一類非線性波動方程的行波解的漸近近似

中圖分類號：0175.14 文獻標志碼：A 文章編號:1001-2443(2025)03-0209-06

引言

考慮如下形式的弱非線性波動方程

其中參數(shù) ε>0 是非線性強弱的一種度量， n?2 是正整數(shù)。初始條件為

當 n=3 時，方程(1)為熟知的Klein-Gordon方程，用于描寫冷電子等離子波[1]

若在方程(1)中取 ε=0 ，則簡化為線性方程

利用Fourier變換求解初值問題(2）（3)，可得

其中 A(k) 和 B(k) 由初始條件(2)確定， 。這表明線性方程可以表示為平面波解 u_±(x，t)=e^i(kx±ωt) 的疊加，因此有必要研究非線性方程(1)對平面波傳播的影響。為確定起見，研究右行平面波

按照特征線法，記 θ=kx-ωt ，將直接展開式設(shè)為

u(x，t)=u₀(θ)+εu₁(θ)+?L，

代入方程(1)，并分別令 ε⁰ 和 ε 的系數(shù)相等得 O(1) 方程

和 O(ε) 方程

方程(4)的通解為

u₀=Acos(θ+φ)，

其中A和 φ 為任意常數(shù)。注意到 ，由二項展開式及正弦函數(shù)的性質(zhì)推出

于是方程(5)寫為

當 n 為正奇數(shù)時，方程(7)的右邊含 cos(θ+φ) 項，由于 A 為任意常數(shù)，故導(dǎo)致直接展開式中出現(xiàn)長期項，使得該展開式僅在自變量的某個確定的范圍內(nèi)有效，而不可能在所討論的整個區(qū)域上一致有效[2]。

奇異攝動方法，包括多尺度法、平均法、匹配漸近展開法、合成展開法等經(jīng)典技術(shù)[3-5]，就在于尋求一致有效的漸近解，把非一致有效的展開式變?yōu)橐恢掠行У恼归_式。

多尺度法能有效地處理長期項型奇異攝動問題。本文考慮將此方法應(yīng)用到非線性偏微分方程(1)，以尋求行波解的漸近近似。設(shè)初始條件與平面波 u(x，t)=αcos(kx-ωt) 相對應(yīng)，使得

下面分 n=2m+1 和 n=2m(m∈N₊) 兩種情形進行討論。

1 n=2m+1 情形的多尺度展開

因為考察非線性對右行波傳播的影響，故選取適當?shù)臅r間和空間尺度為 θ=kx-ωt，X₁=εx，T₁= )，則

代入方程(1），化簡得

設(shè)多尺度漸近展開式為

代入方程(9)，并分別令 ε⁰ 和 ε 的系數(shù)相等得 O(1) 方程

和 O(ε) 方程

方程(10)的通解為

其中 A(X₁，T₁ )和 φ(X₁，T₁) 為 X₁ ， T_?1 的任意可微函數(shù)。隨之有

在式(6)中取 n=2m+1 （ m∈N₊) 得

其中

a_j 由式(6)確定。于是方程(11)可寫為

為了消去長期項，必須有

令

ξ=ωX_?1+kT_?1，η=ωX_?1-kT_?1，

則方程(13）和（14)分別簡化為

隨之解出

代入式(12）得

式中 A=A(ωX₁-kT₁)，φ₀=φ₀(ωX₁-kT₁)

利用初始條件(8)有

從而得出

因此，當 n=2m+1 （ m∈N₊) 時，初值問題(1）（8)的解的首項近似為

特別取 n=3 ，得到Klein-Gordon方程滿足初始條件(8)的解的首項近似

這說明相速度 因非線性效應(yīng)而增大，依賴于波幅，特別是波幅越大傳播越快。波速對波幅的依賴是非線性波的典型現(xiàn)象。

2 （204號 n=2m 情形的多尺度展開

考察 n=2m （ m∈N₊) 的情形。由式(6)得

故方程(11)寫為

由于方程(17)右邊的第三項不含 cos(θ+φ) 項，令

解出

A=A(ωX₁-kT₁)，φ=φ(ωX₁-kT₁)

這里 A(ωX₁-kT₁) 和 仍為表達式(12)所給出的函數(shù)，方程(17)未出現(xiàn)產(chǎn)生 O(ε) 量級的長期項，因此需要考察 O(ε²) 階的攝動方程。

為了便于計算，僅考慮 n=2 ，即 m=1 的情形，其他情形類似討論。這時方程右邊的第三項為

由此求出方程(16）的特解

如上所述，在方程(9)中令 ε² 的系數(shù)相等得 O(ε²) 方程

為了消去長期項，必須有

利用行波法，方程(18）和(21)的通解分別表示為

A=A₁(X₁+T₁)+A₂(X₁-T₁)，

φ=φ₁(X₁+T₁)+φ₂(X₁-T₁)，

其中 A₁，A₂ 和 φ₁，φ₂ 是任意的單變量可微函數(shù)．進而從方程(19)和(20)解出

A=k₁(X₁+T₁)+k₂(X₁-T₁)，

其中 代入式(12）得

u₀=A^*cos[θ+φ^*]，

式中 A^*=k₁(X₁+T₁)+k₂(X₁-T₁)，φ^*=[k₁(X₁+T₁)+k₂(X₁-T₁)]A₀ 利用初始條件(8)，由式(15)定出

A^*(X₁)=α，(k₁+k₂)X₁=0

于是

u₀=αcos[θ-α(k₂-k₁)T₁]_o

當 時，取 k₁=k ，則 ；當 時，取 k₂=k ，則 因此，當 n=2 時，初值問題(1）（8)的解的首項近似寫為

相速度為

3 結(jié)束語

本文研究了一類弱非線性波動方程的初值問題。為確定起見，考察單一的右行波的傳播。應(yīng)用多尺度法構(gòu)造非線性行波解的一個漸近近似，通過消去出現(xiàn)在多尺度展開式中的長期項，求出一階的一致有效展開式。結(jié)果表明：長期項的出現(xiàn)與非線性項中 yⁿ 的冪指數(shù) n 的大小無關(guān)，而僅與 n 是奇數(shù)或偶數(shù)有關(guān)。當 n 為奇數(shù)時，長期項出現(xiàn)在展開式的第二項；當 n 為偶數(shù)時，展開式的第二項不出現(xiàn)長期項，而會出現(xiàn)在第三項中，并對 n=3 和 n=2 兩種情形分別給出解的一階近似表達式(16)和(22)。

實際的初始條件未必是單一的平面波，可能是由許多平面波疊加而成，可以類似考察非線性方程對于這種情形的影響，本文不作詳細討論。

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Asymptotic Approximations of Traveling-Wave Solutions for Some Nonlinear Wave Equations

YANG Jie，MAHao，LIUShu-de（SchoolofGreneralEducationandForeignLanguages，AnhuiInstituteofInformation Technology，Wuhu241ooo，China）

Abstract: The initial value problem for some weakly nonlinear wave equations u_xx=u_tt+u+εuⁿ is studied. Because the solution of corresponding linear equation when ε=0 can be written as the superposition of the plane wave solutions，it is worth investigating what the nonlinear equation does to one of these plane waves.An asymptotic approximation of the traveling-wave solution is constructed using the method of multiple scales.The basic ideais to determine a first order uniformexpansion as an approximate solutionof this problemby eliminating secular terms from appearing in the multiple-scale expansion.The result shows that the appearance of secular terms does not depend on the magnitude of n in the nonlinear term but，rather，on whether n is odd or even. More precisely，secular terms in the second term of an expansion when n is odd and does not appear in the second term but does in the third term when n is even.And then first-order approximations of solutions are given respectively for two cases of n=3 and n=2 ：

Key words: wave equations; initial value problems; traveling-wave solutions; asymptotic approximations; the method of multiple scales

（責(zé)任編輯：馬乃玉）