核心素養立意的高中數學章起始課教學設計與實施

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A[文章編號] 1674-6058（2025）20-0017-04

在核心素養背景下，高中數學章起始課并非傳統意義上某一章節的第一課時，而是具有極強概括性、能開啟本章新內容學習的重要課程.新課程改革以來，一線教師雖在各類培訓和學術著作中了解到章起始課的重要性，但在實際教學中，受理論知識儲備不足、教學進度緊張等因素制約，很多章起始課流于形式，未能充分發揮教學價值.基于此，本文依據《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》對學科核心素養的培養要求，以“隨機抽樣”章起始課為實踐載體，構建“整體認知一情境建模一思維進階”三位一體教學模式.通過實證研究，揭示了章起始課在知識體系建構、思想方法滲透、學習動機激發等方面的重要價值，為高中數學章起始課教學提供了可操作的范式，

一、落實整體認知

章起始課是單元教學的開篇，統攝全章內容，能助力學生整體把握全章學習內容和方法，構建良好的認知結構.在章起始課中，教師應系統設計教學，幫助學生搭建知識框架、明確學習目標、感知內容關聯、落實整體認知.整體認知旨在讓學生全面、系統地理解本章內容，而非掌握零散知識點.章起始課要助力學生構建知識框架，明晰本章在整個數學課程中的地位及各小節間的聯系.

“統計\"引言教學需解決三大問題：（1）為什么要學習統計學知識？（2）統計學是什么？（3）學習統計學知識的一般路徑是什么？

首先，教師展示多領域案例，如第七次全國人口普查數據、2018一2023年國內生產總值柱狀圖、某校學生身高情況分析、各學科考試合格率曲線圖、某電視臺收視率情況、牛奶抽檢情況等統計數據，讓學生深切感知統計學知識在現代生活中的應用，明確學習統計學知識的必要性.

其次，章引言作為“先行組織者”，可激活學生認知結構中的相關知識，加強新知識與已學知識的聯系.對此，教師可搭建“統計\"章節知識框架（如圖1），揭示本章邏輯主線和結構關系，助力學生形成整體認知，并引導其向更深層次發展.

圖1“統計\"章節知識框架

最后，從學生終身發展需求來看，落實核心素養培養要求需加強“一般觀念\"的指導.研究\"統計”

知識的一般路徑為“收集數據 - 整理數據 -分析數據 - 獲得結論”.在本章引言教學中，通過連通新舊知識，明確本章研究的思想方法和路徑，讓學生學會學習與研究，并自覺運用，達到“授之以漁”的育人效果.

實踐表明，開展章起始課教學能顯著提升學生的數學學科核心素養，其作用機制體現在優化知識建構方式、強化數學思想滲透、增強數學文化認同等維度.

本章第一課時采用“情境一問題一活動一結果”的系列化教學活動設計，既遵循教學規律，又能系統體現整體認知.在“隨機抽樣”教學中，以全國人口普查和美國總統選舉為情境，提出抽樣調查的必要性和合理性問題，引導學生親歷簡單隨機抽樣的全過程，總結數據收集的方法和途徑，并應用于生活實際.如此，學生不僅能掌握必要的知識技能，積累基本活動經驗，感悟抽樣及樣本估計總體的思想，還能提升發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，發展數據分析與邏輯推理素養．

二、情境建模設計

在高中數學教學中，引導學生感受數學的實際應用價值至關重要，而情境建模是實現這一目標的關鍵手段.情境建模指的是將現實問題轉化為數學模型，再運用數學方法求解，進而展示數學的實際應用價值，它是連接抽象數學知識與現實世界的橋梁.為讓情境建模更好地體現數學的實際應用價值，需讓學生經歷“實際問題 $$ 數學抽象 $$ 模型構建 $$ 實踐驗證 $$ 優化應用”的完整過程.以下是具體案例與分析：

情境1：我國于2020年開展第七次全國人口普查，標準時點為2020年11月1日零時，主要數據于2021年5月11日由國務院新聞辦公室正式公布.此次普查涵蓋了豐富的人口信息，具體關鍵數據如下：

總人口：14.1178億人（與2010年第六次全國人口普查相比增長 5.38% ）

性別比：男性占比 51.24% ，女性占比 48.76%. 總人口性別比（以女性為100，男性對女性的比例）為105.07.

年齡構成：0—14歲人口占 17.95% ，60歲及以上人口占 18.70% （老齡化加劇）.

城鄉人口：城鎮人口占 63.89% （城鎮化率持續提升）.

民族人口：漢族人口占 91.11% ，各少數民族人口占 8.89%

這些翔實的數據反映出我國人口發展的諸多新趨勢，如老齡化、少子化等.同時，此次普查也為制定國家發展規劃、完善人口政策提供了重要依據.

情境2：在1936年美國總統選舉中，著名雜志《文學文摘》進行了一次民意調查，他們從電話簿、機動車注冊表及俱樂部會員表上選取1000多萬人作為調查對象，最終收到238萬份回復，統計調查結果如表1所示.

表1統計調查結果

年輕的蓋洛普民意調查機構采用分層抽樣法，按地域、年齡、收入、教育程度等將美國選民劃分為子群體，再從各子群體中按比例隨機抽取樣本.其典型全國調查樣本量約1000人，統計時科學應對潛在偏差，成功預測羅斯福連任．最終，羅斯福以62% 的選票輕松獲勝，蓋洛普由此聲名大噪，《文學文摘》則倒閉歇業.

以上情境建模分析：

1.實際問題.借助上述兩個真實情境激發學生學習興趣，讓學生真切體會數學的實際應用價值，增強學生的學習動力.

2.數學抽象.從實際情境中提煉關鍵要素，如普查、抽樣調查、總體、個體、樣本、樣本容量等概念.通過提問引導學生思考，如“總體是什么？\"“如何確保樣本的代表性？”，幫助學生將實際問題轉化為數學問題，培養學生的數學抽象素養.

3.模型構建.設計學生實驗，讓學生運用不同的抽樣方法并比較其優缺點.例如，口袋中有紅、白兩種顏色共200個小球，除顏色外，大小、質地完全相同，要求學生通過抽樣調查估計袋中紅球所占比例.

將學生分為三組開展實驗，抽樣方式分別為放回抽取、不放回逐個抽取、不放回一次性抽取.每個小組按 30，40，50，60，70 等不同樣本量抽取，并將數據記錄在實驗報告中.通過實驗，嘗試解決以下問題：（1）放回抽樣與不放回抽樣能否估計總體？（2）有放回摸球和無放回摸球各有何特點？（3）從總體中逐個不放回隨機抽取 n 個個體作樣本，與一次性批量隨機抽取 n 個個體作樣本，這兩種方法是否等價？（4）抽取樣本時，樣本量是否越大越好？

4.實踐驗證.引導學生運用不同模型開展實踐，收集并分析數據，抽象概括出簡單隨機抽樣的定義（見表2）.如此，概念的生成更自然，學生也能掌握科學的抽樣模型.

表2兩種簡單隨機抽樣的定義

5.優化應用.學生討論思考后，反思實驗不足并提出改進方案，如樣本量是否充足、抽樣方法是否恰當、是否有遺漏群體等.此外，隨著信息技術的發展，人們越來越多地利用計算器、數學軟件、統計軟件等工具生成隨機數.課堂上，學生通過實際操作演示交流，深刻體會到信息技術工具生成隨機數的便捷優點.

三、思維進階路徑

思維進階指從低階思維向高階思維逐步發展的過程，核心是提升認知能力、拓展思維深度.學習和解決問題時，思維進階常表現為從簡單的記憶、理解，逐步過渡到分析、評價、創造等復雜認知活動.

若要在教學中實現學生認知邏輯的階梯式提升，教師需搭建認知腳手架，設計思維進階的問題串，確保各環節過渡自然.同時，活動設計要充分調動學生的學習積極性，激發其學習興趣，啟發深度思考，培養理性思維和科學精神，進而發展學生的數學學科核心素養.以下是“隨機抽樣\"的認知腳手架搭建及進階問題串設計方案.

（一）認知腳手架搭建（見表3）

表3認知腳手架搭建

認知腳手架搭建旨在為學生提供結構化支持，引導其在學習中實現從低階思維到高階思維的轉變.本章起始課設計需突破傳統課時限制，以“事實一概念一應用”為明線、“事實一方法一方法論”為暗線規劃，圍繞概率、統計思想展開教學.在經驗喚醒層和方法探究層，引入生活實例，喚醒學生初中已學知識，加深學生對概念的理解.隨后，讓學生操作實驗獲取不同的抽樣方法，在對隨機試驗“思考一總結一歸納\"的過程中逐步形成概率統計思維，揭示數學學科本質.

思想升華層是教學的關鍵環節，需處理好以下兩點：

（1）核心問題鏈：為何要抽樣？（體現總體與樣本的辯證關系）如何科學抽樣？（明確隨機性原則的數學表達）抽樣誤差的本質是什么？（滲透概率思維）.

（2）大觀念錨點：借助“用部分推斷整體”的統計思想，串聯簡單隨機抽樣、分層抽樣等具體方法，形成“數據獲取一數據處理一數據推斷”的完整認知脈絡，滲透統計思想.

（二）問題串進階設計

問題串進階設計遵循從低階到高階逐步深入的原則，助力學生實現從基礎概念理解到復雜問題解決，再到創新思維培養的過渡.

1.低階問題（記憶與理解）

問題1：普查和抽樣調查的優缺點分別是什么？

問題2：抽樣調查的目的是什么？

問題3：回顧1936年美國總統羅斯福意外勝出事件，預測結果出錯原因是什么？該調查的總體、個體分別是什么？如何獲取“好”樣本？

2.中階問題（應用與分析）

問題4：口袋中有1000個大小、質地完全相同的紅球與白球，如何估計紅球的占比？

問題5：你能概括出簡單隨機抽樣的定義嗎？

問題6：簡單隨機抽樣的關鍵詞有哪些？其特點是什么？

問題7：家具廠要為樹人中學高一年級制作課桌椅，需了解全體高一年級學生的平均身高以設定可調節課桌椅的標準高度.已知該校高一年級有712名學生，若用簡單隨機抽樣調查高一年級學生的平均身高，應如何抽取樣本？比較抽簽法和隨機數法，它們各有什么優缺點？如何在具體實例中選取合適方法？

3.高階問題（綜合與創新）

問題8：（人教A版高中數學教材必修第二冊習題9.1第11題）你可能想了解全校同學生活、學習中的一些情況，例如，全校同學比較喜歡哪門課程，每月的零花錢平均是多少，喜歡看《新聞聯播》的同學的比例是多少，每天大約什么時間起床，每天睡眠的平均時間是多少，等.選一些自己關心的問題，設計一份調查問卷，利用簡單隨機抽樣方法調查你們學校同學的情況，并解釋你所得到的結論.

問題9：抽樣誤差是方法缺陷還是必然存在的數學特性？

這些問題串由基礎概念逐步延伸至高階應用，涵蓋理解、分析、綜合、創新和批判性思維等多個層面.低階問題幫助學生掌握基本概念和操作步驟；中階問題引導學生將知識應用于具體問題并分析優劣；高階問題鼓勵學生綜合運用多種方法解決復雜問題，批判性評估其有效性，激發其創造力，實現思維進階訓練.

本研究精心構建“整體認知一情境建模一思維進階”三位一體教學模式.其中，以整體認知錨定知識框架，搭建穩固的知識體系；運用情境建模打破理論與實踐壁壘，讓知識不再局限于書本，而是能靈活應用于實際場景；借助思維進階促進學生從操作技能躍遷至統計素養，全面提升學生的數學能力.教學實踐表明，此課堂改變“概念一例題一練習”的線性教學邏輯，成為學生學科核心素養培育的“戰略支點”，為核心素養下的數學教學提供理論參考，引領其邁向新高度.

[參考文獻]

[1］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準：2017年版2020年修訂[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2]章建躍.核心素養統領下的數學教育變革[J].數學通報，2017，56（4）：1-4.

[3]章建躍.核心素養立意的高中數學課程教材教法研究[M].上海：華東師范大學出版社，2021.

（責任編輯 黃春香）