“引導一探究\"式教學在初中數學教學設計中的應用

學生主動參與探究，發現問題、解決問題，對形成體系知識及理解知識的內涵很重要.在平時的教學過程中，教師應該注重創設有效的教學情境，引導學生主動發現問題、提出問題、解決問題，推動學生的全面發展.

1設置問題情境，激發學生的興趣

例1如圖1，點 P 在 ∠AOB 的角平分線上，分別在 OA 上畫出點 E ，在 OB 上畫出點 F ，使得 PE= PF ，你能畫出幾種情況？

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

分析讓學生獨立思考此問題并動手作圖.圖2到圖5是學生思考后作出的四種情況，基于對稱性，前三種情況學生很容易想到，而第四種情況只有少數學生能想到.圖5一出，筆者就提出問題：就這個圖，你可以利用所學知識編一道怎樣的數學題？學生A很快就給出答案：角度的數量關系.筆者進一步提問：哪些角的數量關系？學生A繼續回答：∠OEP 和 ∠OFP 的數量關系，這也就順理成章地引出了例2.

設計意圖提高學生自主探究思考、動手操作的能力，同時培養學生善于提出問題、解決問題的能力.這也符合課程標準提出的評價不僅要關注學生的數學學習結果，還要關注學生數學學習過程.很多學生都是盲目地刷題，沒有深入理解問題的本質，雖然做了很多題，但若題目稍有變動就不會做，這是因為學生平時缺乏探究鉆研的精神，自主提出問題、解決問題的能力有待提高.教師通過“引導一探究”式教學會讓學生很有成就感，促使其更加積極地去解決自己提出的問題，提高學生學習數學的興趣和信心.

2典型例題，透析性質，巧構全等，解決問題

例2如圖6所示，已知在四邊形 OEPF 中，OP 是 ∠EOF 的平分線， PE=PF .請問 ∠E 與 ∠F 有怎樣的數量關系？

圖6

圖7

圖8

解析 方法1 如圖7，截取 OM=OE ，

連接 PM ，

因為 OP 平分 ∠EOF ，

所以 ∠EOP=∠POF ，

因為 OP=OP ，

所以 ΔEOP?ΔMOP ，

所以 EP=PM，∠E=∠PMO #

因為 EP=PF ，

所以 PF=PM .

所以 ∠F=∠PMF

因為 ∠PMF+∠PMO=180^°

所以 ∠F+∠E=180^° ：

方法2 如圖8，延長 OE 到 M ，使 OM=OF ，因為 OP 平分 ∠EOF ，

所以 ∠EOP=∠POF

因為 OP=OP ，

所以 ΔFOP?ΔMOP

所以 MP=PF ∠M=∠F ，

所以 PE=PM ，

所以 ∠M=∠PEM

因為 ∠PEM+∠OEP=180^°

所以 ∠F+∠OEP=180^°

設計意圖 基于學生畫的圖，學生提出的問題，編制一道例題，鼓勵學生獨立思考探究后進行小組討論，再總結解題方法.經過一番討論交流后，學生給出了兩種解題方法，截長法和補短法，這兩種方法是幾何學中非常重要的解題方法.截長法：由角平分線的對稱性，想到在 OF 上截取一段線段和OE相等，即可得到三角形全等，進而將線段、角度等條件相結合，最終得到 ∠F+∠E=180^° .補短法：通過延長 OE 可以得到和 OF 相等的線段，即可得到三角形全等，從而得到角相等和線段相等，最后轉化可得∠F+∠E=180^° .通過這道例題可以培養學生對幾何條件的綜合分析與邏輯推理能力.

變式如圖9，在 ΔABC 中， ∠BAC=108^°，AB= AC，BD 平分 ∠ABC ，交 AC 于點 D ，求證 .BC=CD+ AB.（用兩種方法）

圖9

圖10

圖11

證明 方法1 如圖10，在 BC 上截取 BE=

AB ，連接 DE ，可得 ΔABD?ΔEBD ，所以 ∠A=∠BED=108^°，AB=BE ，所以 ∠DEC=180^°-∠BED=72^° 因為 AB=AC 所以 所以 ∠EDC=180^°-∠DEC-∠C=72^° ，所以 ∠EDC=∠DEC ，所以 DC=EC ，所以 BC=BE+EC=AB+CD ：方法2 如圖11，延長BA到點 F ，使得 BF=

BC ，連接 DF ，可得 ΔBDF?ΔBDC 所以 ∠F=∠C=36^°，DF=DC 業因為 ∠FAD=180^°-∠BAD=72^° 0

所以 ∠FDA=180^°-∠FAD-∠F=72^°，

所以 ∠FAD=∠FDA ，

所以 AF=FD ，

所以 AF=CD ，

所以 BC=BF=AB+AF=AB+CD

設計意圖在解答線段和差問題時，常通過截長補短法，將兩條線段的和或差集中在一段線段上.經過例題1的引導探究，學生很快可以類比例題1用截長補短的方法構造三角形全等，將線段角度進行轉移，進而得到結論.這道例題旨在深化學生截長補短構全等的思想，促進學生進一步理解角平分線的性質，培養學生類比探究的能力.

3鏈接中考，理解新知，應用新知，促進內化

例3如圖12，在 ΔABC 中， ∠BAC 的平分線AD 與邊 BC 的垂直平分線 MD 相交于點 _D，DE⊥ AB 且交AB的延長線于點 E，DF⊥AC 于點 F ，若AB=3，AC=5 ，求 AF 的長.

圖12

圖13

解析 如圖13，連接 BD，CD ，因為DM垂直平分 BC ，所以 DB=DC 因為 AD 平分 ∠BAC .DE⊥AB，DF⊥AC 所以 DE=DF ，所以 RtΔBDE?RtΔCDF ，所以 BE=CF ，在 RtΔADE 和 RtΔADF 中，因為 AD=AD ，DE=DF ，所以 RtΔADE?RtΔADF ，所以 AF=AE，AE=AB+BE ，AF=AC-CF ，所以 2CF=AC-AB=2 ，所以 CF=1 ，

所以 AF=AC-CF=4

設計意圖在例題2及其變式的基礎上，進一步將圖形復雜化.解決這類問題的關鍵在于將復雜的幾何圖形簡單化，即在復雜圖形中提煉出基本的幾何圖形進行解題.學生小組經過激烈的討論后，有些小組的學生能夠畫出基本的圖形，利用前面的結論將線段進行換算，可以很快解決問題.在這個過程中，筆者以學生為中心，運用“引導一探究”式教學方法，有效地激發學生的數學思維能力和推理能力，促進學生積極思考，同時鍛煉學生的語言組織表達能力，完全體現學生的主體地位.角平分線的對稱性及相關模型在解決三角形、圓等背景下的問題時應用廣泛.學生通過以上例題變式及中考鏈接的訓練，能夠學會探究與解答角平分線和其他幾何圖形結合的復雜問題.

4歸納總結，積累經驗

截相等，構全等：采用截長補短構全等的方法，實質是利用了角平分線的對稱性，構造全等三角形.在解答線段和差問題時，常通過截長補短法，將兩條線段的和或差集中在一段線段上.當題目的已知條件中出現角平分線，且角的兩邊長度不同時，可以運用截長補短法，在角的長邊上截取與短邊相等的線段，或者延長短的邊與長的邊相等，再利用平分角構造三角形全等，進而得到一些相等的線段和角度來解決問題.

5結語

在平時的教學中，教師不能一直用傳統的教學方式滿堂灌，應遵循新課程標準，以學生為主體.教師在課堂上不僅要關注學生對知識的掌握和理解，更要注重學生的思想方法和情感態度.教師要注重引導學生主動探索數學知識，讓學生主動發現、提出、分析、解決問題，甚至大膽自己編題，培養學生勇于實踐、敢于探索的學習精神，大力培養學生的數學學習能力和數學核心素養.更具開放性的課堂也更容易調動學生的積極性，使學習效率遠超盲目刷題

參考文獻：

[1徐陳明.與角平分線有關的輔助線的作法[J].語數外學習（初中版），2024（1）：31-32.

[2]張海萍.“引導一發現”教學模式在初中數學課堂的應用與思考——以“角平分線的性質”教學設計為例[J].數學教學通訊，2025（2）：67-69.