從主范式教學看學生工程實踐能力的培養(yǎng)

摘要：文章系統(tǒng)闡述了如何通過主范式教學有效提升學生的工程實踐能力。首先以班委選舉為教學案例，完整展示了從問題提出、分析到解決的邏輯過程，并對比分析了真值表法與等值演算法在求解主范式方面的優(yōu)缺點。其次，通過具體的算法設計與編程實現(xiàn)環(huán)節(jié)，為學生提供了高效的解決方案，顯著增強了他們的實踐操作能力和邏輯思維水平。最后，結(jié)合全加器電路設計的實際應用案例，進一步鞏固和深化了學生的工程實踐能力培養(yǎng)效果。

關(guān)鍵詞：離散數(shù)學；主范式；工程實踐能力；案例教學；算法設計；電路設計

中圖分類號：G642文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2025）20-0144-03

0引言

離散數(shù)學作為研究離散量結(jié)構(gòu)及其相互關(guān)系的數(shù)學學科，在計算機科學、信息科學及工程管理等領域具有廣泛的應用價值。通過系統(tǒng)學習離散數(shù)學理論，學生能夠構(gòu)建堅實的數(shù)學基礎，為未來的工程實踐奠定理論基礎。該學科概念和理論具有顯著的抽象性與嚴謹性特征，要求學習者在掌握過程中持續(xù)培養(yǎng)抽象思維與邏輯推理能力，這些能力恰恰是工程實踐中的核心素養(yǎng)。實踐教學環(huán)節(jié)在離散數(shù)學課程體系中占據(jù)重要地位，不僅能夠幫助學生深入理解理論知識在工程實踐中的具體應用，更能顯著提升其問題分析與解決能力。此外，實踐教學還能有效激發(fā)學生的創(chuàng)新意識和實踐熱情，實現(xiàn)理論知識與工程實踐的有機融合。

當前離散數(shù)學教學存在若干亟待解決的問題。課程內(nèi)容呈現(xiàn)碎片化特征，部分教師過分強調(diào)理論知識的學習，卻忽視了與工程實踐的有效銜接。這種教學方式導致學生雖然掌握了基礎概念和理論框架，但在實際工程問題解決中難以靈活運用。更值得關(guān)注的是，傳統(tǒng)的“教師主導型”教學模式仍然普遍存在，這種單向的知識傳遞方式缺乏必要的師生互動和思維啟發(fā)，既難以調(diào)動學生的學習積極性，也不利于其工程實踐能力的系統(tǒng)培養(yǎng)。

針對上述問題，本研究選取主范式教學作為突破口，深入探討其在培養(yǎng)學生工程實踐能力方面的有效路徑。作為數(shù)理邏輯的核心概念，主范式在編譯原理、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)及軟件工程等計算機領域具有重要的應用價值[1]。研究表明，主范式教學能夠有效搭建理論與實踐的橋梁，是強化學生工程實踐能力的理想教學內(nèi)容載體。

1主范式的定義

對于給定的命題公式，如果它有一個等價公式，僅由小項的析取所組成，則該等價式稱作原式的主析取范式。反之，如果它有一個等價公式，僅由大項的合取所組成，則該等價式稱作原式的主合取范式[2]。例如，給定包含2個變元的命題公式（P?Q），它的主析（合）取范式為：

（P?Q）??（（??PP∧∨?QQ））∧∨（?（QP∧∨QP））（（主主析合取取范范式式））其中每個小項或大項中都包含2個變元P和Q，且P和Q的順序是一致的。可見，主范式的格式十分整齊美觀，教師可以引導學生如何欣賞主范式。同時，可以得出任何一個命題公式的主合取范式或主析取范式都是唯一的。

2問題的提出

教師可以將主范式的理論知識與工程實踐中的具體問題相結(jié)合，設計典型的教學案例。通過分析這些案例，學生能夠直觀地理解主范式在實際問題中的應用價值。

主范式在邏輯推理中發(fā)揮著關(guān)鍵作用。在離散數(shù)學的推理過程中，通常采用從已知前提出發(fā)逐步推導出結(jié)論的方法。當需要從已知前提推導未知結(jié)論時，可以將所有前提構(gòu)成一個合取式，然后求解該合取式的主范式。基于主范式的唯一性特征，最終求得的主析取范式或主合取范式即為所要推導的結(jié)論。

以下班委選舉案例就是主范式在邏輯推理中的典型應用實例，具體描述如下：

在一次班委選舉中，張紅、李進和王順三位同學選進班委。甲、乙、丙三位同學做出了如下預測：甲說：張紅為班長，李進為生活委員；

乙說：王順為班長，張紅為生活委員；

丙說：李進為班長，張紅為學習委員。

班委名單公布后，發(fā)現(xiàn)甲、乙、丙三位同學恰好都說對了一半。

問：張紅、李進、王順各擔任什么職務？

3問題的分析

教師可以組織學生分組進行討論，讓學生在團隊合作中完成案例的分析。在小組討論過程中，學生可以學會如何與他人協(xié)作、溝通和分享資源，從而增強團隊合作能力。

教師引導學生分析上述案例。通過教師的引導和學生的討論，得出如下分析過程：

1）抽象出原子命題。

原子命題是指在結(jié)構(gòu)上不能再分解出其他命題的命題，也稱為簡單命題。例如：“張紅為班長”就是一個原子命題，“張紅”是主語部分，“為班長”是謂語部分，這兩部分不能再分解，否則就沒有確定含義。

因此，抽象出的原子命題如下：

A：張紅為班長，B：王順為班長，C：李進為班長，

D：李進為生活委員，E：張紅為生活委員，F(xiàn)：張紅為學習委員。

2）把甲、乙、丙三位同學的推測翻譯成命題公式。

因為每位同學都只說對了一半，所以雙條件式兩邊一個為真一個為假。

甲的預測：A??D（簡記為公式G1）；

乙的預測：B??E（簡記為公式G2）；

丙的預測：C??F（簡記為公式G3）。

3）歸納其他約束條件。

由于一個人只能擔任一個職務，例如：張紅只能擔任一個職務，所以“張紅為班長”和“張紅為學習委員”這兩個命題只能有一個為真，因此雙條件式兩邊一個為真一個為假，即A??F（簡記為公式G4）。同理得出C??D（簡記為公式G5）。

同時一個職務只能由一個人承擔，例如：“張紅為班長”“王順為班長”和“李進為班長”這3個命題只能有一個為真，因此雙條件式兩邊一個為真一個為假，即A?（?B∧?C）（簡記為公式G6），B?（?A∧?C）（簡記為公式G7）和C?（?A∧?B）（簡記為公式G8）。

同理得出D??E（簡記為公式G9）。

上述命題公式的翻譯也是數(shù)理邏輯的一個重點，對于培養(yǎng)學生的邏輯思維能力有很大的幫助，要讓學生認識到準確的翻譯是后面順利推理的前提。

4）構(gòu)造最終的命題公式。

以上的命題公式和所有的約束同時成立，最終的復合命題公式G為：G=G1∧G2∧G3∧G4∧G5∧G6∧G7∧G8∧G9。

接下來就是如何求解與命題公式G等價的主范式。對于公式G的主范式，它的每個小項和大項都要包含6個變元。因為要解決的問題是張紅、李進和王順各擔任什么職務，也就是說，他們?nèi)环謩e擔任什么職務是并列關(guān)系，而小項就是合取式，所以，只須求出與公式G等價的主析取范式就可以解決上述問題。上述分析有助于培養(yǎng)學生的分析能力。

4問題的解決

教師鼓勵學生探索不同的方法求解主范式。在尋找最優(yōu)解的過程中，學生可以學會如何從不同角度思考問題，從而提升創(chuàng)新能力和靈活應變能力。

4.1真值表法

使用真值表法求解主范式的思想是：首先列出公式的真值表，然后選出公式的真值結(jié)果為真的所有行，在這樣的每一行中，找到其每一個指派所對應的小項，將這些小項進行析取即得到了相應的主析取范式；再選出公式的真值結(jié)果為假的所有行，在這樣的每一行中，找到其每一個指派所對應的大項，將這些大項進行合取即得到了相應的主合取范式[3-4]。

任何形式的命題公式都可以使用真值表法求解主范式。真值表法易于學生理解和計算，上述公式G的主范式可以使用真值表法求解，然而公式G中包含6個變元，真值表中需要列出26=64種不同的真值指派，計算量很大，容易出錯。因此，解決上述問題使用真值表法不是最佳選擇。

上述分析可以讓學生體會到理論上的解決不等于問題的徹底解決，引導學生積極探索其他更好的方法。

4.2等值演算法

1）首先將公式中的聯(lián)結(jié)詞?或→化歸成∧、∨、┐，再用德摩根律將┐移到命題變元之前，最后用分配律、結(jié)合律將公式歸約為析取范式或合取范式。

2）去掉析取范式中為永假的合取式或合取范式中為永真的析取式，再將范式中重復出現(xiàn)的項和相同的變元合并。

3）若析取范式的某一項中缺少該命題公式中所規(guī)定的命題變元，則可用公式：（?P∨P）∧Q?Q將命題變元P補進去，并利用分配律展開，然后合并相同的項；若合取范式的某一項中缺少該命題公式中所規(guī)定的命題變元，則可用公式：（?P∧P）∨Q?Q將命題變元P補進去，并利用分配律展開，然后合并相同的項。

4）利用等冪律將相同的小項和大項合并，同時利用交換律進行順序調(diào)整，由此可轉(zhuǎn)換成標準的主析取范式和主合取范式[5]。

使用該方法也能夠求解G的主范式。然而，G中包含6個變元，在求解主析取范式時，需要把G1到G9的每個公式都等價變換為包含6個變元的小項，然后析取所有不同的小項，最后得到G的主析取范式。以G1為例，G1?（?A∧D）∨（A∧?Q），一個合取式中每加一個變元，就變成2個合取式的析取，加4個變元就變成16個合取式的析取。這樣G1就變成32個合取式的析取。可想而知，9個公式轉(zhuǎn)換的工作量非常大。因此，解決上述問題使用等值演算法也不是最佳選擇。

上述分析可以讓學生認識到探索精神的重要性。

4.3編程實現(xiàn)

雖然上述兩種方法都能求解G的主范式，但存在計算量過大的問題。考慮到計算機擅長從數(shù)據(jù)組合中篩選滿足約束條件的解，教師可以指導學生通過編程來解決這一問題，這既能提升計算效率，又能鍛煉學生的編程實踐能力。根據(jù)真值表法求解主范式的思想，首先需要列出公式G的64種不同的真值指派，這里使用循環(huán)實現(xiàn)，每個變元循環(huán)取值2次（為真一次，為假一次），6個變元6層循環(huán)即可；然后計算公式G在不同指派下的真值，如果在某種指派下G的真值為真，輸出該真值指派；最后對所有為真的指派所對應的小項進行析取，即得到了G的主析取范式。具體的算法如下：

ffoorr（（BA==00;;BAlt;lt;==11;;BA++++））ffoorr（（CD==00;;CDlt;lt;==11;;CD++++））ffoorr（（FE==00;;FElt;lt;==11;;FE++++））{GG21==dduu__imimpp（B（A，！，E！D）;）;

GG45==dduu__iimmpp（（CA，，！！DF））;;

GG67==dduu__iimmpp（（BA，，！！ABamp;amp;amp;amp;！！CC））;;

GG89==dduu__iimmpp（（CD，，！！AEamp;）;amp;！B）;

8amp;amp;GG9=;G1amp;amp;G2amp;amp;G3amp;amp;G4amp;amp;G5amp;amp;G6amp;amp;G7amp;amp;Gi{fp（rGin=t=f（1\"）ABCDEF|G＼n\"）;pprriinnttff（（\"\"-%-d--%-d--%-d--%-d--%-d-＼%n\"d）;|%d＼n\"，A，B，C，D，E，F(xiàn)，G）;}}從上面的算法可以看出，一個6層循環(huán)就把G的主析取范式的計算問題解決了，這對于循環(huán)語句的運用也是極好的訓練。這里的du_imp（）是實現(xiàn)雙條件運算的函數(shù)，教師引導學生編程實現(xiàn)du_imp（）函數(shù)的功能，可以提高學生對于函數(shù)的運用能力。du_imp（）函數(shù)的代碼如下：

i{nrettduurn_i（m（！pp）（|i|nqt）amp;p，amp;in（t（！qq））||p）;}教師使用學生熟悉的C語言運行此程序，結(jié)果如圖1所示。從圖1可以看出，公式G只在一種真值指派下為真，也就是說，G的主析取范式中只有一個小項。當公式G為真時，B、D和F為真，即王順為班長，李進為生活委員，張紅為學習委員。編程實現(xiàn)的方法快速求解了上述問題，該方法解決了真值表法和等值演算法計算量大的問題，同時計算的準確性高。

上述教學過程能夠激發(fā)學生學習和自由探索的興趣，提高課堂教學質(zhì)量。學生可以先通過理解與模仿，再自主進行創(chuàng)造性學習與研究。

5其他應用

教師可以引導學生在課后拓展思考主范式在其他領域的應用，這對培養(yǎng)學生的科研探索能力具有重要意義。最直接的應用場景當屬數(shù)字電路設計領域，以全加器電路設計為例進行說明。全加器作為數(shù)字電路的基礎功能模塊，主要用于實現(xiàn)帶進位輸入的二進制加法運算。在該電路的設計過程中，主范式能夠有效地分析和簡化邏輯表達式，進而實現(xiàn)電路結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設計。由此可見，全加器的電路設計完全可以作為展示主范式實際應用的典型教學案例。

1）列出全加器的真值表，如表1所示。表1中A、B為兩個加數(shù)，C為來自低位的進位，S為本位和，D為向高位的進位。

2）根據(jù)表1，可以推導出S和D的主析取范式。

S?（?A∧?B∧C）∨（?A∧B∧?C）∨（A∧?B∧?C）∨（A∧B∧C）D?（?A∧B∧C）∨（A∧?B∧C）∨（A∧B∧?C）∨（A∧3B）化∧簡C）S和D的主范式，可以消除冗余的邏輯項，減少所需的基本邏輯門數(shù)量。

S?（?A∧B∧?C）∨（A∧?B∧?C）∨（A∧B∧C）∨（?A∧?B∧C）

?（（（?A∧B）∨（A∧?B））∧?C）∨（（（A∧B）∨（?A∧?B））∧C）

?（（A??B）∧?C）∨（?（A??B）∧C）

?（A??B）??C

D?（?A∧B∧C）∨（A∧?B∧C）∨（A∧B∧?C）∨（A∧B∧C）

?（（（?A∧B）∨（A∧?B））∧C）∨（（A∧B）∧（?C∨C））

4）化簡后的?邏（（A輯?表?達B）式∧可C）以∨（直A∧接B用）于電路實現(xiàn)

表達式A??B用異或門實現(xiàn)，A∧B用與門實現(xiàn)，A∨B用或門實現(xiàn)。根據(jù)步驟3）化簡的邏輯表達式設計全加器的邏輯組合電路，如圖2所示。

通過上述的分析和電路設計，一方面可以使學生深入理解主范式在電路設計中的應用，另一方面可以強化學生的工程實踐能力。

6結(jié)束語

本文以班委選舉案例為切入點，系統(tǒng)闡述了如何通過主范式教學培養(yǎng)學生的工程實踐能力。研究結(jié)果表明，通過將理論知識與實際工程問題相結(jié)合，并指導學生完成問題分析、算法設計和編程實現(xiàn)的全過程，能夠顯著提升學生的實踐操作能力和邏輯推理能力。文章進一步探討了主范式在全加器電路設計中的具體應用，驗證了該方法對強化學生工程實踐能力的有效性。未來研究可拓展主范式在其他工程領域的應用范圍，并開發(fā)更多具有代表性的教學案例。

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【通聯(lián)編輯：王力】