關(guān)于面積的一點(diǎn)思考

黎 雄 (北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 100875)

什么叫面積？這個(gè)問(wèn)題說(shuō)大就大，說(shuō)小也小．小學(xué)的數(shù)學(xué)教材[1]里這樣描述面積：物體的表面或封閉圖形的大小就是它們的面積．面積準(zhǔn)確的定義只有在高等數(shù)學(xué)里才出現(xiàn)．

菲赫金哥爾茨在他的名著《數(shù)學(xué)分析原理》[2]里這樣定義封閉圖形的面積：假設(shè)大家會(huì)求多邊形的面積，然后考慮所有包含這個(gè)封閉圖形的多邊形，把這些多邊形的面積都求出來(lái)，從而得到一個(gè)數(shù)集，這個(gè)數(shù)集的下確界就稱(chēng)為這個(gè)封閉圖形的外面積．類(lèi)似地，考慮所有包含在這個(gè)封閉圖形內(nèi)部的多邊形，把這些多邊形的面積求出來(lái)也得到一個(gè)數(shù)集，這個(gè)數(shù)集的上確界就稱(chēng)為這個(gè)封閉圖形的內(nèi)面積．如果某個(gè)封閉圖形的外面積等于其內(nèi)面積，那么這個(gè)封閉圖形就稱(chēng)為有面積，并且把這個(gè)共同值稱(chēng)為該封閉圖形的面積．

這個(gè)定義建立在會(huì)求多邊形的面積的基礎(chǔ)上，指出了邊界不是折線的封閉圖形的面積應(yīng)該如何確定．那么多邊形的面積又應(yīng)該如何合理定義呢？這是我們這篇短文的目的．我們知道，通過(guò)連接多邊形的對(duì)角線可以將其轉(zhuǎn)化為多個(gè)三角形的并，如果假設(shè)面積滿足“有限可加性”(即有限個(gè)互不相交的封閉圖形的并的面積等于這些封閉圖形的面積的和)，那么多邊形面積的計(jì)算就轉(zhuǎn)化為三角形面積的計(jì)算，而任何一個(gè)三角形是一個(gè)平行四邊形的一半，平行四邊形可以通過(guò)割補(bǔ)法轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形，因而多邊形面積的合理定義最終轉(zhuǎn)化為如何合理定義長(zhǎng)方形的面積．注意，在這個(gè)過(guò)程中，我們分別用到了面積的有限可加性和面積的“平移不變性”(即全等圖形的面積相等)，這些性質(zhì)符合直觀認(rèn)識(shí)，因而合理．

下面我們就來(lái)探討長(zhǎng)方形的面積如何合理定義．和為了比較兩個(gè)集合的元素的多少而引進(jìn)自然數(shù)一樣，為了比較兩條線段的長(zhǎng)短，需要引進(jìn)單位長(zhǎng)度，比如長(zhǎng)度的國(guó)際單位是米．同樣地，度量面積也需要先引進(jìn)單位面積．規(guī)定邊長(zhǎng)為1 m的正方形的面積為1 m2．

在人教版小學(xué)數(shù)學(xué)課本里[1]的教學(xué)內(nèi)容編排順序上，長(zhǎng)方形面積的討論是在認(rèn)識(shí)小數(shù)之前，也就是說(shuō)，最初學(xué)習(xí)長(zhǎng)方形的面積時(shí)是針對(duì)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬都是整數(shù)倍單位長(zhǎng)度來(lái)討論的．因而，我們首先考慮長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬都為整數(shù)倍單位長(zhǎng)度時(shí)，長(zhǎng)方形的面積應(yīng)該如何定義．這種考慮也符合人的認(rèn)知規(guī)律．比方說(shuō)，如果長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是5 m、寬是3 m，那么它的面積應(yīng)該是多少？若用邊長(zhǎng)為1 m的正方形去測(cè)量這個(gè)長(zhǎng)方形，則一行有5個(gè)，有3行，所以一共有15個(gè)，也就是說(shuō)，需要用15個(gè)邊長(zhǎng)為1 m的正方形才能把這個(gè)長(zhǎng)方形不重復(fù)地填滿，因而我們自然地定義這個(gè)長(zhǎng)方形的面積是15 m2．這也是我們小學(xué)學(xué)到的“數(shù)格子”的方法．這里其實(shí)也只用到了面積的有限可加性．一般地，如果長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為mm、寬為nm(m,n是正整數(shù))，那么同樣地考慮可得這個(gè)長(zhǎng)方形的面積應(yīng)該定義為m×nm2．

由此可見(jiàn)，如果假設(shè)面積滿足可數(shù)可加性，不管長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬是什么數(shù)，其面積都應(yīng)該定義為它的長(zhǎng)乘以寬．

把封閉圖形的面積的概念推廣到平面上的任意點(diǎn)集上，就自然地建立了測(cè)度理論．測(cè)度最重要的性質(zhì)是可數(shù)可加性，即可數(shù)多個(gè)互不相交的可測(cè)集的并的測(cè)度等于這些集合的測(cè)度的和．