整體視角下的章起始課教學

引言

新一輪課改的根本任務是立德樹人，反映在學科教學中就是培養學生的核心素養，而培養數學核心素養的關鍵就是發展學生的理性思維。

傳統教學過分注重知識的傳授和技能的訓練，目的是讓學生會考試、得高分。新課標理念強調課堂教學既要關注知識與技能，又要關注知識的結構和聯系，還要挖掘蘊含在知識間的規律和方法，目的是引導學生學會學習。

在日常的教學中，我們該如何引領學生學習知識和技能，掌握數學思想和方法，構建知識網絡，發展理性思維呢？現以滬科版九年級下冊第24章第1節“旋轉”一課的教學設計與實施為例進行說明。

一、教材分析

本節課學習圖形的旋轉變換。在小學，學生對旋轉概念有初步了解，這里更詳細地探討旋轉變換的基本性質。圖形旋轉變換比圖形的平移和對稱變換更復雜，難度更大，對學生的幾何直觀能力和空間想象能力有更高的要求。本課學習為后續圓的學習做好鋪墊，具有承上啟下的作用。基于此，確定本節課的教學重點是：旋轉的概念及其基本性質。

二、學情分析

學生已經學習了平移和軸對稱兩種圖形變換及其性質，具有研究圖形變換的基本經驗。本節課可以從生活實例出發，學習概念，類比前面的方法，探究旋轉的基本性質。九年級學生的空間想象能力還不是很強，學習時往往需要借助直觀的圖形，因此，本節課的教學難點是：探索旋轉的基本性質。

三、目標分析

基于教學內容和學情的分析，確定本節課的教

學目標如下：

（1）通過具體實例認識旋轉及旋轉對稱圖形，理解旋轉的意義。（2）通過探索，能發現并理解旋轉的基本性質，積累數學活動經驗，發展數學抽象和直觀想象的核心素養。（3）經歷旋轉圖形的欣賞、分析等過程，感受旋轉變換所蘊含的美。

四、教學實施

（一）情境引人，揭示課題

如圖1，教師用智慧課堂視頻展示“俄羅斯方塊\"游戲，帶領學生從數學角度分析如何對圖形進行適當變換，達到完成游戲的目的。

圖1

教師：俄羅斯方塊游戲中蘊含著圖形變換，關于平移和對稱我們已經深入研究過，今天我們將自光聚焦“旋轉\"（板書課題）。你能舉出生活中旋轉現象的例子嗎？

利用智慧課堂視頻展示生活中的旋轉現象：摩天輪、風車、時鐘、風力發電機的風葉、汽車的輪子等等。

教師：以摩天輪為例，請你說一說對旋轉的理解。

同學們各抒己見，教師引導歸納： ① 從變與不變角度思考，將轎廂抽象為一個動點，動點的位置一直在變，中心點不變，動點到中心點的距離不變。 ② 動點的運動是圓周運動。 ③ 從整體看，整個圓在旋轉；從局部看，每一個點都在繞著中心點做圓周運動。

【設計意圖】游戲引入激發學生興趣。密切聯系生活，通過對現實生活中旋轉現象的觀察，讓學生從生活場景自然過渡到數學研究對象一旋轉。通過問題串引導學生對旋轉本質特征進行抽象，為后面旋轉的定義以及性質的探究做鋪墊，同時為圓的定義（動態）埋下伏筆。

（二）回顧舊知，建構新知學習路徑

教師：回顧前面學習的平移與軸對稱的圖形變換。請以軸對稱為例，說說學習了哪些內容、采用什么方法研究的。你能猜想“旋轉\"變換的學習內容和方法嗎？

學生（回顧）：生活中軸對稱現象一軸對稱的概念一軸對稱的性質一性質應用一相關概念及其聯系（軸對稱與軸對稱圖形）。采用的方法有觀察、操作、猜想、說理。

學生（猜想）：生活中旋轉現象—旋轉的概念—旋轉的性質一性質應用一相關概念及其聯系（旋轉與旋轉對稱圖形）。采用的方法也是觀察、操作、猜想、說理。

【設計意圖】回顧已學的圖形變換，類比推斷新知的學習內容和方法，整體建構單元學習內容。感悟類比是發現和解決問題的重要途徑，有利于加深對圖形變換研究內容、研究方法的理解，為接下來的探究做了方向的指引。

（三）抽象概括，形成概念

教師：我們借熟悉的直角三角板做演示。請仔細觀察（智慧課堂演示三角板的旋轉動畫），并思考如何清晰準確地描述這個旋轉現象。

師生共同概括和歸納，得出三個關鍵要素：旋轉中心、旋轉角度和旋轉方向。

教師：如果將三角板抽象為三角形，觀察平面內圖形的旋轉，你能否給圖形的旋轉下個定義呢？

師生共同完成。在平面內，將一個圖形繞一定點 O ，旋轉一定的角度 θ ，得到另一個圖形的這種變換叫作旋轉。

【設計意圖觀察視頻和動畫，抽象概括出旋轉變換的本質特征，再引導學生類比平移或軸對稱的定義給旋轉下定義，實現知識的遷移，發展學生抽象概括和直觀想象的數學核心素養。

（四）類比學習，探究性質

教師：旋轉中心除了直角頂點B以外，能不能選其他位置？請任意選取一點為旋轉中心，在透明紙上將ABC進行旋轉，并畫出旋轉中心和旋轉前后的圖形。

操作：借助自制工具，任意確定一點為旋轉中心，以任意角為旋轉角，畫出 ΔABC 及其旋轉后的圖形。教師用智慧課堂展臺功能演示操作步驟，學生在學習單上完成操作。

24.1旋轉學習單

操作：

1.在模型板上選取自己的旋轉中心;

2.用圓釘穿過旋轉中心將模型板固定在學案上，描出這個挖掉的三角形圖案；

3.圍繞旋轉中心轉動模型板，再描出這個挖掉的三角形；

4.圖釘固定點為旋轉中心0，旋轉前三角形記作ΔABC ，旋轉后三角形記作△A'B℃'。觀察：我的研究角度是：猜想：我對旋轉性質的猜想是：驗證：我的驗證方法是：

學生進行操作并思考以下問題：你們的旋轉結果都一樣嗎？受什么影響？觀察你和同桌所做的旋轉變換，有什么不變的共性呢？請結合平移、軸對稱性質的研究內容，思考旋轉的性質。

學生通過交流討論得出：當旋轉方向、旋轉角度、旋轉中心的位置不同時，旋轉的結果也不相同。但它們又都有相通之處。

教師通過幾何畫板進行演示，驗證猜想。此環節，教師依次改變旋轉中心、旋轉角度和圖形形狀，引導學生觀察旋轉前后兩個圖形的形狀和大小、對應元素與旋轉中心的關系。

接著教師啟發學生進行說理驗證。如圖2，由旋轉變換可知 OA= OA'， OB=OB^′ OC=OC^′ ∠AOA^′= ∠BOB^′=∠COC^′ ，從而可得 ΔAOB ?ΔA^′OB^′ ， ΔCOB?ΔC^′OB^′ ΔAOC?ΔA^′OC^′ ，由此可證 ΔABC ?ΔA^′B^′C^′ 。

圖2

從而得到如下結論：

（1）對應點到旋轉中心的距離相等。

（2）兩組對應點分別與旋轉中心的連線所成的 角相等，都等于旋轉角。

（3）旋轉前后的兩個圖形全等。

在此基礎上進一步啟發學生思考“旋轉中心 O 與對應點 A?A^′ ，對應點 B，B^′ ，對應點 之間有怎樣關系”，進而對性質進行拓展：

（4）旋轉中心在對應點連線的垂直平分線上。

（5）對應點和旋轉中心的連線構成的三角形都相似，即 ΔAOA^′～ΔBOB^′～ΔCOC^′ 。

【設計意圖】利用智慧課堂的展示視頻指導學生動手操作，使學生活動更加規范有序；帶著問題去操作給予學生方向指導和更多的動手機會。在操作中感悟圖形旋轉變換的不變性，培養了學生的直觀想象能力；性質的探究沿著從直觀到抽象、從特殊到一般、從整體到局部的思路，經歷觀察、操作、猜想、驗證的過程，提升學生思維的嚴謹性；性質的拓展引導學生深度思考，培養學生思維的深刻性，并為性質的應用做好鋪墊。

（五）典例分析，應用新知

為了鞏固所學知識，形成基本技能，安排如下兩個例題：

例1 ΔABC 在方格紙中的位置如圖3所示，以點 A 為旋轉中心，將ABC按逆時針方向旋轉90^° 得到 ΔA^′B^′C^′ 。再以 AC 邊的中點 O 為旋轉中心，將 ΔABC 順時針旋轉 180^° 得到 ΔA₁B₁C₁ 。

圖3

圖4

例2如圖4 4，ΔA^′B^′C^′ 是△ABC繞某點旋轉一定角度得到的圖形，你能找出旋轉中心和旋轉角嗎？

【設計意圖】例1借助方格讓學生動手操作畫出圖形的旋轉對稱圖形，進一步掌握旋轉變換的畫圖方法，領悟旋轉變換的性質，同時為后續研究旋轉對稱圖形作鋪墊。例2由旋轉變換的兩個圖形尋找旋轉中心，是對旋轉對稱性質的逆向和深度運用，有效提升思維的深度。

（六）鞏固練習，再探新知

通過例題學習，學生對旋轉變換的性質和作圖有一定的理解，在此基礎上，安排如下練習，一方面促進學生解題技能的形成，另一方面為新知探究做鋪墊。

如圖5，觀察□ABCD，ΔCOD 可以看成是由哪個三角形通過旋轉得到？旋轉中心是什么？旋轉角度呢？還能找出類似的圖形嗎？口ABCD有什么特殊的性質？你能類比軸對稱和軸對稱圖形的關系，對旋轉變換給出類似的定義嗎？

圖5

定義：在平面內，一個圖形繞著一個定點旋轉一定的角度 θ（0^°lt;θlt;360^°） 后，能夠與原圖重合，這樣的圖形叫作旋轉對稱圖形。這個定點就是旋轉中心。

【設計意圖以熟悉的平行四邊形為紐帶，通過找圖形的旋轉變換，引導學生感悟特殊圖形的性質，然后類比“軸對稱圖形\"與“軸對稱\"概念的聯系和區別，自主探索旋轉對稱的概念。類比猜想旋轉與旋轉對稱圖形的聯系和區別，加深對旋轉變換及其性質的理解，從整體上把握圖形變換的概念、性質、研究思路和方法。

（七）圖片欣賞，感受旋轉之美

旋轉變換來源于生活實際，學生學習了旋轉變換的概念和性質后，將應用這些知識解決生活中的問題。為此，利用智慧課堂展示相關動畫，揭示數學知識在日常生產和生活中的應用：

如圖6，直角 ΔABC 繞著點 O 逆時針旋轉 90^° F^180°?270^° 后可以形成熟悉的風車圖形，改變旋轉中心可以得到趙爽弦圖。如果改變旋轉的角度以及初始圖形的形狀，可以形成美麗的圖案，如果將圖形的旋轉和迭代相結合，還可以讓靜態的圖形動起來。

圖6

【設計意圖】利用信息技術和旋轉變換可以構造很多美麗的圖案，滲透數學美。通過圖形的迭代，還可以產生震撼的視覺效果，讓學生感悟圖形的旋轉變換被廣泛應用于美學設計中，引導學生用數學的眼光去發現生活中美的因素，進而宣傳美、創造美。

五、教學思考

（一）整體把握教學內容，滲透一般觀念

本課立足單元整體，從知識的整體性入手，以一般觀念為引領，引導學生學會學習。設計了諸如“以軸對稱的學習為例，請你說一說我們將如何開展旋轉的學習\"“仿照平移的定義，嘗試給旋轉下定義”“類比軸對稱的性質，猜想旋轉有哪些性質”本節課之后我們還可以研究什么內容\"等問題，旨在讓學生明白“研究一個幾何圖形就是要研究其定義、表示、分類（特例）、性質、判定、應用”“幾何要素之間穩定的位置關系、數量關系就是幾何圖形的性質”“類比學習、知識遷移是幾何學習的一般方法”，從而領會數學知識的內在邏輯，感悟幾何學習方法的一致性。

（二）注重活動，積累基本活動經驗

數學活動是“做數學”的活動，是在數學思維導向下主動進行的有意義的活動。在本課的探索過程中，學生始終積極主動地參與活動，如由實物抽象出幾何圖形，觀察并思考圖形變換中的不變性，對操作過程的分析、對操作結果的反思、對猜想結論的推理論證、鞏固練習的創新思考等等，這些都是具有深度的思維活動，對培養學生的理性思維，積累研究數學對象的基本活動經驗有很大幫助。

（三）借助智慧課堂，落實核心素養

隨著科技的快速發展，課堂教學已進入數字信息時代，數學課堂越來越離不開信息技術。智慧課堂對改進數學課堂教學方式，落實課堂教學自標，提升課堂教學效率等方面都有重要的影響。本課教學中用智慧課堂引入新課，從摩天輪中抽象出幾何圖形；觀察視頻動畫，發現旋轉變換中的不變性；利用展臺演示操作步驟；利用平板中的方格進行圖形變換等，既增加了教學的直觀性，又豐富了教學資源，為突破難點提供了直觀、動態的畫面。學生智慧的火花被點燃，探究的激情被釋放，幾何直觀等核心素養得到升華。

以培養學生數學核心素養為宗旨的課堂教學，要求我們關注知識的內在邏輯，用符合學生認知規律的方法實施教學，既重視學生對知識和技能的掌握，又幫助學生理解知識來龍去脈，既向學生滲透數學思想和方法，又幫助學生積累數學活動經驗，并最終促進學生理性思維的發展。

參考文獻：

羅新兵，盧恒.數學活動經驗的積累與運算[J].中學數學教學參考（上旬），2015（9）：11-14，21.

責任編輯：黃大燦