 x_igt;y_i（i=1，2，…，n） 。

本節在 G-α-E- 半預不變凸條件下考慮如下多

目標規劃問題：

（MP）

s. t.

其中， X?Rⁿ 是關于 η 和 α 的 α-E- 半不變凸集， 1，2，…，m;k=1，2，…，s） 均為 X 上的 G-α-E- 半預不變凸函數。

同時，記（MP）的可行域為 D ，即

D={x∈X|g_j（E（x））?0，h_k（E（x））=0， j=1，2，…，m，k=1，2，…，s} 定義 7^[25] 設 ，如果不存在 x∈D 使得 成立，則稱 為（MP）的有效解（弱有效解）。（若 min 改成 max ）應改成 。

由參考文獻[6]，可類似得到如下定義：

定義8稱 為多目標規劃問題（MP）的真有效解，如果 為（MP）的有效解且存在 Mgt;0 使得對于滿足 的每一個 i∈{1，2，… 和 x∈X ，都至少存在一個滿足 f_j（E（x））gt; 的下標 j ，使得 。定理2設 D，X?Rⁿ 是關于 η 和 α 的 α-E. 半不變凸集， x^*∈D 為（MP）的真有效解，若 f_i（i=1，2 ，…_δδδ? 為 X 上關于 η 和 α 的 G-α-E- 半預不變凸函數，且 G 和 G^-1 滿足可加性和正齊次性，那么存在（204號 使得 x^* 為如下問題的最優解：

（P_t）min_x∈Dt^Tf（E（x））

證明如果 x^* 為（MP）的真有效解，則存在 Mgt;0 使得當 i=1，2，…，p 取定時，對每個 j=1，2，…，p 如下系統在 D 中無解：

f_i（E（x^*））gt;f_i（E（x））j=i

f_i（E（x^*））-f_i（E（x））gt;M（f_j（E（x））-

f_j（E（x^*）））j≠i

定義

其中

Fⁱ（E（x））lt;0，x∈D

由以上定理條件可知， ?x，y∈X 及 ，

E（y）+α（E（x），E（y））η（E（x），E（y），λ）∈X 且當 j=i 時，有

（1-λ）G（f_i（E（y））））-f_i（E（x^*））

?G^-1（λG（M（f_j（E（x）））-f_j（E（x^*）））+f_i（E（x））-

f_i（E（x^*）））+（1-λ）G（M（f_j（E（y））-f_j（E（x^*）））+

f_i（E（y））-f_i（E（x^*））））

=G^-1（λGF_jⁱ（E（x））+（1-λ）GF_jⁱ（E（y）））

所以 F_jⁱ（x）（j=1，2，…，p） 為 X 上關于 η 和 α 的 G-α-E- 半預不變凸函數，由擇一定理（引理3）知，存在 ，使得

即

令

則 t_i^j∈Λ⁺⁺ ，且有

所以 x^* 為（ （P_t） 的最優解。

定理3設 D，X∈Rⁿ 是關于 η 和 α 的 α-E- 半不變凸集， x^*∈D，f_i，g_j，h_k（i=1，2，…，p;j=1，2，…， m;k=1，2，…，s） 均為 X 上關于同一 η 和 α 的G-α-E- 半預不變凸函數，并且 g_j，h_k（j=1，2，… m;k=1，2，…，s） 在 X 上具有一階連續偏導數（引理4成立， G 遞增且凹，若（MP）為強相容的，即存在 使得 g（E（Δ?））lt;0，h（E（Δ?））=0 ，又對（MP）的有效解 x^* ，函數族 {[?h_k（E（x^*））} ， 在 D 上線性無關，則存在

使得

證明由定理2知，存在 x^* ，使得 x^* 為 （P_t） 的最優解，從而由文獻[16]（定理3.5）可知存在不全為0的 ，使得

由 g_j，h_k（j=1，2，…，m;k=1，2，…，s） 是 G-α-E. 半預不變凸函數，所以有

從而有

若 τ≠0 ，則式（3）可以變形為

，則有 t∈Λ⁺⁺，u∈R₊^m，v∈ R₊^s ，所以式（1）（2）成立。

設 τ=0，u≠0 ，有矛盾不等式

現設 τ=0，u=0，v≠0 ，由于

E（x^?））??_k=1^s

在 D 上線性無關，所以

另一方面，由 h_k 的半預不變凸性，有

矛盾，證畢。

于是 τgt;0 ，式（1）（2）成立。

3 Wolfe型對偶

問題（MP）的wolfe型對偶問題（WD）的形式如下：

L（E（y），u，v）

s.t.

其中：

可行域：

{Γ（t，u，v，y）∈ΓR₊^p×R₊^m×ΓR₊^s×XΓ}

v_τ=（v₁，v₂，…，v_s）^?∈R₊^s} 定理4（弱對偶）設 X 是關于 α 與 η 的 α-E- 半不變凸集，連續實值函數 遞增且凹，x∈D，（t，u，v，y）∈W 且 f_i（i=1，2，…，p） ， ^{1，2，…，m）} . h_k（k=1，2，…，s） 是關于同一 η 和 α 的 G-α-E- 半預不變凸函數且具有一階連續偏導數，則

證明 使用反證法。不妨設

f（E（x））?L（E（y），u，v）

由于 tgt;0，t^Te=1 ，不等式兩邊同時左乘 t^T ，有

又因為 x∈D，u?0，v?0 ，所以 又因為 f_i，g_j，h_k 均是 X 上關于 η 和 α 的 G-α-E- 半預不變凸函數，由定理1知 （201 也是關于同一 η 瑪和雲 α 的 G-α-E- 半預不變凸函數且具有一階連續偏導數，由引理4得

不等式兩邊分別乘 t_i，u_j，v_k ，使三式相加

定理5（強對偶）設 _D，X 是關于 η 和 α 的 α-E- 半不變凸集，且連續實值函數 G：I_f（x）R 遞增且凹的， x^*∈D 為（MP）的有效解， 為（WD）的可行解，如果 f_i（i=1，2，…，p），g_j（j=1，2 …，m） h_k（kΘ₌1，2，…，s） 是關于同一 η 和 α 的G-α-E- 半預不變凸函數且具有一階連續偏導數，且（MP）為強相容的，即存在 x^*∈D 使得 g（E（x^*））lt;0 h（E（x^*））=0 ，則存在 t=（t₁，t₂，…，t_p）^Tgt;0 ，u_θ=（u₁，u₂，…，u_m）^T?0，v_θ=（v₁，v₁，…，v_s）^T?0 （20使得 （t，u，v，x^?） 為（WD）的有效解。

證明因為 x^*∈D 為（MP）的有效解，由定理3知，存在 t∈Λ⁺⁺，u∈R₊^m，v∈R₊^s 使得 （t，u，v，x^*） 為（WD）的可行解，且滿足

顯然兩目標函數值在 x^* 點和 （t，u，v，x^*） 點的函數值均為 f（E（x^*） ），又對于（WD）的任意形如（t，u，v，y） 的可行解，由定理4知

L（E（x^*），u，v）

由定義7知 （t，u，v，x^*） 為（WD）的有效解。

定理6（逆對偶）設 _D，X 是關于 η 和 α 的 α-E- 半不變凸集，且連續實值函數 G：I_f（x）R 遞增且凹的， x∈D 為（MP）的可行解， （t，u，v，y）∈W 為（WD）的可行解，其中 t∈Λ⁺⁺，u∈R₊^m，v∈R₊^s ，f_i（i=1，2，…，p） g_j（j=1，2，…，m） h_k（k=1，2 ，…，s） 是關于同一 η 和 α 的 G-α-E- 半預不變凸函數且具有一階連續偏導數，滿足 f（E（x））?L（u Φ_v，y） ，則 ，且 x 是（MP）的有效解。

證明（1）首先證 。如若不然，不妨假設x≠y 。

由定理4的推導過程，可得

在該題設條件

不等式兩邊同時左乘 t^T ，可得

顯然上述兩式矛盾，所以 x=y 。

（2）第二步證 y 是（MP）的有效解。假設 y 只是問題（MP）的某個可行解而非有效解，由定義6知，存在（MP）的另一個可行解 ，使得

由 t∈Λ⁺⁺ ，可知 t^Te=1 ，所以

又 ，和題設條件

可得

又因為 也是關于同一 η 和α 的 G-α-E- 半預不變凸函數且具有一階連續偏導數。

所以由定理5的推導過程，可得

其與

相矛盾。

所以 x （即 y ）是（MP）的有效解。

4結語

本文引人一類新型的廣義凸函數—G-α-E-半預不變凸函數，通過舉例說明這類廣義不變凸函數是大量存在的；在新的廣義凸性假設下建立了多目標規劃問題，給出了這類問題的最優性充分條件；建立與多目標規劃問題對應的Wolfe型對偶模型，通過探討該模型與原問題之間可行解和有效解的關系，獲得了弱對偶、強對偶和逆對偶定理，并對其結果加以證明。研究結果拓展了已有文獻中與凸規劃相關的結論，通過進一步研究 G-α-E- 半預不變凸函數，有助于我們更深入地理解這一概念，并且可以將其廣泛應用于解決實際問題。

在后續研究中，將進一步探索鞍點定理和相關算法的應用，以更深人地理解多目標規劃問題的復雜性。此外，將探討如何將這些理論和方法應用于多目標分式規劃等實際應用場景中，為解決現實世界中的復雜優化問題提供有效的解決方案。這一研究領域的不斷發展將為優化理論和實踐帶來新的啟示，并推動相關領域的進步和發展。

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（責任編輯：周曉南）

Wolfe-type Duals for G -α- E -Semi-Preinvex Programming

LI Yu*，WEI jia（College of Mathematicsand Computer Science，Yan’anUniversity，Yan’an716Ooo，China）

Abstract： The article introduces a new class of generalized convex functions called G α E - semi-preinvex functions；Subsequently，itdiscussesmulti-objectiveoptimizationproblemsassociated withthis classoffunctions and provides suficient conditions for optimality；Finally，it establishes the corresponding Wolfe-type dual model and examines therelationship between feasible and optimal solutions of this model and the original problem， obtaining the weak duality，strong duality，and inverse duality theorems.Its study enriches the existing literature on Wolfe-type dyadic theories related to generalised convex programming.

Keywords ： G α E - semi-preinvex functions；multi-objective programming；optimality conditions；Wolfe-type duals