Geogebra在立體幾何教學中培養直觀想象能力的策略

Geogebra軟件是一款功能強大的動態數學工具，具有強大的圖形繪制、動態演示與交互功能。將其應用于高中數學教學中，可以很好地激發學生的學習興趣，培養學生的數學思維與核心素養。基于此，本文深入探討其對學生直觀想象能力培養的重要作用，通過分析該軟件在提升教學成效、優化教學過程、激發學生興趣等方面的應用價值以及借助動態演示、互動探究、實踐任務和多元展示等具體策略，闡述了如何有效運用Geogebra助力高中立體幾何教學提升學生的數學核心素養。??

高中數學立體幾何部分旨在培養學生對空間圖形的理解、分析和構建能力，這對于學生數學思維的拓展以及未來在理工科領域的學習具有重要意義。但是立體幾何知識具有抽象性和復雜性的特點，導致很多學生無法掌握其內涵、學起來一知半解，再加上傳統教學方式在呈現立體圖形的動態變化和空間關系時存在一定局限性，難以讓學生充分理解和掌握。Geogebra作為一款功能強大的動態數學軟件，融合了代數、幾何、微積分等多種數學領域，為高中數學立體幾何教學提供了新的途徑和方法。它能將抽象的立體幾何知識以直觀、動態的形式呈現出來，幫助學生更好地理解和構建空間概念，進而培養學生的直觀想象能力。在當前教育信息化不斷推進的背景下，探究Geogebra在高中數學立體幾何教學中的應用具有重要的現實意義。?

一、Geogebra 在高中數學立體幾何教學中的應用價值?

（一）提高學生學習成效，培養學生核心素養?

基于高中數學核心素養培育目標，Geogebra軟件在空間幾何教學中的深度整合為知識建構開辟了新路徑。Geogebra軟件作為融合動態建模與可視化分析的技術工具，其對于數學抽象思維的塑造具有顯著效能。當學習者接觸多面體概念時，三維建模系統能將棱柱、棱錐的生成過程動態解構，平面圖形經過平移、旋轉等幾何變換逐步演變為立體結構的可視化呈現。這種從具象到抽象的轉化機制有效彌合了認知斷層，使點線面體的空間關聯性獲得直觀詮釋。在邏輯推演方面，該工具的介入重構了傳統教學模式。以線面垂直定理的探究為例，參數化界面可實時呈現直線與雙相交直線的角度變化，當兩線夾角同步達到90度時，空間直線與基準面的垂直狀態隨即動態生成。這種基于實驗幾何的探索過程，能使學生通過觀察變量關聯自主歸納定理條件，在數據動態反饋中完善演繹推理鏈條，實現從現象觀察到本質提煉的思維躍遷。針對空間想象力的培養難點，三維坐標系的可視化操控提供了突破方案，通過觸控界面任意調整觀察視角，學生可對立方體截面、旋轉體軌跡等復雜形態進行多維度解析，同步觀察正投影與軸測圖的對應關系。這種沉浸式交互體驗有效激活了右腦圖像處理功能，當抽象的空間位置關系轉化為可操控的立體模型時，原本停留在二維平面上的思維定式得以重構，幾何要素的空間分布規律逐步內化為認知圖式。?

（二）優化課堂教學過程，增強知識呈現直觀性?

在空間幾何教學革新中，Geogebra的三維建模功能突破了傳統靜態圖示的局限，當教師從粉筆繪圖轉向動態建模平臺時，知識傳遞方式發生了結構性轉變，借助參數化建模引擎，原本抽象的幾何關系轉化為可交互的拓撲結構，使不同空間的實時反饋成為可能。以異面直線教學為例，傳統二維板書往往導致學生產生視覺欺騙，而三維坐標系中雙直線的空間軌跡可通過觸控面板自由調控，當調整觀測視角至共面閾值時，系統自動標記距離參數，這種具象化操作界面讓“既不相交也不平行”的判定標準從文字定義轉化為可驗證的幾何事實。

（三）激發學生學習興趣，拓展空間思維靈活性?

高中立體幾何教學常因知識抽象性導致學生學習感到枯燥，而Geogebra的動態可視化特性恰能擺脫這一困境，其三維動態建模功能可以將空間圖形轉化為學生可交互的虛擬模型。例如，在演示圓錐截面生成時，學生通過調整截面角度實時觀察從橢圓到拋物線的形態演變。這種沉浸式認知體驗使抽象概念轉化為具象認知，當學生自主拖拽棱柱頂點改變空間結構時，參數驅動的動態反饋機制能即時呈現體積與線面關系變化，使他們在試錯中構建空間邏輯框架。突破二維平面局限的三維觀察者模式更為空間思維拓展提供新維度。在學習正方體展開圖時，學生可以任意旋轉并拆解幾何體，通過多角度觀察建立展開圖與立體形態的映射關系。這種自由探索環境不僅能提升學生的空間表征能力，還能在動態操作中培養幾何直覺。當傳統教具受限于觀察視角時，Geogebra的透視變換功能反而能揭示隱藏的空間對稱性，使學生在虛實轉換間形成多維認知圖式，有效突破空間想象瓶頸。?

二、Geogebra應用于高中數學立體幾何教學培養學生直觀想象的具體策略?

（一）借助動態演示，構建空間圖形認知基礎??

直觀想象能力的培養需要學生對空間圖形有清晰的認知，高中學生在接觸立體幾何初期，往往難以將二維平面上繪制的立體圖形與實際的三維空間物體建立準確聯系。Geogebra的動態演示功能可以有效彌補這一不足，通過動態展示立體圖形的構建過程、不同視角下的形態以及圖形的變換，能幫助學生逐步構建起對空間圖形的認知體系。動態演示能讓抽象的空間概念變得具體可感，讓學生看到圖形是如何從基本元素逐步組合而成的，理解圖形各部分之間的空間位置關系，從不同角度觀察圖形的動態過程，有助于學生克服視覺上的局限性，形成全方位的空間感知。?

例如，在講解棱臺的概念和性質時，教師可以利用Geogebra進行如下操作：先在軟件中繪制一個棱錐。例如，制作三棱錐，通過平行于底面的平面去截這個三棱錐，在截的過程中，利用Geogebra 的動畫功能，緩慢展示截得棱臺的過程，教師可以引導學生觀察截得的棱臺的上下底面形狀、側棱的變化情況以及棱臺各部分與原棱錐的關系。然后教師可以通過旋轉圖形，讓學生從不同角度觀察棱臺，如從正面、側面、上面等方向，使學生清晰地看到棱臺的空間形態，接著，教師可以改變原棱錐的底面形狀（如變為四棱錐、五棱錐等）以及截面與底面的相對位置，再次演示截得棱臺的過程，讓學生觀察不同情況下棱臺的特點有何變化。在這個過程中，教師可以適時提問，引導學生思考棱臺的性質，如棱臺上下底面平行的判定依據、側棱延長線是否交于一點等問題。這樣，學生通過觀察Geogebra的動態演示，能更深入地理解棱臺的概念和性質，構建起對棱臺這一空間圖形的認知基礎。?

（二）開展互動探究，提升直觀想象思維深度?

在Geogebra構建的虛擬探究空間中，學生不再是被動的知識接收者，而是幾何世界的探索者。教師可以通過設置參數可調的三維模型，引導學生通過動態實驗發現空間規律。例如，在研究棱臺體積分割時，學生調整上下底面積比例并實時觀測體積變化，這種手腦協同的探究過程促使表象認知向深層理解轉化，當傳統推導止步于公式記憶時，軟件的可視化反饋反而能揭示空間分割的動態本質，學生在反復驗證中逐步建立數學直覺。探究價值更體現在思維碰撞的環節中，學生基于軟件生成的異構模型展開小組討論，有人嘗試將正四面體進行非對稱切割，有人則對比不同旋轉角度下的投影變化，這些多元視角的交互有助于學生有效突破個體思維定式。當發現軟件模擬結果與既有認知存在沖突時，學生自發返回操作界面進行二次驗證，這種迭代修正的認知路徑正是科學思維培養的理想范式。Geogebra支持的沉浸式探究環境，使空間想象能力在“假設——驗證——重構”的循環中螺旋式提升。?

以“直線與平面垂直的判定定理”教學為例，教師可以依托Geogebra構建多層級認知階梯，首先在三維坐標系中建立可動態調節的幾何模型：設平面α由網格線清晰呈現延展性，直線l以紅色線段形式獨立存在，學生通過拖拽直線端點進行空間定位。教師提示關注直線與平面內不同方向直線的夾角變化，當某次操作中直線偶然呈現垂直狀態時，界面自動標出90度角標識，引導學生記錄該位置的幾何特征。在進一步進行探究時，教師設置認知沖突情境：“若直線僅與平面內某條特定直線垂直，能否保證與整個平面垂直？”學生嘗試固定直線與平面內一條橫向直線的垂直關系，拖動直線沿縱向平移，發現其與平面內其他直線不再保持垂直，這種可視化矛盾促使思維轉向關鍵要素探索。有學生嘗試構造平面內兩條不同方向的直線作為參照系，通過角度測量工具動態追蹤變化值，當直線同時垂直于這兩條相交直線時，系統以藍色高亮顯示所有平面內直線，此時直線與平面的垂直關系在全局視角下得到確立。教師趁熱打鐵提出深層問題：“為何必須是兩條相交直線？”學生通過構造平行直線對進行反例驗證，發現當參照直線平行時，存在直線僅與平行方向垂直卻和平面斜交的情況。這種正反例的對比過程，在Geogebra的參數驅動機制下得到直觀呈現。最終定理形成時，教師調用軟件內置的空間向量分析模塊，將幾何直觀轉化為向量點積的代數表達，完成從形象認知到抽象思維的過渡。?

（三）布置實踐任務，強化直觀想象的應用能力?

實踐任務設計應聚焦真實問題解決，推動知識向能力轉化。教師可以創設建筑結構設計、機械零件優化等情境，要求學生運用Geogebra構建三維模型并驗證設計合理性。例如，在橋梁桁架分析中，學生需要先繪制空間受力圖，再通過參數調節模擬不同荷載條件下的形變狀態，這種沉浸式操作促使空間解析能力具象化。當傳統習題僅停留于數值計算時，數字化實踐反而能揭示幾何關系的動態本質，學生在模型迭代中自然掌握線面關系的實踐應用。任務完成后，組織方案展示與互評環節，通過對比不同設計思路，深化對空間結構的多元理解。

例如，在立體幾何“空間曲面與幾何體參數設計”單元教學中，教師可以創設建筑類實踐任務強化應用能力。以體育館半球形穹頂設計為例，教師先展示實際建筑案例，引導學生分析曲面結構特征，并結合半球表面積公式推導與Geogebra參數化建模雙重目標。學生需要完成從數學抽象到工程應用的完整流程。具體實施時，教師先引導學生推導半球表面積公式，提示學生將曲面分解為可展開單元。在Geogebra中，學生創建半徑可調的半球模型，利用軟件的曲面展開功能，動態觀察球體分割為近似平面單元的過程，當學生嘗試計算材料用量時，發現理論公式與軟件測量值存在微小偏差，這促使他們探究數值逼近方法：通過不斷增加分割精度，觀察計算結果收斂于理論值的現象。在參數優化階段，教師設置多變量約束條件：“若穹頂采用雙層曲面結構，如何調整內外層半徑使材料最省？”學生需要同步考慮結構強度與材料成本，在Geogebra中構建雙曲面模型，利用測量工具計算不同參數組合下的表面積差值，這種多維度決策訓練，將傳統幾何題轉化為具有實際意義的工程優化問題。

（四）利用多元展示，促進直觀想象素養形成?

多元展示能從不同維度促進學生對立體幾何知識的理解和直觀想象能力的發展，學生可以通過多種方式，如制作Geogebra課件、撰寫數學小論文、進行課堂演講等，展示自己對空間圖形的認識、探究過程和結果。這種多元化展示不僅能讓學生更深入地理解知識，還能培養學生的表達能力和創新能力。

例如，在學習完多面體和旋轉體的相關知識后，教師可以組織一次以“我眼中的立體幾何世界”為主題的多元展示活動。學生可以選擇自己感興趣的方式進行展示，如有的學生可以利用Geogebra制作精美的課件，展示多面體和旋轉體的形成過程、性質以及它們在生活中的應用。在課件制作過程中，學生需要深入理解各種幾何體的特征，通過Geogebra的動畫、交互等功能將其生動地呈現出來。有的學生可以撰寫數學小論文，闡述自己對某一類立體幾何問題的研究，如探究不同形狀的棱柱體積變化規律，在論文中利用Geogebra繪制的圖形和數據進行分析論證。還有的學生可以進行課堂演講，結合Geogebra展示的圖形，講述自己對立體幾何知識的獨特理解和感悟。在展示結束后，教師和其他學生進行評價和提問，提出改進建議。?

三、結語?

綜上所述，Geogebra在高中數學立體幾何教學中具有顯著的應用價值，并且通過一系列有效的策略能有力地促進學生直觀想象能力的培養。從提高學生學習成效、優化課堂教學過程到激發學生學習興趣，Geogebra為立體幾何教學帶來了新的活力和方法。借助動態演示、互動探究、實踐任務和多元展示等策略，學生能逐步構建起對空間圖形的認知基礎，提升直觀想象思維深度，強化應用能力，最終形成全面的直觀想象素養。在教育信息化不斷發展的今天，教師應充分利用Geogebra等先進的教學工具，不斷探索創新教學方法，為學生的數學學習和核心素養發展創造更好的條件。

注：本文系廈門市直屬中小學2021年度課題“基于Geogebra下中學數學直觀想象核心素養的案例研究”（課題編號：ZSX2021076）的研究成果。