基于粒子群算法優化的灰色預測模型路基沉降預測分析

中圖分類號：U213.1 文獻標志碼：A 文章編號：2095-2945（2025）21-0030-05

Abstract：Thispaperfocusesonthepredictionofsubgradesetlementofhigh-speedrailway.Inviewofthekeyimpactof subgradesetlementonthestabilityandsmoothnessoftheline，thegreypredictionmodelisselectedaftercomparingvarious predictionmethods.TheprincipleofGM（1，1）modelandtheoptimizationprocessofparticleswarmoptimization（PSO）areitroduced in detail. The 69～339 day settlement observation data of two sections K417+523 and K417+573 in the first work area of ZH sectionofJinan WestRailwayStationofBeijingShanghai highspeedrailwayaretakenasexamples tocarryoutthecaseanalysis. TheresultsshowthatthepredictionefectofPSO-GM（1，1）modelisbeterthanthatofGM（1，1）modelandtheaveragefiting erorsathetwosectionsare3.8%and3.9%respectivelyTheresidualerortestandclassratiodeviationtestshowthatithas higheraccuracyandbeterstability.Thisresearchprovidesanewideaforgreypredictionmodeltodealwithcumulativeors， and proves that PSO-GM（1，1）model has high reliabilityandapplication value in predicting subgrade settlement.

Keywords：high-speedrailway;subgradesettlement; GM（1，1）model;settlementprediction;particleswarmalgorithm

高速鐵路以其迅捷的運行速度，對線路的穩定性和平順性提出了極高的要求。路基沉降作為影響線路穩定性和平順性的關鍵因素之一，不容忽視。通過準確的沉降預測，能夠及時發現并解決路基不均勻沉降的問題，確保路基的穩定性和平整度，從而降低因路基沉降導致的路面損壞及維修成本。

目前，路基沉降變形的預測方法主要有曲線擬合法、三點法、星野法及灰色理論等。曲線擬合法通過使用與實際沉降曲線相似的曲線進行數據擬合，當相關系數達到一定標準后，該方法通過對時間序列的推斷來預測沉降幅度。三點法依托于土力學的理論，確立地基土體的固結沉降量與時間關系，并結合該關系以擬合沉降觀測曲線，進一步通過得到的曲線預測沉降量。然而，由于在理論計算中的假定條件及確定計算指標的試驗技術存在局限性，實測數據在某種程度上比理論計算更為關鍵1。灰色預測理論應用數學方法來研究信息不完全的系統，適用于數據量小、信息匱乏的不確定性問題。相較于傳統預測手段，灰色模型需要較少的樣本數據，并能夠提供較高的準確性。

自1981年我國教授鄧聚龍創立灰色系統理論以來，該理論在處理“小樣本”“貧信息\"的問題上展現出獨特優勢。灰色系統理論認為所有隨機變量在特定范圍和時間段內變化，通過數據生成的方式削弱隨機因素的影響，尋找內在聯系和規律，建立灰色模型進行預測。即使在復雜的客觀系統中，灰色系統也能使其變為關聯和有序，有效預測系統的長期變化規律。

國內外學者對路基沉降監測與預測展開了廣泛研究。周呂等提出了自適應灰色模型與殘差修正灰色模型在高鐵隧道中的應用，結果顯示這2種模型均提高了原模型的預測精度和相關性。李小剛等4將GM（1，1）模型與雙曲線法、三點法的預測結果進行對比，發現GM（1，1）模型在軟土地基沉降預測中精度更高。張滿想等采用GM（1，1）和Verhulst2種灰色系統模型對沉降數據進行建模分析，結果顯示在最佳維度下，GM（1，1）模型可用于路基沉降4個月內的預測。

劉海明等@提出了一種基于粒子群與Markov優化的PMIGM（1，1）預測模型，并將其應用于云南保施高速公路高填方路基，結果顯示該模型顯著提高了預測精度。張獻州等利用改進的灰色預測傅里葉-馬爾科夫殘差式組合預測模型，對路基沉降變形數據進行預測研究，得出結論：利用傅里葉級數和馬爾科夫狀態轉移矩陣對一次殘差進行二次組合預測，能更好地擬合數據變化趨勢，提高預測精度。

陳洋等針對前期觀測數據誤差較大的問題，提出將IGGIII抗差方法加入到灰色GM（1，1）模型中，經高鐵路基實測沉降數據檢驗，該新方法能夠較好地預測路基沉降。朱沙采用灰色Verhulst模型對路基沉降進行預測，實例表明該方法對路基的長期預測具有較好的適用性。沙愛敏等[基于非等間距GM（1，1）模型，對軟土路基和高填方路基進行沉降預測研究，結果顯示該模型的預測相對誤差較小，預測值與實測值吻合度較高。

王浩建立了基于人工神經網絡的路基沉降預測模型，將路基含水率、壓實度、沉降時間和填土高度設置為訓練樣本，預測準確度可達 90% 以上。盧飛強等[12]基于時間序列分析法預測路基沉降，該方法避免了使用較多參數，建模簡單且預測精度高。

王登浩[13采用擴展雙曲線法對武廣高鐵路基進行了沉降預測研究，結果顯示最大斷面的沉降值約為5.8mm ，橋涵和隧道的沉降量也較小。郝瑩瑩[4將三點指數曲線修正法應用于采空區上方的路基沉降預測，結果表明該方法與實測數據的相關性較高，模擬效果良好。

現階段模型大多是通過結合多種算法對原模型進行改進，提高模型的預測精度及穩定性，但對實際工程中出現的數據不符合線性規律情況下的模型適用性的研究較為缺乏。本文以京滬高鐵濟南西客站ZH標段一工區為研究對象，選取2個斷面，利用粒子群算法改進GM（1，1）對2處斷面的沉降監測實測數據進行擬合預測并與實測值比對，通過分析各模型的相對誤差、平均誤差及級比偏差分析預測模型的可靠性及適用性。

1灰色預測模型

1.1 GM（1，1）模型

在預測模型的選擇上本文使用最常用的GM（1，1）模型，全稱為一階單變量灰色微分方程。該模型是基于灰色系統理論構建的，用于處理小樣本、貧信息的時間序列數據。它通過對原始數據序列進行累加生成（AGO，Accumulating Generation Operation）操作，讓原本雜亂無章或者隨機波動的數據序列轉換為具有較強規律性的序列。這樣做的目的是弱化數據的隨機性，挖掘數據潛在的規律。

其基本原理如下：

設最初的非負數據列為 x^（0） ，對其進行一次累加可得到序列

其中

令 z^（1） 為數列 的緊鄰均值生成數列。稱方程 x^（0） （204號 （k）+az^（1）（k）=b 為 GM（1，1） 模型的基本形式（ k= 2，3，…，n） ，式中 b 表示灰作用量， a 表示發展系數。

引入矩陣形式

則， GM（1，1） 模型 可表示為Y=Bu

利用最小二乘法可得到 ^a，b 的估計值為

因為

利用定積分，可得

則被稱為灰色微分方程。灰色預測模型的本質是有條件的指數擬合，若對白化方程取初值 ，根據一階非其次線性微分方程通解公式。

以上是 GM（1，1） 預測模型的基本擬合過程，其基本形式是： 。這里的 Δ_a 是發展系數，它反映了系統的發展態勢。如果 agt;0 ，表示系統是增長型的；如果 alt;0 ，則表示系統是衰減型的。 b 是灰色作用量，它包含了系統的外部作用和內部作用等多種因素。

1.2粒子群算法優化的 GM（1，1） 模型

為了進一步提高 GM（1，1） 模型的預測能力，引入了粒子群算法（PSO）來優化模型中的參數 Ψ_a 和 b 。具體過程如下。

對于每個粒子，基于當前的和參數，使用GM（1，1）模型進行預測。然后計算模型的預測誤差，通常使用均方誤差（MSE）作為適應度函數，其計算公式為

式中： y_i 為真實值; 為模型預測值; n 為數據點的個數。適應度函數是粒子群算法優化的核心評價指標，它衡量了每個粒子所代表的參數組合的優劣程度。均方誤差越小，說明模型的預測結果與真實值越接近，該粒子所對應的參數組合就越優。

粒子更新：根據PSO更新公式，更新粒子的位置和速度。速度更新公式為

ν_i^（t+1）=w×ν_i^（t）+c₁×r₁×（p_i^（t）-x_i^（t））+c₂×r₂×（g^（t）-x_i^（t））_o∣

灰色預測模型 GM（1，1） 通過一系列嚴謹的步驟構建和預測，而PSO優化過程則為其提供了一種有效的參數優化方法，兩者結合能夠更好地應對實際問題中的預測需求。

2 實例分析

選取京滬高鐵濟南西客站ZH標段一工區的施工期沉降實測數據進行分析。該工區 K417+523 和K417+573 兩斷面，利用其實測的 69～339d 的沉降觀測數據進行分析，數據觀測的時間間隔為 30d 。通過使用Matlab編寫的計算程序進行建模和計算，將兩斷面的沉降實測數據x輸入到模型中，進而得到了沉降與時間的曲線，結果如圖1所示。

將兩斷面的實測數據代入PSO優化后的GM（1，1）模型，依照該模型既定步驟展開操作。首先，對所獲數據執行一次累加生成處理，旨在削弱數據本身的隨機特性。接著，構建相應矩陣，以此求解發展系數與灰作用量，更新粒子的位置搜索更好的解，反復迭代進而推導出預測模型的表達式。數據處理結果見表1和表2。

通過對這2張圖的分析，可以看出在這2個斷面的累積沉降量預測中，PSO-GM（1，1）模型的預測效果優于GM（1，1）模型，能夠更準確地擬合實測數據，尤其是在觀測后期，其優勢更為突出。這表明粒子群算法（PSO）對灰色預測GM（1，1）模型的優化在一定程度上提高了模型的預測精度和可靠性。

3模型的性能檢驗

3.1 殘差檢驗

在對PSO-GM（1，1）預測模型進行性能評價的過程中，對模型進行殘差檢驗和級比偏差檢驗。一方面殘差檢驗的核心在于計算實際觀測值與預測值之間的差異，即殘差，以此評估模型的預測精確度。通過對殘差的大小、分布特征及其變化趨勢的深入研究，可以直觀地把握模型在不同數據點上的預測誤差，進而判斷模型是否有效地擬合了實際數據。另一方面，級比偏差檢驗則基于灰色系統理論中的級比觀念，通過計算級比偏差值來評估模型對原始數據序列內在規律的掌握程度。這一檢驗手段有助于深入分析模型的可靠性和穩定性。

對表1、表2中的數據進行整理計算，可以得PSO-GM（1，1）預測模型在2個斷面擬合預測過程中的平均相對殘差，見表3。

通過分析表3可以發現，PSO-GM（1，1）模型在整體擬合預測準確性上具有優勢，能更好地逼近真實值，減少預測誤差。

3.2 級比偏差檢驗

對模型的擬合結果進行級比偏差檢驗，該檢驗是根據下式對模型的擬合情況進行評估。

式中： λ（k） 為序列級比; 為發展系數。如果 ρ^（k）lt;0.2 則可以認為達到一般要求；如果 ρ^（k）lt;0.1 ，則認為達到較高的要求。兩斷面的級比偏差檢驗結果如圖3所示。

模型的級比偏差呈現波動狀態。PSO-GM（1，1）模型在大部分時段的級比偏差相對較低且較為平穩，波動幅度較小，說明該模型在 K417+523 斷面的預測穩定性較好。 GM（1，1） 模型波動幅度相對較大，且在某些時段高于 PSO-GM（1，1）模型，表明 PSO-GM（1，1） 模型在預測精度和穩定性方面較優。

4結論

本文以京滬高鐵濟南西客站ZH工段的施工期沉降監測數據為例，通過對比分析3種模型的預測值、平均誤差、相對誤差，得出以下結論：

1）通過粒子群算法優化 GM（1，1） 預測模型，使擬合精度進一步提高。為灰色預測模型處理迭代計算產生的累積誤差提供了一種新的思路。

²）PS0-GM（1，1） 模型對2個斷面擬合的平均相對殘差分別為 3.8% 和 3.9% ，精度高于其他模型且同時兼具可靠性。

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