融合線上線下教學資源的 “線性代數”課程 知識圖譜構建研究

線性代數作為高等教育理工科專業的重要基礎課程，其理論性強、概念抽象、知識點之間聯系緊密。然而，在傳統教學中，線上與線下教學資源往往未能有效融合，導致教學內容碎片化、知識體系不夠清晰，學生難以全面把握課程結構與內在邏輯，學習效果不盡如人意。隨著信息技術的飛速發展，知識圖譜技術為解決這些問題提供了新的契機。通過構建“線性代數”課程知識圖譜，能夠將分散的教學資源進行有機整合，以可視化的方式呈現知識脈絡，進而促進學生對知識的理解與記憶，提升教學質量與效率，以適應新時代對“線性代數”課程教學提出的要求。

1融合線上線下教學資源的“線性代數”課程知識圖 譜構建的優勢

1.1資源整合的全面性提升

在整合線上和線下的教學資源以構建“線性代數”課程知識圖譜的過程中，資源整合的全面性得到了顯著增強。傳統線性代數教學往往局限于線下單一教材或課堂講解，教學資源較為匱乏，形式也較為單一。而通過知識圖譜的建設，能夠實現線上線下資源的深度整合。在線上資源方面，中國大學M00C、Coursera及其他豐富多彩的網絡課程平臺提供了高質量的“線性代數”課程視頻。這些視頻由風格各異、學術背景不一的教師授課，多角度地講解線性代數中的概念、定理及其應用。例如，有些視頻注重嚴謹的理論推導，通過細致的板書、慢速的講解節奏來幫助學生深刻理解矩陣的運算邏輯；有些則著眼于實際應用場景，比如運用線性代數知識求解計算機圖形學中圖像的轉換問題，讓學生能夠直觀地體會線性代數在現代科技領域的重要意義。同時，線上還擁有海量的學術論文數據庫、專業論壇和開源學習資料。例如，維基百科中關于線性代數的詳細條目等資料，由眾多專家和學者不斷補充與完善，涉及范圍廣泛，包含基礎定義，前沿研究成果等。線下資源則具有傳統教材的權威性、系統性以及課堂教學的即時互動性等特點。教師在課堂上能夠根據學生的實際學習情況對教學進度和方式進行靈活調整，而教材則為學生提供了一個穩定、可靠的知識框架。通過構建知識圖譜，可以實現線上線下多元案例、前沿知識與基礎知識的融合，以及互動教學的開展。以知識圖譜為例，可將線下課本中對向量空間的基本定義與線上課程中所闡述的量子力學向量空間應用實例聯系起來，使學生在掌握堅實理論基礎的同時，了解它所應用的廣闊領域，使教學資源由單一走向多元、由基礎走向前沿，從而大大拓寬學生獲取知識的途徑和范圍。

1.2知識理解向深度延伸

構建“線性代數”課程的知識圖譜為學生在知識理解方面的深度拓展提供了有益環境。線性代數概念比較抽象，理論性較強，在傳統教學方式中，學生通常很難深刻理解其內在邏輯與本質含義。知識圖譜以直觀的形式展示了知識的結構，并在線性代數中選取了如向量、矩陣、線性方程組、特征值以及特征向量等關鍵知識點作為連接節點，以其相互關系為邊，構建了明確的知識網絡。以矩陣特征值和特征向量為例，借助知識圖譜，學生能直觀看出其和矩陣對角化以及線性變換之間的聯系。在矩陣對角化方面，特征值和特征向量是矩陣對角化過程中的關鍵因素。利用對角化可使矩陣操作簡單化，例如矩陣冪次計算。以知識圖譜為指引，學生可以深入探究特征值和特征向量為何會有如此特性以及他們對矩陣對角化的影響。

1.3高效推進教學互動

整合了線上和線下教學資源后，“線性代數”課程知識圖譜建設在教學互動高效性方面發揮了積極作用。在傳統教學中，教學互動常常受到時間、空間以及學生個體差異等因素的制約。而知識圖譜為教學互動帶來了新的平臺和格局。第一，在線上學習環境下，以知識圖譜為載體的學習平臺能夠記錄學生學習軌跡，例如，學生對知識圖譜上各知識點的學習時長、答題正確率以及重復學習的節點情況。教師可依據這些信息準確了解學生在學習中遇到的困難和困惑。例如，若發現多數學生在特征值計算相關知識點上耗時長、錯誤率高等，教師便可有針對性地制作補充教學資料，或者開展線上答疑活動。第二，知識圖譜便于開展小組合作學習與研討。學生可將知識模塊按照知識圖譜進行分組，并對線性變換等具體知識板塊進行幾何意義上的深入探討。各團隊可借助線上資源搜集不同的案例和講解，再通過線上課堂和線下課堂進行共享與溝通。如此一來，學生之間的互動將更加深入、更具有針對性。

2融合線上線下教學資源的“線性代數”課程知識圖譜構建影響因素

融合線上教學資源與線下教學資源，“線性代數”課程知識圖譜的構建受到諸多因素的共同影響。一方面，資源自身的性質起著至關重要的作用。線上資料來源廣泛，主要包括各大在線教育平臺、學術數據庫和專業論壇，其內容的權威性、準確性與時效性參差不齊。有些在線免費課程可能在知識點的解釋上不夠精確，或者與線性代數的課程大綱不太匹配。而傳統教材等線下資源雖經過精心策劃與審查，但更新周期較長，難以快速反映學科的前沿動態與新興應用領域。例如，隨著大數據與人工智能的快速發展，線性代數被越來越多地運用到數據處理與機器學習算法等領域，但一些線下教材卻很少涉及這些內容。此外，資源的格式和可整合性也不容忽視。線上資源主要包括視頻、文檔和動畫等形式，而線下資源主要包括紙質教材和教具。如何將這些格式各異的資源轉換為適用于知識圖譜建設的統一數據格式，是一個亟待解決的問題。另一方面，技術支撐能力是知識圖譜建設的重要保證。在數據采集環節，需要利用網絡爬蟲技術來準確抓取大量線上資源中與線性代數相關的信息。然而，網站結構的變化、反爬蟲機制以及數據的海量性和復雜性等因素，可能導致采集失敗或數據不準確。在知識表示階段，選擇適當的知識表示模型，如語義網絡、本體等，需要具備一定的專業知識和技術經驗，否則難以準確描述線性代數知識之間的復雜關系。例如，在表達矩陣之間的等價、相似和合同關系時，若技術運用不當，就可能導致知識圖譜上的關系出現混淆。此外，在知識融合時，如何利用數據匹配和實體對齊來統一處理線上和線下資源中同名異義或同義異名的知識，也需要很高的技術水平。

再者，教學主體的能力與態度也會產生深刻影響。教師是知識圖譜構建和運用的主導力量，教師的信息技術能力、線性代數的專業素養以及教學創新意識都至關重要。如果教師對知識圖譜構建技術一知半解，就無法有效整合資源、構建優質圖譜、指導學生運用圖譜學習。同時，學生的信息素養與自主學習能力決定了知識圖譜的應用成效。如果學生對信息的檢索、篩選與整合能力不強，在面對知識圖譜豐富的資源時可能會不知所措，無法充分發揮其個性化學習優勢。例如，在獨立探究線性代數的知識聯系時，要求學生具備一定的信息分析能力，以便對圖譜上的知識脈絡有透徹地了解。

3融合線上線下教學資源的“線性代數”課程知識圖譜構建方法

3.1線上資源的獲取和篩選策略

在整合線上和線下的教學資源以構建“線性代數”課程的知識結構時，線上資源的收集和篩選成為一個基礎且至關重要的環節。

前期要明確資源采集源范圍，例如，知名的在線課程平臺，如中國大學MO0C、網易云課堂等，匯聚了很多大學及教育機構開設的線性代數課程。這些課程內容涵蓋了從基礎概念講解到復雜應用案例分析等多個方面，教學素材多樣。此外，還有知網和萬方等學術數據庫，收錄了許多線性代數方面的學術論文和研究報告，這類資源可以讓學生接觸到線性代數的前沿知識和深入研究成果。除此之外，像MathStackExchange這樣的專業數學論壇和社群也是重要的數據收集渠道。在這里，學生與專業人士將就線性代數學習及研究過程中遇到的問題、看法和體會進行溝通，提供多元的思考角度。在采集過程中，需要采用適當的技術手段。例如，網絡爬蟲技術能夠根據預先設定的關鍵字，如“線性代數矩陣”“線性代數特征值”，在多個大型平臺和網站上自動獲取與之相關的文本、視頻和課件等資源信息。然而，在使用網絡爬蟲時，必須遵守法律法規以及網站的規則，以免因過度采集導致網站癱瘓或引發侵權問題。

在收集了大量資源之后，甄別工作顯得格外重要。應根據“線性代數”課程教學大綱及教學目標進行資源甄別。對基礎階段教學而言，應優先選用講解明確、實例簡單且貼近學生生活實際的內容，例如，一些以動畫方式演示向量運算的視頻資源，這些資源有助于初學者理解抽象概念。對進階學習與拓展研究，則應甄選出具有深度分析且包含嚴密理論推導的學術論文與專業課程篇章，如深度剖析線性代數在密碼學加密算法中應用的論文。同時也要考慮到資源是否準確可靠，優先選用來源權威且信譽良好的平臺資源，如知名大學或教育專家團隊制作的課程資料等，剔除存在錯誤信息或者表述不清的資源，為構建知識圖譜提供優質的線上素材基礎。

3.2線下資源梳理

線下資源對于“線性代數”課程知識圖譜的構建也具有不可或缺的作用，有效梳理數字化資源對建設工作至關重要。線下資源多表現為傳統教材、教師教學教案、課堂板書筆記和實驗實踐指導手冊。

對傳統教材應全面梳理。通常，線性代數教材的知識體系結構是按照從向量、矩陣等基本知識，向線性方程組、特征值和特征向量這一核心內容過渡的順序。最后，對線性空間、線性變換這些比較抽象、全面的知識進行章節安排。梳理時，應抽取各章關鍵知識點、定理、公式以及其詳細推導過程與解釋說明。例如，在梳理矩陣章節時，要將矩陣的定義、運算規則（如加法、乘法、轉置)、特殊矩陣（如單位矩陣、對角矩陣）等內容一一整理出來。教師所制定的教學方案和在課堂上的板書筆記實際上是對教材內容的進一步處理和補充，內容包括教師結合教學經驗所突出的重點難點知識、介紹的獨特教學案例以及分析歸納的易錯知識點。比如，教師可能會將一個實際工程問題的線性方程組建模過程補充到教案中，而這是課本里沒有詳細闡述的。對這幾個方面進行梳理和整合，可以充實知識圖譜。關于實驗實踐的指導手冊，主要整理與線性代數知識應用相關的實驗內容，例如，使用線性代數進行圖像轉換的具體實驗步驟、在數據處理等方面進行矩陣運算實驗，從中抽取與理論知識結合緊密的內容。

梳理完之后，需要對這些線下資源進行數字化處理。對于傳統的紙質教學材料和教案，可以采用掃描技術將其轉換為電子格式，然后使用光學字符識別（OCR）工具將圖像中的文本內容轉換為可以編輯的版本。對于板書筆記，可在拍照后提取和整理文字。如此，通過對線下資源的梳理和數字化，可以在數字化統一平臺上與線上資源進行整合，開展知識圖譜建設工作，從而為建立全面、精準的“線性代數”課程知識圖譜奠定堅實的線下資源基礎。

3.3準確提煉核心知識概念

準確地抽取核心知識概念，是“線性代數”課程知識圖譜建構的核心步驟。線性代數知識體系規模大、內容繁雜，核心概念的精確提煉對于建立清晰高效的知識圖譜具有重要意義。

在知識體系基礎層面，向量與矩陣無疑是線性代數中最核心的基石，向量作為一種既具有規模又具有方向的量度，對其概念的正確理解是后續學習中的重點。在提煉向量概念的過程中，不僅需要明確其在數學上的定義，例如在n維空間里的表示方式，還需要詳細整理其基礎操作，例如向量的加法、數乘操作以及它們的幾何含義。矩陣則是線性代數研究的主要對象之一，其概念涵蓋矩陣的定義、各種特殊矩陣（如對稱矩陣、正交矩陣）的特征。例如，對稱矩陣中元素主對角線對稱的性質是其核心概念的重要組成部分，應準確抽取并凸顯在知識圖譜上。隨著研究的不斷深入，線性方程組成為核心知識范疇。該理論的核心思想涵蓋方程組解的存在性和唯一性的判定定理，如克萊姆法則；以及利用矩陣秩來評估線性方程組解的可能性等方面。在對這些概念進行抽取時，需要對它們的推導過程及適用條件進行細致整理，才能將它們與向量、矩陣及其他概念之間的關聯關系清晰地呈現于知識圖譜之中。例如，線性方程組系數矩陣秩次和增廣矩陣秩次的關系可用于判斷方程組是否有解，而這種關聯關系須在知識圖譜中準確表達。

特征值和特征向量是線性代數中一個無論在理論上還是在應用上都極為重要的概念，在抽取時應著重考慮特征值和特征向量及其矩陣對角化、線性變換等問題的定義、計算方法及其機理。例如，特征向量是在矩陣對應的線性變換下方向不變的向量，特征值表示該方向上的伸縮比例，這一形象的解釋要作為核心概念提取出來，并且與矩陣的操作、線性變換等其他核心概念建立起精確的邏輯聯系。通過這種方式將線性代數中每一部分核心知識概念準確抽取出來，用嚴密的邏輯關系建構知識圖譜，可以幫助學生深入了解線性代數知識體系的內在結構，增強學習效果，提升教學質量。

3.4深入挖掘知識關聯規則

在“線性代數”課程知識圖譜構建過程中，深度挖掘知識關聯規則是關鍵一步。這一舉措能夠將零散的知識點交織成一個緊密聯系的知識網絡。線性代數知識點間具有復雜的內在聯系，對其進行挖掘有助于學生對知識體系的整體性形成深刻認識。

從線性代數基礎概念可知向量和矩陣有著密切的依存關系。向量可視為特殊的矩陣，例如，一個n維向量可看作是 1×n 或n ×1 的矩陣。在進行知識關聯挖掘時，應清楚地認識到這種特殊和一般之間的關系規律。例如，矩陣行向量組、列向量組屬性對矩陣總體屬性的影響等。比如，矩陣的秩次與其行向量組相等，與其列向量組相等，這種關聯規則從空間維度及線性相關性上揭示出向量和矩陣之間存在著內在一致性。

線性方程組和矩陣之間的關聯規則貫穿于線性代數的整個研究過程。線性方程組中的系數可構成系數矩陣，方程組的解算過程實質上就是系數矩陣的一系列變換運算。例如，高斯消元法就與矩陣初等行變換相對應。深入挖掘這一關聯規則，能讓學生明白通過研究矩陣的性質（如矩陣的秩和可逆性）可以判斷線性方程組解的情況（存在唯一解、無解或無窮多解）。例如，在系數矩陣可逆的情況下，線性方程組存在唯一解，這個解可由矩陣的逆和常數項向量乘積求得。

特征值同特征向量及矩陣之間的關系也是挖掘的關鍵。矩陣的特征值和特征向量體現出矩陣在具體線性變換中具有不變性特征。挖掘其關聯規則可知，通過求矩陣的特征值與特征向量，可以實現矩陣的對角化。這一過程在簡化矩陣運算（如計算矩陣高次冪）、求解線性微分方程組等方面有著重要應用。以動態系統分析為例，通過矩陣對角化可使復雜系統變為簡單的對角形式進行研究，其關聯基礎是特征值和特征向量的屬性。通過深入挖掘這些知識關聯規則，并將其清晰地展現在知識圖譜上，可以讓學生在學習時更好地掌握知識脈絡，建構線性代數的完整知識體系，有利于提高學習效果和培養思維能力。

3.5圖譜架構合理設計與規劃

圖譜架構的合理設計與規劃在“線性代數”課程知識圖譜建設中具有重要意義，直接決定著知識圖譜的邏輯性、系統性與易用性。良好的圖譜架構應該能夠清楚顯示線性代數知識中的層次和內在聯系。

在頂層設計中，線性代數知識可劃分為基礎概念層、核心理論層以及應用拓展層。基礎概念層囊括了向量、矩陣和行列式這類最為基礎的概念要素，它們構成了整個線性代數大廈的基石。從圖譜架構上看，基礎概念層應處于底層，且各概念之間相互聯系。例如，向量線性運算是矩陣運算的基礎，而行列式計算則與矩陣的屬性密切相關。

核心理論層涉及線性方程組理論、特征值和特征向量理論、線性空間和線性變換理論，該層是線性代數的核心部分。在圖譜架構設計時，應反映核心理論間的邏輯推導關系。例如，對線性方程組求解問題的研究，為特征值及特征向量問題的提出提供了背景及需要；同時，特征值及特征向量也為線性空間中維度分析及線性變換中矩陣表示等問題提供了一種工具。這些核心理論模塊可以通過有向邊的方式進行連接，并在其上明確標注邏輯關系的描述，如“在…的基礎上開發出來的”和“提供了…的依據”等表述。應用拓展層以線性代數為主線，涉及計算機圖形學、物理學和經濟學中的應用案例。從圖譜架構上看，該層與核心理論層緊密相連，每一個應用實例都應清晰地指向它所倚重的核心理論知識。例如，計算機圖形學中的圖像旋轉、縮放及其他轉換都與線性變換理論相對應。在圖譜中要確立圖像轉換應用與線性變換理論之間的關聯路徑，以便學生在學習應用時能迅速追溯相關理論知識，同時也能讓學生了解理論知識的實用價值。

3.6知識融合邏輯標定要點

對知識融合進行邏輯校準，是“線性代數”課程知識圖譜構建時保證知識準確性和連貫性的重點。由于線上和線下資源種類繁多，來源廣泛，當這些資源被整合到知識圖譜中時，需要經過嚴密的邏輯標定。

在整合不同教材、課程資料中對相同知識點的解釋時，應標定邏輯表述是否一致。例如，對矩陣乘法定義的解釋，有些數據可能是從行向量和列向量內積的角度來解釋，有些則可能集中在矩陣元素相應的運算規則上。在知識融合過程中，有必要厘清兩種提法之間的等價性問題，并將其統一、清晰地邏輯展現于知識圖譜之中。可在知識點的注釋或說明部分對兩種表述之間的轉換關系進行詳細說明，以免學生在學習時被表述差異所混淆。

在線性代數理論推導中，不同的資源可能會使用不同的推導路徑，例如，在對線性方程組解存在唯一性定理的論證中，有的可能首先引進向量組線性相關性概念加以導出，有的則直接由矩陣秩的特性出發。在知識融合方面，需要對這幾種不同推導路徑的邏輯起點、中間步驟與最終結論的一致性進行梳理，并在圖譜上建構不同推導路徑間的聯系。例如，可以設置分支節點來演示各種推導方法，節點間通過注釋來解釋其邏輯聯系，從而使學生對定理證明過程有多角度地了解，開闊思維視野。這樣的知識圖譜構建方式，有助于學生打破單一推導思路的局限，深入理解線性代數理論體系的內在邏輯性與連貫性。這不僅能提升學生在該學科的學習效果，還能培養其邏輯思維與創新能力，為更深入地探索線性代數及相關領域奠定堅實基礎。

4結語

綜上所述，整合線上和線下教學資源，構建“線性代數”課程知識圖譜，是一次有意義的教學研究與實際探索。通過深度剖析線上與線下的教學資源，并有效地整合，同時運用科學合理的知識圖譜構建技術，能夠成功創建一個可清晰呈現“線性代數”課程知識結構的圖譜。通過在教學內容組織、個性化學習支持以及教學評估與反饋等多個教學環節中應用這些方法，可以顯著優化“線性代數”課程的教學狀況，進而提升教學質量與學生的學習成效。

本文系高等學校大學數學教學研究與發展中心項目（項目編號CMC20240618）資助成果。

（作者單位：呂梁學院）