波利亞理論下的高中數學“復雜情境”問題教學探索

【摘要】高中數學“復雜情境”問題是將數學知識依托于某個背景出現，常以大篇幅文字和數學論述為主，表述過程抽象隱晦，“復雜情境”問題體現了數學的應用價值，是聯系數學和生活實際的橋梁。本文闡述了波利亞解題理論與高中數學“復雜情境”問題的密切聯系，并結合具體實例說明了理論應用的教學策略和實施步驟，使不同類別“復雜情境”問題形成一定的思維范式，大大增加了解題的成功率。

【關鍵詞】波利亞；復雜情境；教學；高中數學

新時期國家急需選拔具備綜合應用能力的創新型人才，而數學復雜情境問題是選拔創新人才的重要題型，勢必在高考中會越來越被重視。學生面對此類問題常遇到理解上的障礙，無法有效地將這些新穎問題情境與已有的數學知識相聯系，而波利亞解題理論所蘊含的步驟及思想可以幫助學生解決此類困惑。波利亞解題理論是由數學家喬治·波利亞（George Pólya）提出，其核心思想集中在“如何系統化地解決數學問題”，并通過《怎樣解題》等著作構建了經典的解題框架。該理論不僅適用于數學領域，還對科學、工程等問題解決場景具有指導意義。

一、波利亞解題理論的具體應用

為了提高“復雜情境”問題的教學效率，高效提升學生解決這類問題的能力，可以利用波利亞解題思想中的“怎樣解題表”來指導學生順利解題，解題的過程分為理解題目、制定計劃、執行計劃和回顧四個階段進行。雖然波利亞理論的這四個階段具有可重復性和普適性，但并不是死板的、一成不變的，需要靈活對待，可根據不同“復雜情境”的具體情況指導學生完成解題。基于此，結合“復雜情境”問題的特征，提出以下教學步驟：

1.理解題目：讀思踐悟，培養審題習慣

使用波利亞理論解決高中數學“復雜情境”問題時，首先要弄清楚題目的情境結構特征。例如是生活生產情境還是科學科技情境，又或是歷史文化情境等，不同的情境可使學生產生不同方向的聯想，再結合已有生活經驗和已學數學知識，可形成認知過程—策略體系的全方位調控。

（1）注重學生文字閱讀理解能力的培養。要獲取有效的信息就要在大量的文字、表達式上進行數學加工，因此要加強學生對數學中“三種語言”的熟練轉換。

（2）引導學生從情境中尋找問題的線索。復雜情境問題的表達對學生來說存在不小的閱讀障礙，引導學生提煉情境中的有效數學信息，才能方便找到解決的辦法。

（3）教師要結合審題環節學生的認知特點，在教學中進行專門的審題訓練，通過“讀—思—踐—悟”的過程幫助學生養成對復雜情境問題的審題定向思維，可通過結構化訓練、元認知引導、變式實踐等策略，幫助學生建立系統化的審題思維模式。

2.制定計劃：抽絲剝繭，構建解題框架?

制定計劃是解決“復雜情境”問題的關鍵環節，學生需要從繁雜的信息中提煉出數學模型，明確解題方向。?

（1）聯想知識儲備，激活解題線索。面對復雜情境，學生首先要在腦海中快速檢索與題目相關的數學知識。例如，在遇到以經濟增長為背景的函數問題時，需聯想到指數函數、對數函數的性質和運算公式。通過這種知識聯想，將抽象情境與熟悉的數學概念建立聯系，為解題提供理論支撐。?

（2）選擇合適策略，規劃解題路徑。除了正常的解題策略之外，可以嘗試特殊化策略，從特殊情況入手，尋找規律，進而推廣到一般情況；或采用逆向思維策略，從問題的結論出發，逐步反推所需條件，確定解題步驟。?

（3）分解問題目標，降低解題難度。復雜情境問題往往目標宏大，學生可將其分解為若干個小目標。通過這種方式，將復雜問題簡單化，使解題思路更加清晰，也便于學生逐步推進解題過程，增強解題信心。?

3.執行計劃：嚴謹有序，落實解題步驟?

執行計劃是將解題思路轉化為實際答案的過程，要求學生保持嚴謹的態度，確保每一步計算和推理準確無誤。?

（1）規范書寫，清晰呈現思路。在書寫解題過程時，要按照邏輯順序，規范使用數學符號和術語。在進行公式推導和計算時，每一步都要有依據，不能跳躍步驟。這樣不僅有助于學生自身檢查解題過程，也便于教師批改和發現問題。?

（2）逐步驗證，確保過程準確。對于一些復雜的計算，還可以采用估算或特殊值代入的方法進行初步驗證，及時發現并糾正錯誤，避免因一個小錯誤導致整個解題過程失敗。?

（3）靈活調整，應對突發情況。在執行計劃過程中，可能會遇到預設思路無法推進的情況。此時，學生要保持靈活，及時調整解題策略。例如在使用某種方法求解函數最值時，發現計算過于復雜，難以得出結果，可嘗試換用導數法或利用函數的單調性等其他方法求解；在幾何證明中，如果輔助線的添加沒有達到預期效果，可重新分析圖形特點，嘗試新的輔助線添加方式。?

4.回顧：反思總結，深化解題認知?

回顧是對解題過程的復盤和升華，有助于學生鞏固知識、積累經驗，提升解決復雜問題的能力。?

（1）檢驗答案合理性。將最終答案代入題目情境中，檢查是否符合實際意義。在科學科技情境的運動學問題中，計算出的速度、時間等數值不能為負數；在生活生產情境的經濟問題中，計算出的成本、利潤等結果要符合實際的經濟邏輯。同時，還要檢查答案是否滿足題目中的所有條件，確保答案的完整性和準確性。?

（2）總結解題方法，提煉通性通法。回顧解題過程中所運用的方法和技巧，思考這些方法在其他類似問題中的適用性。通過總結，將具體問題的解法上升為一類問題的通用解法，提高解題效率。?

（3）拓展問題深度，培養創新思維。在回顧過程中，鼓勵學生對情境進行拓展和變式思考。探索新的解題方法和結論。這種拓展思考有助于學生加深對數學知識的理解，培養創新思維和探索精神。?

二、案例分析

案例：（全國新課標Ⅱ卷）某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽隊由兩名隊員組成，比賽具體規則如下：第一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次，若3次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成員為0分；若至少投中一次，則該隊進入第二階段，由該隊的另一名隊員投籃3次，每次投中得5分，未投中得0分，該隊的比賽成績為第二階段的得分總和。某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨立。

（1）若p=0.4，q=0.5，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊成績不少于5分的概率。

（2）假設0＜p＜q：

（ⅰ）為使得甲、乙所在隊的比賽成績為15分的概率最大，應該由誰參加第一階段比賽？

（ⅱ）為使得甲、乙所在隊的比賽成績的數學期望最大，應該由誰參加第一階段比賽？

分析：本題屬于復雜情境中的字母符號情境，首先，比賽規則分為兩個階段，第一階段每隊派一名隊員上來投籃三次，如果三次都沒中，該隊就淘汰得0分，而除此之外只要有中的就能進入下一階段了。在第二階段由另一名隊員投籃三次，投中一次得5分，未投中得0分，且比賽的總成績就為第二階段的得分總和。從這里不難看出比賽的得分可能為0分，5分，10分和15分，也即第二階段為一個二項分布。

第（1）問解題過程：

理解問題：分別給出了甲乙的投籃命中率，并且告訴我們由甲參加第一階段的比賽。求他們這隊得分不少于5分的概率。從這里可以得出甲乙這一隊肯定進入了第二階段，并且第二階段至少投進了一個球。

擬定計劃：得分不少于5分，這是個分步求概率的問題，首先得進第二輪，也就是第一輪的時候別都空了，因此“正難則反”，用1減去全投空了。然后不少于5分，起碼得進一個，所以可能是5分，10分，15分，有三種情況直接從正面來算要考慮三種情況比較麻煩，同樣從反面來算，“正難則反”這樣只要用1減去一個都沒中的情況就可以。最好再把兩步的概率相乘即可。

執行計劃：甲中的概率為，所以甲不中的概率為，乙中的概率為，乙不中的概率為，所以能進入

第二輪的概率為P進入第二輪=1-（）3=。

進入第二輪以后乙至少進一個P乙至少進一個=1-（）3，所以兩步相乘得到p=×=0.686。

回顧反思：主要體現了“正難則反”的思想，總體來說比較基礎，難度不大。

第（2）問的第（ⅰ）小問解題過程：

理解問題：為使得甲乙所在隊伍的比賽成績為15分的概率最大，應該由誰來參加第一階段的比賽？題目無非就兩種情況，要么甲參加第一階段，要么乙參加第一階段，所以把甲先上得分為15的概率算出來，再把乙得分為15的概率算出來，比較大小即可。

擬定計劃：不管誰先參加比賽都得進入第二階段，這里的思路和第（1）問一樣利用“正難則反”，然后第二輪全中才可能得15分，也就是三次全中。所以也是個分步求概率的問題，題中給出0＜p＜q，所以甲中的概率為p，甲不中的概率為1-p；乙中的概率為q，乙不中的概率為1-q。分別求出兩種情況的概率再比大小即可。

執行計劃：①甲先上：P甲=[1-（1-p）3]q3；②乙先上：P乙=[1-（1-q）3]p3，再比較這兩個概率的大小，所以我們做差。這里的計算需要足夠的細心，是比較容易出錯的地方。

p甲-p乙=（3p-3p2+p3）·q3-（3q-3q2+q3）·p3=3pq·（q-p）（p+q-pq）=3pq（q-p）[1-（1-q）（1-p）]，0＜p＜q，所以q-p＞0；[1-（1-q）（1-p）]＞0所以p甲＞p乙，所以由甲參加第一階段的比賽。

回顧反思：本題的思路并不難，難點在計算上。所以在講解的時候可以多講解幾種計算方法，總結計算的方法技巧，讓學生多練習。

第（2）問的第（ⅱ）小問解題過程：

理解問題：甲乙誰先參加比賽會使甲乙所在的隊伍的成績期望最大，可以得到隊伍得分X的取值的可能為0，5，10，15，分別算出甲先上和乙先上的期望，再比較大小。則再算期望是此題的重點。

擬定計劃：X取0，5，10，15，分別算出隨機變量對應的概率的思路會比較繁瑣。分析發現得0分可以不用計算到期望中，而除0以外的得分是由第二輪投籃決定的。所以令X表示第二階段乙投中的次數，則X服從二項分布，但還要滿足能進入第二階段，所以還要乘以甲進入第二階段的概率P=[1-（1-p）3]。

執行計劃：甲和乙分別先上的概率E（x）甲=3·q·5·[1-（1-p）3]，E（x）乙=3·p·5·[1-（1-q）3]，兩式相減得15q（3p-3p2+p3）-15p（3q-3q2-q3）=15pq·（q-p）[3-（p+q）]，q-p＞0，3-（p+q）＞0，pq＞0，所以甲先上的期望比乙先上的期望大。所以由甲參加第一階段的比賽得分期望是最大的。

回顧反思：本題也是主要考的計算，但是在算期望的時候觀察題目特點，利用二項分布來求期望，相對于把每種得分的情況都算出來再求期望的計算量會大大的減少。所以要觀察題目的特點，選擇最優的解題方法和計算方法能大大的縮短做題時間和提高做題的正確率。

三、總結反思

在面對高中數學復雜情境問題時，波利亞解題法的第一階段可以幫助學生明確問題核心，避免學生因問題的復雜性而產生理解偏差，確保從一開始就把握問題的正確方向。第二階段可以幫助學生啟發思路生成，鼓勵學生聯想相關知識和方法，有助于學生打破思維僵局，加大解決復雜問題的可能性。第三階段可以幫助學生構建解題策略，波利亞解題法要求學生嚴格按照計劃進行計算和推理并記錄解題過程，每一步的進展都能增強他們的信心，從而更有動力繼續解題。

解決復雜情境問題后，回顧反思階段還可以培養學生的批判性思維和創新思維，學生在反思過程中可以對自己的解題方法提出質疑，探索是否有更好的解法，也可以對問題進行拓展和延伸，提出新的問題或思考方向，培養學生的創新意識和探索精神。

【參考文獻】

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