數(shù)學(xué)游戲：培養(yǎng)初中生問(wèn)題發(fā)現(xiàn)能力的有效載體

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號(hào)】1005-6009（2025）23-0054-05

【作者簡(jiǎn)介】1.，江蘇省泰州醫(yī)藥高新區(qū)（高港區(qū)）教育局（，225300）教師發(fā)展中心數(shù)學(xué)教研員，正高級(jí)教師，江蘇省數(shù)學(xué)特級(jí)教師;2.，江蘇第二師范學(xué)院（，）博士生，正高級(jí)教師，江蘇省教學(xué)名師。

一、數(shù)學(xué)游戲?yàn)榕囵B(yǎng)初中生問(wèn)題發(fā)現(xiàn)能力提供可能

培養(yǎng)學(xué)生從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力，是中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的一貫要求?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》均明確要求發(fā)展學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》則在“確立核心素養(yǎng)導(dǎo)向的課程目標(biāo)”中明確為“發(fā)展運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)方法發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問(wèn)題的能力（簡(jiǎn)稱‘四能'）”]。可見(jiàn)，對(duì)于初中數(shù)學(xué)教師而言，培養(yǎng)初中生問(wèn)題發(fā)現(xiàn)能力是重要的教學(xué)目標(biāo)。但是，對(duì)于如何培養(yǎng)初中生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力，一線教師往往缺乏有效策略。

中需要運(yùn)用到數(shù)學(xué)知識(shí)或者數(shù)學(xué)方法的智力游戲。它寓數(shù)學(xué)問(wèn)題于游戲之中，能夠讓人們?cè)谧鲇螒虻倪^(guò)程中學(xué)到數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想等。[2]

在游戲中，游戲者主要關(guān)注情感體驗(yàn)。如果能夠獲得輕松、愉悅或者成功等積極情感體驗(yàn)，他們往往樂(lè)于參與游戲，反之則較少參與。數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。用數(shù)學(xué)的眼光來(lái)看待指的就是只關(guān)注其中的數(shù)量關(guān)系與空間形式，忽略其他方面的特征、特性。由于數(shù)學(xué)游戲與數(shù)學(xué)眼光的重點(diǎn)不一樣，當(dāng)學(xué)生試圖從看似與數(shù)學(xué)無(wú)關(guān)的游戲中尋找其在數(shù)量關(guān)系或者空間形式方面的某些聯(lián)系時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生問(wèn)題發(fā)現(xiàn)能力便成為可能。[3]

數(shù)學(xué)游戲指蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)原理，在游戲過(guò)程此外，數(shù)學(xué)游戲符合初中階段學(xué)生的智力與能力發(fā)展特征。根據(jù)心理學(xué)的研究，初中階段主要是以經(jīng)驗(yàn)型為主的抽象邏輯思維，其中初中二年級(jí)是從經(jīng)驗(yàn)型向理論型發(fā)展的開(kāi)始。4]數(shù)學(xué)游戲能夠提供與強(qiáng)化學(xué)生在活動(dòng)中獲得的積極情感體驗(yàn)，因此當(dāng)數(shù)學(xué)游戲能夠用于發(fā)展初中生問(wèn)題發(fā)現(xiàn)能力時(shí)，它具有其他載體不可替代的作用。

二、在數(shù)學(xué)游戲中培養(yǎng)初中生問(wèn)題發(fā)現(xiàn)能力的有效路徑

有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)能將學(xué)生思維不斷引向深處。下面，筆者根據(jù)初中生問(wèn)題發(fā)現(xiàn)能力培養(yǎng)的需要，依據(jù)思維不斷向縱深展開(kāi)的四個(gè)階段（思維準(zhǔn)備、思維啟動(dòng)、思維深化以及思維遷移），以“搶30”游戲?yàn)槔骄咳绾瓮ㄟ^(guò)數(shù)學(xué)游戲培養(yǎng)初中生的問(wèn)題發(fā)現(xiàn)能力。

“搶30”游戲?yàn)榻?jīng)典數(shù)學(xué)游戲巴協(xié)問(wèn)題的特例，較早見(jiàn)于華師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教材。游戲規(guī)則為：兩個(gè)人進(jìn)行游戲，每次每人說(shuō)的數(shù)可以是一個(gè)，也可以是兩個(gè)，但不得超過(guò)兩個(gè)，所說(shuō)的數(shù)必須是正整數(shù)，而且每個(gè)數(shù)只能說(shuō)一次。第一個(gè)人先說(shuō)數(shù)字1或者數(shù)字1，2，第二個(gè)人接著往下說(shuō)，然后輪到第一個(gè)人再接著往下說(shuō)。以此類推，兩個(gè)人反復(fù)輪流，并且在說(shuō)的過(guò)程中速度要快，不得進(jìn)行長(zhǎng)時(shí)間思考。誰(shuí)先搶到30誰(shuí)就得勝。

（一）思維準(zhǔn)備階段：面對(duì)不完備的游戲規(guī)則從而發(fā)現(xiàn)問(wèn)題

游戲規(guī)則指在帶有競(jìng)爭(zhēng)性的活動(dòng)中普遍遵守的準(zhǔn)則。游戲時(shí)，教師可以先隱藏部分規(guī)則要求。面對(duì)不完備的規(guī)則，學(xué)生會(huì)無(wú)所適從。

【片段1】將“搶30\"游戲中“誰(shuí)先搶到30誰(shuí)就得勝\"的規(guī)則去掉，其他不變。

（1）學(xué)生試玩游戲后談自己的看法。

（2）補(bǔ)充規(guī)則“誰(shuí)先搶到數(shù)字30誰(shuí)就得勝”后再玩游戲。

【設(shè)計(jì)意圖】將原游戲規(guī)則中“誰(shuí)先搶到30誰(shuí)就得勝”的要求去掉，此時(shí)學(xué)生面對(duì)的是結(jié)構(gòu)不良的任務(wù)，與通常所見(jiàn)結(jié)構(gòu)良好的任務(wù)不同，他們將會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題。讓學(xué)生先試玩后談感受，再補(bǔ)充規(guī)則，然后再玩，這樣的設(shè)計(jì)具有“一石數(shù)鳥(niǎo)”的作用。除了此處能培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題能力之外，在后續(xù)發(fā)現(xiàn)“搶30\"游戲偏向第二個(gè)人并有必勝策略之后，還有助于啟迪學(xué)生發(fā)現(xiàn)進(jìn)而自行提出一系列問(wèn)題：將要搶的數(shù)字30換成其他數(shù)字，此時(shí)還是偏向第二個(gè)人嗎？有沒(méi)有必勝策略？情形能夠進(jìn)行推廣嗎？……

（二）思維啟動(dòng)階段

1.因?qū)崿F(xiàn)目標(biāo)的條件不具備（或不夠優(yōu)化）而發(fā)現(xiàn)問(wèn)題

在開(kāi)始啟動(dòng)思維時(shí)，學(xué)生會(huì)直觀感覺(jué)采用某種方法可能會(huì)完成任務(wù)，不過(guò)由于尚未進(jìn)行深人思考與分析，該方法實(shí)現(xiàn)的技術(shù)性條件實(shí)際并不具備或者方法不夠優(yōu)化，學(xué)生會(huì)在運(yùn)用中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題。

【片段2】“報(bào)法種數(shù)探索”設(shè)計(jì)

如果不關(guān)注結(jié)果，只關(guān)注報(bào)法的不同，那么“搶30”有多少種不同報(bào)法？試一試，談?wù)勛约旱目捶ɑ蛘哂龅降睦щy。

【設(shè)計(jì)意圖】要確定“‘搶30'有多少種不同報(bào)法”，學(xué)生容易想到通過(guò)列舉的方法來(lái)找出符合要求的報(bào)法，但進(jìn)行試驗(yàn)后便會(huì)發(fā)現(xiàn)該想法存在問(wèn)題：一一列舉，報(bào)法有很多，雖然無(wú)法確定具體數(shù)值是多少，但根據(jù)直覺(jué)會(huì)意識(shí)到將是一個(gè)相當(dāng)大的數(shù)字，所花費(fèi)的時(shí)間也會(huì)很多。學(xué)生還發(fā)現(xiàn)隨著列舉情形的增多，有可能有重復(fù)也可能有遺漏，從而提出如何避免重復(fù)與遺漏、能否有不重不漏而又比較簡(jiǎn)便的確定方法等問(wèn)題。

2.在思維分叉處遇到被有意設(shè)置的陷阱而發(fā)現(xiàn)問(wèn)題

學(xué)生在活動(dòng)中獲得部分?jǐn)?shù)據(jù)或者感知部分?jǐn)?shù)量關(guān)系后，通常會(huì)猜測(cè)是否存在一般性的結(jié)論或者猜測(cè)其中可能蘊(yùn)含的規(guī)律。教師根據(jù)學(xué)生容易認(rèn)為的但實(shí)際上并不符合該情境的猜想來(lái)設(shè)計(jì)任務(wù)，可以達(dá)到“一箭雙雕”的效果：在試驗(yàn)中學(xué)生遇到陷阱從而發(fā)展問(wèn)題發(fā)現(xiàn)能力，而后續(xù)分析與解決問(wèn)題的過(guò)程中又會(huì)逐步積累猜想的經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)其思維的深刻性，發(fā)展理性精神。

【片段3】（接片段2）

（1）依次考慮數(shù)字較小時(shí)的情況：搶數(shù)字1，有 種方法，為 ；搶數(shù)字2，有 種方法，為 ；搶數(shù)字3，有 種方法，為 ;此時(shí)我的猜測(cè)為： 。（2）先試驗(yàn)再完成：搶數(shù)字4，有 種方法，為 。（3）搶數(shù)字5，有 種方法，為 。我發(fā)現(xiàn)：搶數(shù)字方法的種數(shù)規(guī)律為 。（4）搶數(shù)字6，有 種方法，為 。（5）搶數(shù)字30，有 種方法。

【設(shè)計(jì)意圖】最初設(shè)計(jì)時(shí)筆者感覺(jué)搶數(shù)字1與搶數(shù)字2過(guò)于簡(jiǎn)單便予以略過(guò)，直接從搶數(shù)字3開(kāi)始探索。此處加以改進(jìn)，除了更符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，更重要的是藏有“陷阱”：搶數(shù)字1，2，3時(shí)相應(yīng)報(bào)法分別為1，2，3種，此時(shí)教師要求猜測(cè)規(guī)律，學(xué)生容易想當(dāng)然地認(rèn)為“規(guī)律為報(bào)法種數(shù)等于要搶數(shù)字\"（其實(shí)為“從第3個(gè)數(shù)起，后面的數(shù)等于前面相鄰兩數(shù)之和），增加了培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題能力的機(jī)會(huì)。

（三）思維深化階段

1.在應(yīng)用似是而非的結(jié)論完成針對(duì)性任務(wù)時(shí)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題

結(jié)論只有在一定條件下才成立，如果不指出成立條件，結(jié)論便是似是而非的。教師針對(duì)似是而非的看法可以有意提供相應(yīng)任務(wù)讓學(xué)生嘗試完成，在出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)學(xué)生自然能夠發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，進(jìn)而在更高程度上進(jìn)行抽象與概括，在思維深化中發(fā)展核心素養(yǎng)。

【片段4】分析報(bào)數(shù)情況

觀察、分析報(bào)數(shù)情況，發(fā)現(xiàn)要搶到30，必須依次搶到3，6，9，12，15等數(shù)字，它們都能被數(shù)字3整除。

（1）數(shù)字3跟能夠搶的數(shù)字個(gè)數(shù)之間是否有關(guān)系？如有，可能是何關(guān)系？說(shuō)說(shuō)你的想法。（2）如果一次可以搶2個(gè)數(shù)或者3個(gè)數(shù)，又會(huì)如何呢？先猜一猜再試一試。你的猜測(cè)是否仍然成立？（3）如果一次可以搶1個(gè)數(shù)或者2個(gè)數(shù)或者3個(gè)數(shù)呢？先猜一猜再試一試，看看你的猜測(cè)是否仍然成立。

【設(shè)計(jì)意圖】任務(wù)（2）、任務(wù)（3）瞄準(zhǔn)學(xué)生在完成任務(wù)（1）時(shí)可能得到似是而非的結(jié)論來(lái)設(shè)計(jì)，是否提供視其解答情況來(lái)確定。如果學(xué)生將數(shù)字3理解為“比一次能夠搶的較大個(gè)數(shù)2多1”，此時(shí)呈現(xiàn)任務(wù)（2）讓其完成，按此想法有：必須搶到數(shù)字被數(shù)字4整除，應(yīng)該依次搶4，8…28。如果學(xué)生將數(shù)字3理解為“一次能夠搶的所有個(gè)數(shù)之和”，此時(shí)呈現(xiàn)任務(wù)（3）要求其完成，按此想法有：必須搶到數(shù)字被數(shù)字6整除，應(yīng)該依次搶6，12，18，24，30。在完成任務(wù)（2）或者任務(wù)（3）的過(guò)程中學(xué)生會(huì)自行發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：這兩種理解其實(shí)都不正確。

2.在運(yùn)用原有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)無(wú)法進(jìn)行說(shuō)理時(shí)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題

跟猜測(cè)相比，驗(yàn)證猜測(cè)結(jié)果的正確性對(duì)思維能力的要求更高，若進(jìn)行說(shuō)理（或者證明），則對(duì)思維能力的要求又有明顯提升。很多時(shí)候，學(xué)生運(yùn)用原有數(shù)學(xué)“四基\"難以解決說(shuō)理的要求，從而發(fā)現(xiàn)問(wèn)題。

【片段5】（接片段3中（4））

不借助一一列舉，你能直接說(shuō)明為什么“搶數(shù)字6的報(bào)法種數(shù)是搶數(shù)字4的報(bào)法種數(shù)與搶數(shù)字5的報(bào)法種數(shù)之和\"嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】面對(duì)這樣要求說(shuō)理的任務(wù)，學(xué)生往往欠缺類似經(jīng)歷與經(jīng)驗(yàn)，感覺(jué)無(wú)從下手，從而發(fā)現(xiàn)問(wèn)題。教師可引導(dǎo)學(xué)生分析發(fā)現(xiàn)要搶得數(shù)字6有兩種途徑（如圖1），并注意到其中沒(méi)有重復(fù)報(bào)法，從而得出結(jié)論。

（四）思維遷移階段：在難以橫向遷移活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)時(shí)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題

教師可以讓學(xué)生在完成表面看來(lái)與探索活動(dòng)相關(guān)度不高的任務(wù)時(shí)，進(jìn)行橫向遷移從而發(fā)現(xiàn)問(wèn)題。

【片段6】課后拓展

小明帶弟弟上樓。已知從一樓到三樓共有24節(jié)臺(tái)階，如果弟弟一次可以跨1節(jié)、2節(jié)或者3節(jié)臺(tái)階，試幫助小明確定弟弟從一樓上到三樓共有多少種不同的走法。

【設(shè)計(jì)意圖】本任務(wù)表面看來(lái)與搶數(shù)字無(wú)關(guān)，其實(shí)相當(dāng)于確定“搶24\"共有多少種不同的搶法，只不過(guò)一次可以搶的個(gè)數(shù)有所增加。對(duì)于完成任務(wù)存在困難的學(xué)生可以讓他們先探索臺(tái)階數(shù)較少時(shí)的情況，橫向遷移探索經(jīng)驗(yàn)從而得出結(jié)論。在此基礎(chǔ)上，教師還可以再提出2個(gè)新任務(wù)：（1）能否直接說(shuō)出上樓梯的不同走法總數(shù)？（2）

能否通過(guò)說(shuō)理來(lái)說(shuō)明走法總數(shù)的正確性。新任務(wù)（1要求發(fā)現(xiàn)上樓梯問(wèn)題與搶數(shù)字游戲的內(nèi)在聯(lián)系，橫向遷移思維結(jié)果，新任務(wù)（2）要求橫向遷移說(shuō)理經(jīng)驗(yàn)（圖1中思路），不斷提供培養(yǎng)學(xué)生問(wèn)題發(fā)現(xiàn)能力的機(jī)會(huì)。

三、數(shù)學(xué)游戲用于培養(yǎng)初中生問(wèn)題發(fā)現(xiàn)能力的理性思考

（一）數(shù)學(xué)游戲?yàn)楹线m載體的前提條件

數(shù)學(xué)游戲是合適載體的前提條件是游戲中包含較多數(shù)學(xué)信息。當(dāng)含有較多數(shù)學(xué)信息時(shí)，游戲活動(dòng)的多處可用于問(wèn)題發(fā)現(xiàn)能力培養(yǎng)；當(dāng)含有數(shù)學(xué)信息較少時(shí)，教師感覺(jué)價(jià)值有限，不愿利用課堂學(xué)習(xí)時(shí)間來(lái)進(jìn)行游戲活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題能力便無(wú)從談起。游戲中數(shù)學(xué)信息的多少是相對(duì)的，并且很多信息往往隱含在游戲中，需要教師深入挖掘，以盡可能揭示出更多的數(shù)學(xué)信息或者數(shù)學(xué)聯(lián)系。若僅將“搶30”游戲視為博弈游戲，則它在發(fā)展學(xué)生問(wèn)題發(fā)現(xiàn)能力的價(jià)值有限。

（二）數(shù)學(xué)游戲用于培養(yǎng)初中生問(wèn)題發(fā)現(xiàn)能力的基本舉措

合適的數(shù)學(xué)游戲同樣需要采取科學(xué)做法才能有效培養(yǎng)初中生問(wèn)題發(fā)現(xiàn)能力。兩種基本有效措施如下。一是設(shè)計(jì)不符合推理規(guī)則的任務(wù)。數(shù)學(xué)思維的基本形式是邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算。通過(guò)具體數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，并結(jié)合日常生活經(jīng)驗(yàn)，初中生會(huì)初步意識(shí)到演繹推理的常見(jiàn)形式（三段論）、普通邏輯的基本規(guī)律（同一律、矛盾律、排中律）與基本原則（充足理由律）的基本內(nèi)容與大致要求。在思維過(guò)程中，當(dāng)其發(fā)現(xiàn)推理所需信息缺失或者信息對(duì)立（甚至矛盾）時(shí)，便無(wú)法順利進(jìn)行推理進(jìn)而發(fā)現(xiàn)問(wèn)題。

二是設(shè)計(jì)略高于初中生現(xiàn)有數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的任務(wù)。當(dāng)教師要求初中生用數(shù)學(xué)眼光來(lái)看待數(shù)學(xué)游戲時(shí)，學(xué)生往往會(huì)因欠缺相關(guān)經(jīng)歷或者經(jīng)驗(yàn)，難以及時(shí)調(diào)取知識(shí)或者經(jīng)驗(yàn)來(lái)完成任務(wù)，于是會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題。在繼續(xù)活動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)學(xué)生面對(duì)任務(wù)時(shí)，他們需要通過(guò)一定的梳理、概括、提煉，并以數(shù)學(xué)的方式做出“是什么？能怎樣？為什么？怎么樣”等方面的思考。此時(shí)，學(xué)生遇到困難，難以完成任務(wù)，便會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題。5]

（三）數(shù)學(xué)游戲用于培養(yǎng)初中生問(wèn)題發(fā)現(xiàn)能力的必備立場(chǎng)

“以生為本\"是借助數(shù)學(xué)游戲來(lái)培養(yǎng)初中生問(wèn)題發(fā)現(xiàn)能力的必備立場(chǎng)。人本主義是我國(guó)課程改革的心理學(xué)理論基礎(chǔ)。課程標(biāo)準(zhǔn)在修訂過(guò)程中也以貫徹立德樹(shù)人根本任務(wù)為宗旨，強(qiáng)調(diào)了作為一個(gè)全面發(fā)展的人應(yīng)實(shí)現(xiàn)的目標(biāo)，凸顯了“以人為本”的指導(dǎo)思想，因此，在用以培養(yǎng)初中生問(wèn)題發(fā)現(xiàn)能力的數(shù)學(xué)游戲活動(dòng)中也應(yīng)遵循這樣的立場(chǎng)。

“生本立場(chǎng)\"要求教師在教學(xué)預(yù)設(shè)時(shí)要認(rèn)真研究游戲者的接受能力。教師要對(duì)探索的結(jié)果逐一進(jìn)行逆向?qū)徱暎釛壨ㄟ^(guò)師生活動(dòng)不能及時(shí)解決的問(wèn)題。對(duì)于“搶30”游戲，如果活動(dòng)對(duì)象是七年級(jí)學(xué)生，那么只要通過(guò)計(jì)算意識(shí)到隨著 n 的增大， 越來(lái)越接近0.618的近似值即可。如果活動(dòng)時(shí)學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了二次根式，那么不妨進(jìn)一步挖掘：（1）計(jì)算后猜測(cè) n 增大時(shí) 的值越來(lái)越接近 ；（2）根據(jù)提供的通項(xiàng)公式，能夠比較熟練地計(jì)算出 n=1，2，3 時(shí) a_n 的值；（3）感受用無(wú)理數(shù)的形式來(lái)表示整數(shù)等。

“生本立場(chǎng)\"要求在數(shù)學(xué)游戲活動(dòng)中要注意兩點(diǎn)。一是學(xué)生充分體驗(yàn)。只有學(xué)生充分體驗(yàn)了游戲活動(dòng)，其中隱含的數(shù)量關(guān)系、內(nèi)在聯(lián)系才容易顯現(xiàn)出來(lái)，學(xué)生的猜測(cè)與判斷才會(huì)有比較明確的方向，學(xué)生才更容易積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。二是教師發(fā)揮主導(dǎo)作用。數(shù)學(xué)的對(duì)象是抽象的形式化的思想材料，完全由學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)、提出問(wèn)題基本不可能。教師應(yīng)在游戲中適時(shí)提供合適的任務(wù)，不斷引導(dǎo)學(xué)生以數(shù)學(xué)的方式思考“是什么？為什么？怎么樣”等，逐步讓學(xué)生由“被動(dòng)遇到數(shù)學(xué)任務(wù)”向“主動(dòng)思考形成數(shù)學(xué)任務(wù)”進(jìn)階，不斷積累數(shù)學(xué)化思考的經(jīng)驗(yàn)，有效提升問(wèn)題發(fā)現(xiàn)能力。

在合適的數(shù)學(xué)游戲中采取恰當(dāng)?shù)拇胧┠軌蚴蛊涑蔀榕囵B(yǎng)初中生問(wèn)題發(fā)現(xiàn)能力的有效載體。期望本文對(duì)于如何培養(yǎng)初中生的問(wèn)題發(fā)現(xiàn)能力能有所啟迪，并引起有識(shí)之士的關(guān)注，早日形成更多研究成果以造福一線師生。國(guó)

【參考文獻(xiàn)】

[1]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：2.

[2]王青建.數(shù)學(xué)史簡(jiǎn)編[M].北京：科學(xué)出版社，2004：358.

[3]史寧中，王尚志.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）解讀[M].北京：高等教育出版社，2020：63.

[4]曹才翰，章建躍.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)[M]北京：北京師范大學(xué)出版社，2006：54.

[5]葉新和.生活中的問(wèn)題發(fā)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟迪[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2021（1）：12-14.

[6]喻平.發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)與評(píng)價(jià)研究[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2021：124.