問題串視域下初中數學課堂教學的實施路徑

1引言

陶行知先生曾言：“發明千千萬，起點是一問.”問題是數學學習的原始驅動力，問題串對于數學教學的作用更是不容小概.它不僅能讓學生的數學學習不斷深人，對于數學教師而言還能充分發揮其主導作用.

問題串既是知識結構的顯性表達，更是思維發展的隱形階梯.其本質特征包含以下三個方面：認知發展維度、知識建構維度和思維訓練維度.在認知發展維度上，教師可以在遵循“最近發展區”理論的基礎上，通過設計梯度問題使學生完成從現有水平到潛在水平的階梯式建構，激活認知圖式并培養元認知監控能力；在知識建構維度上，通過縱向深度聯結、橫向遷移整合與逆向溯源解構，將碎片化知識編織成具有生成性的立體化意義網絡，促進認知同化與跨情境遷移；在思維訓練維度上，借助邏輯鏈條、批判辯證與創新開放的問題設計，系統培養學生的邏輯推理、反思質疑與求異創造能力.問題串的核心價值就在于通過結構化的問題序列推動思維進階，優秀的問題串能大幅度提升學生在課堂中的參與度，并深化學生對基礎概念的理解.我們在解題教學中，應在考慮學生數學現實的基礎上精心設置問題串，精細提問、深度追問幫助學生在頭腦中“自然地”生成解題思路、啟迪學生思維，而不是一味向學生灌輸一道習題的解答過程.本文以2024年成都市中考數學第25題的第二小問為例，從解題教學與教學策略兩個方面談談其具體的運用方式.

2 試題呈現

如圖1，在平面直角坐標系 xOy 中，拋物線 L：y =ax²-2ax-3a（agt;0） 與 x 軸交于 A，B 兩點（點A 在點 B 的左側），其頂點為 C，D 是拋物線第四象限上一點.當 a=1 時，若 ΔACD 的面積與 ΔABD 的面積相等，求 tan∠ABD 的值.

圖1

3 教學簡析

3.1初步探尋：精細提問，逐一分析問題1 題目條件與所求是什么？

子問題1—1 這道題需要我們得到什么？

子問題1－2A、B、D點的坐標我們是否知道？

子問題1-3 我們還知道哪些點的坐標？

子問題1—4從條件“若 ΔACD 的面積與△ABD的面積相等”中我們能獲得什么？

本題是有關二次函數的一道綜合性較強的試題，主要考查學生對二次函數與一次函數的理解與應用.在初步探尋階段，我們通過設置問題串對題目條件與未知量進行精細提問，幫助學生真正讀懂題意，并回歸定義利用化歸的思想將未知量轉化為“某直角三角形中 ∠ABD 對邊與臨邊的長度”隨后通過問題串引導學生羅列出已知條件并對其逐一分析： ：A，B，C 點的坐標是已知的，而 D 點坐標未知；在對條件“若 ΔACD 的面積與 ΔABD 的面積相等”進行符號化的過程中，我們發現根據已有的條件無法表示出其面積的表達式，可能需要考慮引入輔助元素.該過程我們基于學生的數學現實設置詳細的問題，引導學生學會在題目中捕捉有用信息，這樣一來不僅能使學生在掌握讀題方法的同時明晰題意和初步的解題思路，還能為引入輔助元素作好鋪墊，并與后續的解題教學環節更好地銜接，從而使得整個解題教學猶如“渾然天成”，而非生硬的排列組合.

3.2深入探究：以末為始，深度追問

問題2 如何求出 的值？

子問題2—1我們知道直角三角形中才能出現tan，怎么產生tan∠ABD？

子問題2－2如果要求出這樣產生的tanABD的值，我們需要求出哪些線段長度？

子問題2—3怎樣才能求出這些線段長度？

以上問題串是對初步探尋階段所提問題的深度挖掘.在問題2中我們深度貫徹“以末為始”的思想，引導學生以未知量作為起點進行深挖，搜尋有用的解題思路.結合初步探尋階段的討論，我們在已有思路——將未知量轉化為“某直角三角形中 ∠ABD 對邊與臨邊的長度”的基礎上進一步追問（子問題2^-1） ，啟發學生思考并尋找 的來源.我們的思路在這一次深度追問下便更加明確了：如果我們能夠證明 ΔABD 是直角三角形，就可以通過求∠ABD 的對邊 AD 與臨邊 BD 得到答案；或者我們也可以通過輔助線構造一個直角三角形，再在構造后得到的直角三角形中求出相應線段，從而得到最終答案.這樣一來，我們便成功地將所求的未知量轉化到直角三角形中對線段的長度進行討論.在追問如何求解線段長度（子問題2一3）時，結合問題1學生會發現 D 點坐標的必要性.在這一階段我們充分激活學生的已有知識，對現有的條件進行深入追問，讓學生在教師的引導下體會“踞腳就能摘到果子”的成就感，從而積極思考，參與到數學學習的過程當中.這一過程對培養學生的數學思維是非常有利的.

3.3破題成“思”：層層設問，形成思路

問題3 如何將“已知”與“應求”形成聯結，形成解題思路？

子問題3—1 已經知道的哪些條件可以用于求出這些線段？

子問題3-2 已知點的坐標是否對求出這些線段有用？

子問題3－3已知條件是否夠用？是否還需要添加輔助線，做出一些“特殊”的線段、點？

子問題3一4基于已有的條件“ ΔACD 的面積與 ΔABD 的面積相等”，如何添加輔助線？

該問題串為“階梯式”問題串，在這種問題串中前一個問題通常是后一個問題的基礎.子問題3—1與3一2著眼于現有的條件并對其進行充分利用，進而提出子問題3一3將“已知”與“應求”聯系起來，并考慮輔助元素的必要性，最后提出子問題3一4.在提出子問題3一4時要注意，此時應提醒學生思考在對 ΔACD 與 ΔABD 的面積進行符號化表達時的困難所在，從而利用一定的技巧順利引入輔助元素，成功破題.在這一階段，我們通過設置“階梯式”問題串讓學生自己思考引人輔助元素的必要性，改變以往“上帝視角”式的灌輸解題技巧，強硬植入輔助線.在問題3里，這些看似簡單但極具方向性的問題由淺入深、逐層遞進，帶領學生分析題意使輔助線自然而然地生成，使得學生經歷了一個充滿理性與邏輯的發現過程，從而能夠找準方向，順利破題，進而提高學生分析問題與解決問題的能力，培養學生的邏輯思維.

4策略分析

二次函數問題是初中數學的核心內容，也是中考考察的重點與難點，其高度綜合性與復雜的計算過程，常使學生陷入“條件碎片化感知—思路斷層化銜接”的認知困境，難以在短時間內厘清思路從而無法妥善解決此類問題.從教學層面思考與歸因，我們會發現其根源在于在課堂教學中教師未能依托問題串理論構建系統化的思維引導體系，以至于在此類問題的教學中未能有效培養學生對于已知條件與題干提示的敏銳度.同時，缺乏帶動學生思考的教學流程是主因，教師總是急于將答案呈現在學生眼前，忽視了啟發學生思考，而培養學生獨立解決問題的能力才是我們的目的.此類問題的教學瓶頸突破需回歸“以問題串重塑教學流程”的本質，將抽象的函數綜合問題轉化為可操作的子問題串，逐步引導學生捕捉關鍵信息并搭建條件之間的關聯，引導他們獨立建構解題思路，并培養解決問題的能力.對此在教學策略方面有以下兩點建議.

4.1 精細提問“析”題

在問題串理論視域下，教師在引導學生分析題目時所進行的“精細提問析題”本質上就是“知識激活層”錨點問題的系統化設計.通俗地講即為搭建符合學生原始認知順序的解題思路框架，引導學生自主思考與探索.換言之，在梳理思路時應當順應學生思考問題的一般流程，精細提問只是骨架，其中的血肉需要通過學生獨立思考得到.在這一階段我們可以遵循“目標導向——條件解構—直觀表征”的原則，提醒學生關注：“這道題需要我們得到什么？”“從已知條件中我們能獲得什么？”等問題，激活學生的目標意識并引導學生對題干信息進行符號化轉譯.需要注意的是，這些問題需具備普適性與精細度，對學生未來解決問題能起到一定的啟發與引領作用的，應避免“怎么分析題目”這樣籠統的問題，確保每個問題都能成為學生思維推進的明確的“墊腳石”.

該階段我們只是希望能夠梳理出大致的條件與思路，并將題意讀懂、讀透.所以在設計這一階段的問題串時可以停留在表面，不必過于深人.教師應確保提出的問題具體、明確，避免模糊或不明確的問題.提問時使用簡潔、明晰的語言，以便于學生理解和回答.除此之外還應積利用數學結合的數學思想方法直觀地理解問題，并找出其中的規律和關系.在遇到一些較為特殊的已知條件時，或者是有助于學生解決問題的技巧時，還應及時提醒學生關注并在之后遇到同樣的情況時反復發問，提高學生對題自條件的敏銳度，讀懂出題人給我們的暗示，

4.2 深度追問“破”題

問題串理論指導下的階梯式問題串的設計，本質上是對耶克斯·多德森動機理論的實踐轉化：通過“難度梯度—思維坡度—動機強度”的動態平衡機制，構建\"低階切入——中階過渡——高階突破”的探究路徑.在教學過程中可以利用問題串由易到難，引導學生逐層深入地探究問題.根據耶克斯·多德森的動機理論，任務難度越高，動機的最佳水平呈下降趨勢.通過階梯式問題串的設計，能夠培養學生的學習興趣，提高學習動機，減少畏難情緒的發生.

在上述教學中設置的問題3中，先拋出一個簡單的子問題3一3作為“緩沖帶”，引導學生思考“構造輔助線的必要性”，再借助子問題3一4“如何結合面積公式設計輔助線”形成具體的思維指向，順理成章地引入輔助線，從而以深入的觀察與精細的思維成功破題.這種“必要性追問—方法性引導”的問題串使輔助線的引入不再是教師的突發靈感，而是學生基于條件分析的自然推論，體現了問題串思維腳手架的核心功能.

我們在整個教學過程中都應牢記：切忌直接灌輸.教師在課堂上應給足學生深入觀察與思考的時間，并且在講解題目時多分析思路，帶領學生書寫“空缺版流程圖”，而不要直接板書解答過程.課下讓學生自已去思考并完善“空缺版流程圖”，從而自己完成題目解答過程的書寫.

5結語

如果說問題是數學的心臟，那么“問題串”就是學生探究難題時迷霧里的明燈.“問題串”對學生的數學學習具有非常強的導向作用.在教學過程中，教師應將“精細提問，深度追問”的思想以問題串的形式外化，化繁為簡，促進學生對數學知識的理解與吸收，充分發揮教師的主導作用與學生的主體性地位.這將是提高數學教學效果的一把利刃.

參考文獻：

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