一類帶記憶項的EPDT方程耦合方程組解的破裂

中圖分類號：0175.29 文獻標志碼：A 文章編號：1001-2443（2025）03-0201-08

引言

本文研究如下帶非線性記憶項的EPDT方程耦合方程組的Cauchy問題

其中 是Laplaccg子 μ，ΣΔν² 是非負實數。 為第二類歐拉積分， ε 是任意給定的正常數。記 B_R（0）={x||x|?R}，Rgt;2 。設u₀ u₁ ，0， v₁∈L_loc¹（Rⁿ） 為具有緊支集的非負光滑函數，并且 supp（u₀，u₁，v₀，v₁）?B_R（0） （20

EPDT方程耦合方程組可用于描述具有復雜動力學行為的物理系統。涉及非線性記憶效應的方程可描述流體動力學中的非定常流動、波動傳播中的記憶效應，以及某些物理過程中的信號傳遞現象等。記憶項是指攜帶前期時間記憶的非線性項，被前期時間記憶和當前的時間行為所影響，反映物理系統對過去狀態的依賴性。研究表明，帶記憶項的EPDT方程耦合方程組在某些情形會出現解的破裂現象，即解的空間范數會在有限時間內趨于無窮大。這種現象在物理中對應于系統的不穩定行為。帶記憶項的EPDT方程耦合方程組能夠描述復雜的物理現象并揭示系統中的非線性、記憶和耦合效應，在數學物理中具有重要的理論價值和應用價值。因此，研究帶記憶項的EPDT方程耦合方程組解的破裂性態具有重要意義。

近來，帶非線性記憶項的波動方程解的破裂性態和生命跨度的估計被廣泛關注[1-15]。文[1]研究帶記憶項的波動方程 u_u←Δu=N_γ，p（u） 的 Cauchy問題，其中 ，得到解具有臨界指數p₀（n，γ） ；當 n=1 時， .p₀（n，γ）=∞ ；當 n?2 時， p₀（n，γ） 是二次方程 -（n-1）p²+（n-2γ+3）p+2=0 的正根。證明問題的解會在有限時間破裂并建立解的生命跨度的上界估計。文[2]研究帶弱阻尼項和記憶項的波動方程 u_u-Δu+u_t=N_γ，p（u） 的初值問題，得到解會在有限時間破裂，但未給出解的生命跨度估計。文[3]研究帶非線性記憶項的波動方程 u_tt-Δu+u_t=N_γ，p（u） 的小初值問題。當 1p（n，γ） 時，得到問題存在整體解。文[4]研究帶變系數弱阻尼項的波動方程 u_u-Δu+ a（x）b（t）u_t=N_γ，p（u） 的柯西問題，得到能量空間中解的局部存在性與解的破裂結果。文[5]得到帶結構阻尼項和記憶項的波動方程 u_u-Δu+μ（-Δ）^1/2u_t=N_γ，p（u） 的小初值問題解的破裂。文[6]證明帶記憶項的波動方程耦合方程組局部解的存在性。并且利用迭代方法得到解會在有限時間破裂，但未給出解的生命跨度估計。文[7]研究帶記憶項的拋物型方程 的Cauchy問題，利用檢驗函數方法得到非平凡整體弱解的不存在性。文[8]研究帶非線性記項的Euler-Poisson-Darboux-Tricomi（EPDT）方程小初值問題在次臨界情形解的破裂性態，并給出解的生命跨度估計。其它相關研究見文獻[915]。而關于問題（1）解的破裂性態以及生命跨度估計尚無研究結果。

因此，本研究擬利用迭代方法研究問題（1）解的破裂性態，主要結果如下。

1主要內容

定義1設 u₀，u₁，v₀，v₁∈L_loc¹（Rⁿ） ，并且

同時滿足

其中 B_{R+?l（t）-?l（1）}（0）={x||x?R+?_l（t）+?_l（1）} ，并且滿足積分等式

其中 ，則稱 （u，v） 為問題（1）在 [1，T ）上的弱解。利用分部積分計算得到

定理2設 p ， qgt;1

假設

若問題（1）的解 （u，v） 滿足 ，則解會在有限時間破裂，其生命跨度的上界估計為

其中正常數 C 不依賴 ε 且

注3本文研究 n 維空間中帶非線性記憶項的EPDT方程弱耦合系統的小初值問題。本文將文［8]中研究的帶非線性記憶項的單個EPDT方程的初值問題推廣為帶記憶項的耦合系統情形，同時非線性記憶項中指數 γ₁，γ₂，p 與 q 可取不同值。分別將文[1，10]中研究的帶記憶項的波動方程、帶弱阻尼項的波動方程推廣為帶記憶項的EPDT方程耦合方程組情形，同時利用迭代方法，得到問題（1）的解會在有限時間內破裂，并給出解的生命跨度的上界估計。

注4本文給出記憶項中指數 γ₁，γ₂，p，q 對解的生命跨度估計的影響（見定理1）。當問題（1）中 p=q，γ₁=γ₂ 時，定理2的結果與文[8]中結果一致。當 p=q，γ₁=γ₂，l=μ=ν²=0 時，定理2的結果與文[1]中結果一致。

2 定理2的證明

設

在（4）式和（5）式中令 ?=φ=1 ，得到

對（10）式和（11式關于 χ_t 求導，得到

利用（12）式和（13）式可得

其中 是方程 r²-（μ-1）r+ν²=0 的根。結合（12）式和（14）式，得到

同理，結合（13）式和（15）式，得到

設

其中 δ=（μ-1）²-4ν² 。利用（16）式，對于 t∈[1，T） ，得到

其中 ，利用（8）式，則有

其中 fgtrsimg 表示存在正常數 C 使得 f?C_E 。因此，得到迭代框架

其中 C₀ 是依賴于 n，p，l，γ 的正常數。同理可推出

設 ψ 是線性EPDT方程[12]的伴隨方程的正解，即

?_s²ψ-s^2lΔψ-?（μs^-1ψ）/?s+ν²s^-2ψ=0

設

為（22）式的解，則有 ΔΦ=Φ 且

Φ（x）～C_n|x|^-（n-1）/2e^|x|，|x|?∞，

其中 C_n 是依賴于 n 的正常數.利用（22）式，得到

令 ，則有

記 s（σ）=σ^αη（σ），α=（μ+1）/2（l+1） ，得到

計算得到

其中 因此，可以得到（22）式的正解

ψ（s，x）=s（s）Φ（x）

設

在（6式中令 ?=ψ ，利用（22）式，得到

運用 K_γ'（z）=-K_γ+1（z）+（γ/z）K_γ（z） ，則有

因此

結合（28），（29）和（33）式，得到

通過（31）式可知

設 T₀=T₀（l，μ，ν²）gt;1 使得 s?T₀ ，則有

當 t?T₀ 時，得到

當 t?T₁=2T₀ ，則有

其中 lgt;-1 。則

U₀（t）gtrsimεt^-l，t?T_1°

當 t?T₁ 時，運用Holder不等式，計算得到

其中 1/q^′+1/q=1 當 t?T₁ ，則有

同理，可得

結合（19）式和（35）式，得到

U（t）?C₁ε^pt^{（-（（n-1）/2）（l+1）-（l+μ）/2）p+（n-1）（l+1）+3-γ}，

同理，結合（20）式和（34）式，得到

V（t）?K₁ε^qt^{（-（（n-1）/2）（l+1）-（l+μ）/2）q+（n-1）（l+1）+3-γ}，

其中正常數 C₁，K₁ 依賴于 n，p，q，l，μ，ν²，R，γ₁，γ₂°

下面運用迭代方法計算，假設

由（36）式和（37）式知 D₁=C₁ε^p a₁=（（n-1）（l+1）/2+（l+μ）/2）p，b₁=（n -1）（+1）+3-γ1， Δ₁= K₁ε^q，α₁=（（n-1）（l+1）/2+（l+μ）/2）q，β₁=（n-1）（l+1）+3-γ_2°

結合（20）式和（39）式，得到

其中 和 r₂+1gt;0 ，從而 1）（p-1）+pα_j，b_j+1=r₂+4+pβ_j°

將（38）式代入（21）式，可得

當 j 是奇數時，則有

-（r₂+1+γ₁+p（r₂+1+γ₂））/（pq-1）-n（l+1），

-（r₂+1+γ₂+q（r₂+1+γ₁））/（pq-1）-n（l+1），

b_j=（b₁+（r₂+4）（p+1）∣dle/（pq-1））（pq）^（j-1）/2-（r₂+4）（p+1）∣dle/（pq-1））

0（pq）^（j-1）/2

β_j=（β₁+（r₂+4）（q+1）/（pq-1））（pq）^（j-1）/2-（r₂+4）（q+1）/（pq-1）

當j是偶數時，可知

當 j 是奇數時，則有

計算可知，當 時，可得

類似地，當 時，可知

取 ，當 jgt;j₀，t?T₁ 時，利用（38）、（40）、（42）和（44）式，可得

因此，當 可知 J（t）gt;0 故 。

同理，得到 從而 0于是得到定理2中的生命跨度估計。證畢。

參考文獻：

[1]CHENWH，PALMERIA.BlowupresultfoaseilinearwaveequationwithanonlinearmemoryteJ].AnomaliesinPartialiferential Equations，2021： 77-97.

[2]FINOAZCiticalexponentfodampedwaveequatios witholinearmemoryJ].NonlinearAnalysis，174（16）：5495-505.

[3] D'ABBICCOM.Theinfluenceofanonlinearmemoryonthedampedwaveequation[J].NonlinearAnalysis，2O14，95：130-145.

[4]DANAWI1ANOAZ.Fnitetibowupfoampedwaveequatiosithsacetiedepedentpotentialadoar

ory[J].Nonlinear Differential Equations and Applications，2018，25（5）：1-19.

[5]D'BCCOAaveeqatiowithtructuraldampgadliearmemoryJ]liearDierentialEquatiosandApatio，4 21（5）： 751-773.

[6]CHENWH.Interplayefectsonbow-upofweaklycoupledsystemsfosemilinearwavequationswithgeneralonlinearmemorytersJ]. Nonlinear Analysis，2021，202：112160.

[7]KIRANE，AZKBL.-existeceofobalositiesolutiosfop-placianeqatiosito-learmoyctal andFractional，2021，5（4）： 189-189.

[8]OUANBlowupofsolutiostotheEule-so-Drbou-icoiquatioithoeareoryteJ]ActaMataticaScientia，SeriesA，2023，43（1）：169-180.

[9]FINOAZCricalexponntfordampedwaveequatios witoiearmemoryJ]NoniearAnaysis，21，74（16）：54-505.

[10]LAINA，UJL，ZHAOJLBlowupforitialboundarvalueprobemofwaveequatiowithaonliearmemryin-DJ]CiseAn nals of Mathematics， SeriesB，2017，38（3）： 827-838.

[1]ZHANGGTeciticalexpontfoefractioaldfusioqatioitoareor]athematicaletse Applied Sciences，2018，41（16）： 6443-6456.

[12]FINOAZ，lowutsdderftaleaitisieaemorteJ]ra 75（6）：3122-3129.

[13]D'ABBalldatautifthlerssrboaiwoliearit]alofereatio 2021，286：531-556.

[14]LAINA，HOUYBlow-upandlifespanstmatetoanonlinearwavequationinShwarschildspacetieJ].JoualdeMathatiques Pures et Appliquees，2023，173：172-194.

[15]ZHADB.GlobaltabilityofsolutiostotwodmensioandodimensionsystemsofemilinearwaveequatiosJ]JoualofFuctioal Analysis，2022，282：109219.

Blow-Up of Solutions to a Coupled System of EPDT Equations with Memory Terms

YANJin-fang，MING Sen，HANWei （Department of Mathematics，North University ofChina， Taiyuan O3oo51， China）

Abstract：This paper aims to investigate blow-up dynamics of solutions to the smallinitial value problem for a coupled system of Euler-Poisson-Darboux-Tricomi （EPDT） equations with nonlinear memory terms in n space dimensions.Firstly， we establish lower bound estimates of the constructed functionals.And then blow-up and upper bound lifespan estimate of solutions in the sub-critical case is deduced by using iteration method.

Key words： coupled EPDT equations; memory terms; iteration method; blow-up; lifespan estimate

（責任編輯：馬乃玉）