任意荷載下軟土一維大應變非線性固結分析

中圖分類號：TU433 文獻標志碼：A

Abstract：Traditional consolidation theory mostly based onsmallstrain assumption is not suitable for soft clay consolidation withlarge strain.Herein，aone-dimensional nonlinear large-strainconsolidation model of soft soils considering non-Darcy flowandarbitrary loads wasestablished based on the double logarithmic permeability compression model to predict the consolidation setlement of large-strain soft soil.The numerical solution to the consolidation equation was derived using the finite difference method.Thereliabilityof this numerical solution was verified through comparison with analytical solutions and laboratory experiments.Based on the solutions，this study analyzes the impact of compression index （I_c）， permeation model parameter Ψ（α）Ψ， non-Darcy parameters （m，i₁）， loadingduration，and arbitrary loadon soil consolidation setlement.The results indicate that under anyarbitrary load， the greater I_c and α result in a smaller average degree of consolidation and the slower dissipation of excess pore water pressure，although the final settlement of soft soil consolidation setlement isonlyrelated to the sizeof the I_c ： the greater non-Darcy parameters m and i₁ results in the longer time needed to reach the final settlement value during the consolidation setlement process of the soft soil layer，which means that at the same moment in the consolidation process，the setlement of thesoil layer issmall.As the durationof the construction loadand exponential load increases，thesetlementrateof thesoil layer slows down，whileincreasing theload cycle of the cyclic load speeds uptherateofsoillayersetlement.Inaddition，compared tootherloads，thebehaviorof soft soil consolidation under cyclic loading shows an obvious periodicity.These findings further enrich the theory of onedimensional large strain consolidation forsoft soil foundations，providing theoretical support for the constructionof such grounds.

Key words：large strain ;double logarithmic model; consolidation ;seepage ; nonlinearity

對軟土一維非線性固結的研究始于20世紀60年代，由于建立在小應變假定的基礎上，傳統的一維非線性固結理論難以預測較大應變的深厚軟土層的沉降變形，其理論值與實際值存在較大的偏差.同時，大量學者研究發現，非達西滲流也會對土體的固結產生影響2-3.同樣，為了更加切合工程實際，任意荷載也是需要考慮的因素之一，因此，考慮非達西滲流、任意荷載作用的一維非線性大應變固結模型的建立有很大的理論及實際意義.

在一維非線性固結領域，Davis等[4]在土體固結系數不變、孔隙比 e 與有效應力 σ^′ 滿足一定關系的條件下得出了土體一維非線性解析解；國內外學者在Davis等[4]假定的基礎上建立了變荷載[5]、成層地基、連續排水邊界7等不同因素下的土體一維非線性固結模型并得出解析解；Mesri等8提出了孔隙比e與有效應力 σ^′ 以及滲透系數 k_v 的半對數關系；馮霞等[9]基于半對數壓縮滲透關系，提出了連續排水邊界下軟土一維非線性模型，并得出近似解析解；But-terfield[]對比發現，半對數滲透模型不能適用于高壓縮性軟土以及大應變吹填土，提出了雙對數壓縮模型 lg（1+e）-lgσ^′ ，更好地與大應變以及小應變軟土的實驗結果相契合； Kim 等[1]基于可變固結系數，提出循環荷載下軟土一維非線性固結解析解；謝康和等[12]通過對蕭山軟土進行固結滲透聯合試驗分析，提出了更加符合大應度軟土非線性滲透的雙對數滲透模型 lg（1+e）-lgk_v ；仇超等[13]基于雙對數壓縮滲透模型建立了變荷載下軟土非線性大應變固結模型并推導出解析解；江文豪等考慮溫度變化[14]力學-化學荷載5對軟土一維非線性固結的影響，建立相應的耦合模型并得出數值解.但其均未考慮非達西滲流對土體固結的影響.

很多研究表明，軟土中的滲流存在不滿足達西定律的現象[2-3]，這種現象會引起軟土沉降實測值與理論值的偏差.Hansbo2將這種現象視為非達西滲流，并在進行一系列試驗后提出了Hansbo非達西滲流模型，自此，非達西滲流逐漸出現在學者們的研究中.Slepicka[提出滲流速度 v 與水力坡降i呈指數關系的冪指數滲流模型；Swartzendruber[3]通過對大量試驗數據的分析，將軟土固結滲流過程中的水視為非牛頓流體，繼而提出了基于非牛頓指數的非達西滲流模型.由于Hansbo滲流與土體滲流的實際情況最為接近，因此，Hansbo滲流模型是目前最廣泛使用的非達西滲流模型.Zong等基于冪指數滲流研究了瞬時荷載下一維固結非線性問題，并通過有限差分法得出數值解;Zong等[17-18]基于Hansbo滲流，考慮了多級加載、成層地基對軟土固結的影響；Zhu等[19]基于Hansbo滲流模型，推導了循環荷載下軟土一維固結模型，得出循環荷載下軟土固結沉降最終會進入穩定循環狀態.Cui等2在分數階模型中引入Swartzendruber滲流[3]，推導了軟土一維流變固結模型.但以上研究均未采用雙對數模型，因此不能適用于大應變軟土的固結.

綜上所述，為了更好地預測大應變軟土的固結沉降，本文基于Butterfield[10]、謝康和等[12]提出的雙對數壓縮、滲透模型，建立任意荷載作用下考慮非達西滲流的非線性大應變固結模型，并推導出數值解；再通過與解析解以及土工試驗對比，驗證該解答的可靠性以及可行性；最后通過算例分析任意荷載下，壓縮指數 I_c 、滲透模型參數 α 、非達西參數 m，i₁ 以及加載歷時 T_vc 等參數對固結過程的影響.

1任意荷載下非線性大應變固結方程推導及 求解

1.1大應變固結方程推導

軟地基大應變固結模型如圖1所示， a 為拉格朗日坐標系下土層深度， H 為軟土層厚度， k_v0 為土體初始滲透系數，土層頂面為完全排水，底面完全不透水， q（t） 為作用于軟土地基表面的均布任意荷載.

圖1任意荷載下的軟土地基大應變固結模型 Fig.1Large strain consolidation model for soft soil foundations under arbitrary loading

Hansbo滲流用式（1）表示[21]：

當 i1 時，根據Gibson等[22]大應變理論的研究，非達西滲流可寫為：

式中： k_v 為土體滲透系數； e 為孔隙比； v_w 和 v_s 分別為孔隙水和土顆粒相對于基準面的速度.

固結連續性方程為：

把式（2）代入式（3）中，得：

拉格朗日坐標系與流動坐標系之間的關系22為：

式中： e₀ 為初始孔隙比.

水力坡降表達式為：

將式（5）（6）代人式（4）中得：

不考慮流變特性，則由式（7）可得：

Butterfield[10]、謝康和等[12]提出的雙對數模型為：

式中： σ^′ 和 σ₀^′ 分別為有效應力和初始有效應力； I_c 和α 分別為壓縮指數和滲透模型參數.

根據土體體積壓縮系數定義[23]，由式（9）可得：

由雙對數關系求得滲透系數表達式為：

有效應力原理為：

σ^′=σ₀^′+q（t）-u

式中： q（t） 為作用在土體上的荷載.

將式（11）～（13）代入式（8）得到軟土一維大應變固結方程：

式中：

同理， i?i₁ 時，軟土一維大應變固結方程為：

方程求解的初始條件：

u（a，0）=q（t=0）

邊界條件：

（上邊界完全排水）

1.2大應變固結方程有限差分求解

有限差分法是巖土工程中常用的數值計算方法，其離散化的方式可以用于處理復雜的非線性的問題，并且，有限差分法較為直觀，計算過程中精度高、穩定性較好，能滿足工程要求.同時，其基本原理簡單，易于編制程序，計算效率較高，故而本文使用有限差分法求解.

引入下列無量綱參數：

則

將無量綱參數分別代人式（14）（15），可得無量綱化的固結方程為：

其中

式中：

初始條件可表示為：

U（Z，0）=Q（T_v=0）

邊界條件：

U（0，T_v）=0

在 Z-T_v 平面內劃分差分網格， ΔZ 與 ΔT_v 分別表示空間步長與時間步長， r 為空間節點（ Ψ_r=Ψ_Ψ 0，1，2，…，n） ，j為時間節點 （j=0，1，2，…，k） ，通過在時間和空間上的離散，并進一步整理可得軟土一維大應變固結方程為：

離散后的初始條件和邊界條件分別為：

U_n+1^j=U_n-1^j，j=1，2，3，…，k

將式（34）代入固結方程，則上邊界完全排水條件式為：

U₁^j+1=U₁^j+Q^j+1-Q^j+

將式（35）代入固結方程，則下邊界完全不排水條件式為：

底部不存在滲流，可用達西定律代替計算，則式（37）可化為：

按孔壓定義的平均固結度：

代入無量綱參數：

T_v 時刻土層發生的沉降為：

進一步展開：

代人無量綱參數：

土層發生的最終沉降為：

按變形定義的平均固結度為：

2大應變固結解驗證

通過將本文有限差分解與相關解析解和試驗數據進行對比，驗證解法的可靠性以及在實際工程上的可行性.

2.1與解析解對比分析

通過與仇超等[13]提出的解析解進行對比，以驗證本文差分數據的可靠性.仇超等基于雙對數壓縮滲透模型，建立了變荷載下軟土一維大應變固結模型并得出解析解.因此，將本文課題退化為與其一致的課題 （m=1，T_vc=0.05 進行對比，土體計算所需參數如表1所示.

表1土體計算所需參數

Tab.1 Parametersrequired forsoilcalculatior

將 α 分別取10、12、15時的差分解與解析解對比，如圖2所示，相同參數情況下，差分解與解析解基本重合，由此可見本文差分數據的可靠性.

圖2本文解與仇超等[13]提出解對比 Fig.2 Comparison of the solution presented in this paper with the solution proposed by Qiu et al[13]

2.2與室內試驗對比分析

將本文有限差分解與裴竹松4室內試驗結果進行 對比，進一步驗證本文有限差分解在實際工程的可行性.

裴竹松利用GDS高級固結系統對洞庭湖區地下14m 處軟土的固結性狀進行分析，該土樣的基本物理參數如表2所示.初始有效應力通過上覆土層平均自重應力確定，取 σ₀^′=55.23kPa

表2土體基本物理參數

Tab.2 Basicphysical parametersofsoil

試驗為單面排水，加載方式為線性加載，加載速率為 25kPa/h ，加載時長 ^48h 后達到荷載最大值1200kPa 試驗每小時記錄施加荷載對應的孔隙比，根據裴竹松的試驗數據，將有效應力及對應孔隙比在非線性模型下擬合，可得到該軟土的壓縮指數，C_c=0.3241，I_c=0.098. 根據Tavenas等25]的經驗公式： C_k=0.5e₀ ，以及等量關系式[26]： α=C_c/（I_cC_k） ，可計算得到該土樣滲透模型參數 α=6.89

由于該試驗沒有考慮非達西滲流的影響，因此將本文課題同樣退化為達西滲流 （m=1） ，其余計算參數如表3所示.

表3根據試驗確定的計算參數

Tab.3 Calculation parameters determined by testing

本文有限差分解與室內試驗實測沉降曲線如圖3所示，可以看出有限差分解與試驗實測值基本吻合，然而理論計算值沉降速率略快于實測值，這種現象可能是由理論計算中考慮的完全排水邊界過于理想以及土中存在的非達西滲流造成的.因此，可以驗證本文有限差分解在實際工程的可行性.

圖3本文解與裴竹松室內試驗結果[24]對比 Fig.3Comparison of the solution presented in thispaper with Pei's indoor test results[24]

3參數分析

下面通過控制變量法分別對施工荷載、循環荷載以及指數荷載下軟土固結進行參數分析.由于 I_c， α，m，i₁ 在任意荷載下對軟土固結性狀的影響均類似，因此對循環荷載及指數荷載下 的影響不做過多分析，僅分析循環荷載下加載周期 T_f 及指數荷載下指數荷載參數 B 對軟土固結的影響.

3.1施工荷載

施工荷載及其無量綱化后的形式分別為：

計算取 _H=5.0m ， I_c=0.118 ， α=10.475 ， σ₀^′= 10.0 kPa， γ_w=10.0kN/m³ q_u=100kPa m=1.25 i₁=2.5 ，T_vc=0.5

3.1.1壓縮指數 I_c 與滲透模型參數 α

分別取 α=15，I_c=0.1，0.125，0.15 和 I_c=0.15 α=9，12，15 ，分析壓縮指數 I_c 與滲透模型參數 α 對超靜孔隙水壓、土層沉降以及平均固結度的影響.

圖4（a）反映的是壓縮指數 I_c 和滲透模型參數 α 對超靜孔隙水壓的影響.從圖中可知，壓縮指數 I_c 和滲透模型參數 α 越大，超靜孔隙水壓力越大，說明超靜孔隙水壓消散速率隨著壓縮指數 I_c 和滲透模型參數 α 的增大而減小.圖4（b）（c）反映的是壓縮指數 I_c 和滲透模型參數 α 對土層沉降與平均固結度的影響.可以看出，壓縮指數 I_c 和滲透模型參數 α 越大，平均固結度越小，并且由于軟土固結沉降的最終沉降量只與壓縮指數 I_c 的大小相關，故壓縮指數 I_c 越大，固結完成后的最終沉降量越大，而不同滲透模型參數 α 下最終沉降量趨于一致.

3.1.2 非達西參數 m 與 i₁

分別取 i₁=15 ， m=1，1，25，1.5 和 m=1.25 ， i₁=0.5 、2.5，5.0，15.0 ，分析非達西參數 m 與 i₁ 對超靜孔隙水壓、土層沉降以及平均固結度的影響.

圖5反映的是非達西參數 m 與 i₁ 對土層固結性狀的影響，圖中所展現出的規律與李傳勛等[21]一致：

非達西流動相較于達西流動（ m=1 ）在軟土固結沉降上表現出明顯的滯后現象，此現象與非達西參數m 和 i₁ 的大小直接相關，非達西參數 m 和 i₁ 越大，在相同固結時刻，土層沉降及平均固結度越小，達到最終沉降值所需的時間越長.不同非達西參數下沉降曲線在固結前期較為接近，到達固結中期時差距比較顯著，而無論非達西參數如何變化，所有情況下的軟土層均趨向于相同的最終沉降值.由此可以看出，非達西滲流效應主要對固結中期產生顯著影響，而對整個固結過程的最終結果沒有決定性作用.

3.1.3加載歷時 T_vc

取加載歷時 T_vc=0.1，0.3，0.5，0.7，1.0 ，分析加載歷時 T_vc 對土層底部超靜孔隙水壓、土層沉降以及平均固結度的影響.

施工荷載的加載歷時是影響施工工期的關鍵參數，圖6反映了加載歷時 T_vc 對土層固結性狀的影響.

加載歷時反映的是施工荷載從初始值達到最終值所需要的時間，因此 T_vc 越大，荷載加載速率越慢.從圖中可以看出， T_vc 的大小對軟土層底部孔隙水壓力的積累和消散有較大的影響，具體表現為： T_vc 越大，土層中超靜孔隙水壓到達峰值的時間越晚，峰值越低，消散速率越快.同時，隨著 T_vc 的增大，相同固結時刻下土層的沉降量和固結度也隨之減小.

通過分析沉降曲線、超靜孔隙水壓力消散曲線以及固結度曲線可以發現，在固結初期，加載歷時的不同導致這些曲線存在較大差異.但隨著固結的進行，尤其是進人中后期，加載歷時的不同產生的影響減弱，各曲線逐漸趨于一致.可見，相較于固結中后期，加載歷時對固結前期的影響更為顯著.因此，在實際工程中，通過調整加載歷時，可以有效地控制土層的沉降速率和平均固結度，以保障施工安全和工程質量.

3.2循環荷載

循環荷載及其無量綱化后的形式分別為：

q（t）=q_u（1+sinωt）

式中： T為周期， T_f 為循環荷載加載周期，

計算取 H=5.0m ， I_c=0.1 ， α=15.0 σ₀^′=10.0kPa ， 分別取加載周期 T_f=1.25，3，5 ，分析加載周期 T_f 對土層沉降、土層底部超靜孔隙水壓以及平均固結度的影響，結果如圖7所示.

圖7加載周期對土層固結性狀的影響 Fig.7 Influence ofcyclic loading frequency on the consolidation behavior of soil layers

從圖7中可以看出，循環荷載下土層固結的性狀與荷載的加載周期關系十分密切.循環荷載下軟土的固結性狀呈現出明顯的周期性，且隨著加載周期增大，超靜孔隙水壓力 u 、沉降量S、平均固結度 U_pt 的循環周期逐漸增大，同時， s 與 U_pt 的振幅以及波峰值變大，而 u 的振幅以及波峰值變小，說明加載周期越長，土層孔隙水消散速率以及沉降速率越快，土層到達最終沉降所需要的時間越短.

3.3指數荷載

指數荷載及其無量綱化后的形式分別為：

q（t）=q_u-q_ue^-Dt

式中： D 為指數荷載參數； B 為無量綱化的指數荷載參數，取值為

計算取 H=5.0m I_c=0.1 ， α=15.0 σ₀^′=10.0kPa ，γ_s=10.0kN/m³，q_u=100kPa，m=1.25，i₁=0.5， ，分別取指數荷載參數 B=10^-2，10^-3，10^-4，10^-5， 分析指數荷載參數 B 對土層底部超靜孔隙水壓、土層沉降以及平均固結度的影響，結果如圖8所示.

指數荷載參數 B 直接影響荷載參數第二項 為0所需要的時間，因此 B 越小，指數荷載加載到最大值所需要的時間越長，即加載歷時 T_vc 越大.從圖8可以看出，隨著 B 的減小，軟土層底部孔隙水壓力積累速度越慢，孔隙水壓力的峰值越小且峰值出現的時間越晚，沉降的速率也越低，到達最終沉降量所需要的時間越長且最終沉降量相同.與施工荷載的 T_vc 不同的是， B 對軟土固結的前中后期都有較大的影響.

圖8指數荷載參數 B 對土層固結性狀的影響 Fig.8Influence of exponential loading parameters B on the consolidationbehaviorofsoillayers

4結論

本文基于Butterfield[1]、謝康和等[12]提出的雙對數壓縮、滲透模型，建立了任意荷載下考慮非達西滲流的一維非線性大應變固結體系，并通過退化與相關數據結果的對比，驗證了解的有效性.最后，通過算例分析探究了模型參數對固結過程的影響，得出以下結論：

1）壓縮指數 （I_c） 和滲透模型參數 （α） 越大，平均固結度越小，但軟土固結沉降的最終沉降量只與 I_c 的大小相關.2）非達西參數 （m，i₁） 越大，在固結過程中的相同時刻下土層的沉降就越小，即軟土層固結沉降過程中達到最終沉降值所需要的時間越長.3）施工荷載與指數荷載的加載歷時 （T_vc） 越大，加載速率越慢，軟土層底部超靜孔隙水壓力消散越慢，土層的沉降與平均固結度越小.4）循環荷載下的超靜孔隙水壓、土層沉降以及平均固結度呈現周期性.且循環荷載的加載周期 （T_f） 越長，軟土層底部超靜孔隙水壓力消散越快，到達最終沉降所需要的時間越短.

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