拓展探究：彈簧振子周期的研究與推導

物理學科核心素養包括“物理觀念”“科學思維”“科學探究\"“科學態度與責任\"等四個方面，學生則通過提出問題、假設猜想、實驗論證等實驗探究過程形成模型建構、科學探究等科學思維與解決問題的能力。在高中物理教材選擇性必修一“機械振動\"這一章，我們通過對彈簧振子進行研究得出簡諧運動的定義。在“單擺\"這一節，我們推導得出當單擺擺角較小時，擺球可近似看作做簡諧運動的結論，并對其周期進行深入的探討，得出周期公式為 T= 同時，在這一章中，學生存在一個較大的疑問，即既然簡諧運動是由彈簧振子的運動引起的，那么彈簧振子振動的周期與哪些因素有關？周期公式如何表示？本文基于學生對彈簧振子振動周期的疑問，通過理論與實驗探究得出彈簧振子周期公式。

一、數學理論推導一彈簧振子的振動規律

師：既然我們已經知道簡諧運動的位移一時間公式，我們能不能通過數學推導得出周期公式？

生：可以通過求導得出加速度、回復力、時間公式。過程如下：

簡諧運動位移公式： x=Asin（ωt+φ） 。

對位移二次求導： a=x^′′=-Aω²sin（ωt+φ） 。

回復力： F=-kx=-kAω²sin（ωt+φ） 。

根據牛頓第二定律 F=ma ，由 得出 L

根據理論推導，我們可以得到彈簧振子的振動

周期與振子的質量以及彈簧勁度系數的關系式為

師：既然已經推導得出周期公式，如何通過實驗驗證公式是否準確？

生：可選擇不同質量的鉤碼與不同的輕質彈簧組成彈簧振子，通過計算得出彈簧振子的理論周期，再與實驗測得的振動周期進行比較。

在后面學生的實驗部分，我們選取了質量 m= 163.95g 的鉤碼和勁度系數 k=14.4N/m 的彈簧來進行驗證，根據理論計算得出振動周期 T=0.67s 2

二、實驗原理

（1）通過phyphox軟件磁力計功能模塊采集振子磁場的強度隨時間變化的信息，可描繪出振子的位移一時間圖像。利用正弦曲線擬合，可判斷彈簧振子的運動是否為簡諧振動。

（2）通過控制變量法及圖像法處理數據，探究彈簧振子周期與振幅、重物質量、彈簧勁度系數的關系。

（3）傳統實驗中，對彈簧振子周期的測量一般是使用秒表測 30～50 次全振動的時間，再計算得出周期。一是多次全振動后彈簧振子的振幅會因阻力作用顯著減小，測量會有較大的誤差；二是學生需要在振子每次經過平衡位置時均計數一次，次數多了容易讀錯。用磁力計功能模塊記錄振子的位移一時間圖像，利用設置好的表格記錄數據可直接計算出周期。因為運動傳感器精度高，實時處理數據快，即可有效避免上述問題。

（4）使用托盤天平測出振子和磁鐵的質量。

（5）利用胡克定律測得輕質彈簧的勁度系數。

三、實驗器材

（一）phyphox軟件及實驗裝置介紹

phyphox全稱“physical phoneexperiments\"，可利用微型傳感器對傳統力學實驗進行有效的改進。本次實驗運用的是phyphox軟件中的磁力計功能，其位于軟件的原始傳感器模塊。打開手機phyphox軟件中的磁力計功能模塊，此時靜置在彈簧振子下方的智能手機可以探測彈簧振子底下磁鐵磁場強弱的變化。在實驗過程中，phyphox軟件可以實時探測并顯示出不同振幅條件下彈簧振子下方磁鐵的磁場強弱的周期性變化圖像，軟件探測磁場強弱的周期性變化實際反映的是振子坐標位置的周期性變化，通過描繪得到振子 x-t 圖像，可直接分析得出多次周期性變化的時間，求出彈簧振子的振動周期。

（二）自制彈簧振子實驗裝置

實驗裝置主要由鐵架臺、輕質彈簧、鉤碼（裝有磁鐵）、裝有軟件的智能手機、手機固定架等組成，利用細線將輕質彈簧和鉤碼（裝有磁鐵）懸掛在彈簧上，即可得到一個沿豎直方向振動的彈簧振子。實驗裝置如下圖所示。為避免橫向運動重力和摩擦力的影響，本實驗裝置主要探究豎直方向上的簡諧振動，忽略空氣阻力對振動的影響，此時系統可以被看成理想的彈簧振子。

四、實驗目標

（1）物理觀念：知道彈簧振子的運動是簡諧運動，符合簡諧運動的特點。

（2）科學思維：通過控制變量法分析得到彈簧振子的振動周期與振幅、振子的質量、彈簧勁度系數的關系，并得出彈簧振子的周期公式。

（3）科學探究：學生通過實驗設計、參與實驗形成正確的物理觀念，科學思維素養也能得到發展。

（4）科學態度與價值觀：運用理論對彈簧振子周期公式進行推導以及通過實驗探究得出彈簧振子周期的影響因素，鍛煉了學生的動手能力，使其體驗科學探究過程中理論計算與實驗論證的統一。

五、實驗過程

（一）實驗步驟

（1）使用實驗裝置，將振子提起到一定高度釋放，通phyphox軟件磁力計功能測出彈簧振子的運動周期，用數據采集器描繪出振子的 x-t 圖像，利用正弦曲線擬合，判斷彈簧振子的運動是否為簡諧振動。

（2）保持振子質量、彈簧不變，改變振子振幅，通過振子的 x-t 圖像，計算出振子的周期，并觀察彈簧振子周期隨振幅如何變化。

（3）保持輕質彈簧不變，改變振動物體的質量，通過 x-t 圖像，計算出振子的周期，觀察彈簧振子周期隨振動物體的質量如何變化。改變振動物體的質量，記錄對應的振動物體的質量、周期。

（4）通過設置好的圖表，使用計算機軟件自動繪出圖像，探究 T 與 Σ_m 的定量關系。

（二）數據處理

（1）將彈簧豎直自然放置，測得彈簧無鉤碼懸掛

原長 7.60cm ，使彈簧振子分別以 1cm，2cm 、

3cm.4cm 等不同振幅做簡諧運動，手機從平衡位

置開始計時。利用秒表連續記錄10次全振動的總

時間 Ψ_t ，求得平均值得出振子的周期 。

（2）運用phyphox軟件探究彈簧振子的周期

在彈簧下端掛上鉤碼和小磁鐵，使彈簧振子在豎直方向做簡諧運動，打開手機phyphox軟件的傳感器功能，通過傳感器、數據采集器描繪出振子的 x -?_t 圖像，利用正弦曲線擬合，判斷彈簧振子的運動是否為簡諧振動。當彈簧振子上下振動時，此時傳感器記錄的磁感應強度變化周期等于彈簧振子振動周期。

經多組實驗測得豎直彈簧振子振幅為 1cm 、²cm.3cm.4cm 時，周期分別是 0.71s.0.70 S、0.695s，0.69s 。對于同一個彈簧振子而言，振幅不同，彈簧振子振動的周期近似相同，與振幅無關。利用振子下方的phyphox軟件，當彈簧振子上下振動時，此時磁傳感器記錄的是振子磁感應強度周期性變化數據，測得磁場10次周期性變化的時間，取平均值求出彈簧振子振動的周期。手機測得彈簧振子振幅為 2cm.4cm 時，磁傳感器記錄的磁感應強度變化的周期分別為 0

通過理論計算，質量 m=163.95g 的鉤碼和勁度系數 k=14.4N/m 的彈簧組成的彈簧振子在豎直方向上做簡諧運動的周期 T=0.67s 。而實驗測得的彈簧振子的周期略微偏大，實驗誤差可能源于彈簧具有一定的質量。所以，通過實驗測得的彈簧振子的周期與忽略彈簧質量的理論值相比偏大。在誤差允許的范圍內忽略彈簧振子彈簧的質量，可以認為彈簧振子的振動周期公式為 。

（三）誤差分析

（1）空氣阻力對振子運動產生影響，通過選擇質量大、體積小的鉤碼來盡量避免這種影響，但無法完全消除空氣阻力的干擾。（2）彈簧有自重，實驗中盡量選質量小的彈簧、質量大的鉤碼來減小彈簧自重對實驗的影響。（3）彈簧上端不穩定，振子上下振動時，彈簧存在左右晃動。（4）在記錄的振子位移一時間圖像中讀取時間時，有讀數誤差。

實驗對于同一個彈簧振子而言，測得振子的振幅不同，而彈簧振子振動的周期卻近似相同，這與振幅無關。通過理論公式計算，實驗所用的質量 m= 163.95g 的鉤碼和勁度系數 k=14.4N/m 的彈簧組成的彈簧振子在豎直方向上做簡諧運動的周期T=0.67s 。明顯發現實驗過程中所測得的彈簧振子的周期略微偏大。學生猜測實驗誤差可能源于輕質彈簧具有一定的質量，當彈簧質量不能忽略時，彈簧振子的固有周期 T 與彈簧質量 m 、振動物體的質量 M 和彈簧的勁度系數 k 的關系可以推導如下。

設彈簧的總長度為 L 、質量為 Ψ_m 且質量均勻分布，則單位長彈簧的質量為 ，由于彈簧具有一定的質量，彈簧上各部分的振動可以看作與物體 A 的振動同相，亦即彈簧的總伸長為 x?A 的振動速度為 v_A 時，雖然彈簧上各處的振動速度不同但都應該與 A 的速度同相。對距 O 點為 ξ_l 的一小段彈簧V ，其振動速度可表示為 。彈簧振子的能量由三部分組成，即 式中 ，由于系統做無阻尼自由振動，機械能守恒，有 ，即 （204號

，此即簡諧運動動力學

方程，

由此可得簡諧運動的圓頻率 ，即彈簧振子質量不能忽略時彈簧振子的固有圓頻率，其周期為 所以，通過實驗測得的彈簧振子的周期與忽略彈簧質量的理論值相比偏大。在誤差允許的范圍內，忽略彈簧質量的影響，可以近似地認為彈簧振子的振動周期公式為 T=2π

六、結語

“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行。\"實際上在高中物理中像簡諧運動一樣，基于高中生的認知水平可以深人探究的內容還有很多?；谛抡n程改革對學生核心素養的要求，教師應關注學生的思維發展及核心素養的提升，在教學過程中有效融人探究性實驗，注重培養學生終身學習能力，這樣學生才會學有所得。本文基于學生對彈簧振子的學習，先通過數學方法推導得出理想情況下彈簧振子的周期公式，再帶領學生從實驗設計、實驗原理、實驗操作等步驟親歷探究的過程，從提出問題、小組討論、解決問題、實驗探究到理論驗證及評價總結。這不僅有助于培養學生的思維能力，也有利于提升學生動手解決問題的能力。本文通過具體實驗探究得出彈簧振子的周期 ，再由理論推導與實驗探究使學生感受物理理論統一和諧的美。

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責任編輯：黃大燦