談中學數學建模教學的實踐與探索

數學建模是將實際問題轉化為數學問題，并通過建立數學模型來求解和解決實際問題的過程.在初中開展數學建模教學，有助于學生更好地理解數學知識與實際生活的聯系，提高學生運用數學知識解決實際問題的能力，培養學生的創新思維和實踐能力.筆者歷經十余年數學建模課程的實踐與探索，總結了一些數學建模教學的經驗，本文結合“軸對稱性質應用一最短距離問題”，從“數學建?！备拍罱缍?、數學建模課堂基本結構、在初中階段滲透數學模型方法與思想應注意的幾個問題、數學建模教與學活動設計的原則與思考四方面進行闡述.

1數學建模的界定

數學建模作為應用數學解決現實問題的思想和方法，是學科育人和創新人才培養的有效載體.2011版《義務教育數學課程標準》把“模型思想”作為十個核心概念之一，明確指出“模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑”.《普通高中數學課程標準（2017年版）》中確定數學建模是數學學科的六大核心素養之一.2022年版《義務教育數學課程標準》把“模型觀念”作為初中階段核心素養之一，具體表現為“模型意識”，其內涵為對數學模型普適性的初步感悟，

2數學建模課堂基本結構

下面就以“軸對稱實際應用一路徑最短問題”為例，談一下初中數學建模教學課堂基本結構.

“數學建模的學習”以發現問題、提出問題為開始，直至解決問題的全過程，都盡可能給學生提供自主探究的機會，培養學生主動參與的積極性.建模課堂基本結構：

（1）創設情境，提出問題；

（2）自主探究，分析問題；

（3）合作交流，解決問題；

（4）實踐應用，深化問題；

（5）類比發現，探究升級；

（6）回顧反思，自我總結.

2. 1 創設情境，提出問題

本環節就是模型準備環節，教學時，教師應重視創設問題情境.教師可通過設置懸念，編擬與實際生活相關的問題，運用開放題、應用故事等方式創設情境，讓學生思考，激發學生探索與解決的興趣

例如在\"軸對稱實際應用—路徑最短問題”講授時可采用“將軍飲馬”的情境.相傳，海倫是古希臘亞歷山大里亞城精通數學、物理的學者.一天，一位將軍向他請教一個問題：從圖1中的A點出發，到筆直的河岸去飲馬，然后再去 B 地，走什么樣的路線最短呢？海倫稍加思索，便解答了這個問題.這個問題后來被稱為“將軍飲馬”問題，請運用你所學的知識，在圖中畫出最短路線，并簡要說明作法.

圖1

2.2 自主探究，分析問題

本環節為模型假設與模型建構環節，教師依據實際問題情境引導學生自主探究，分析問題，教師需要做到：

（1）創設自主探究的氛圍.教師一定要讓學生先獨立思考，為學生創造一個自主的時間和空間，讓學生能夠獨立、自由地進行數學活動，充分發揮學生主體作用，將傳統的被動式、接受式學習轉變為探究式學習.

（2）創設安靜自由的實踐環境.有的教師在學生實踐環節不斷進行干預，急于指出學生的問題.本環節要保證學生有充分的時間進行探索，把發現的機會和樂趣留給學生.

本環節通過數學模型分析，解決問題：

（1）根據題意，將實際問題抽象為數學模型.（2）轉化為數學問題：在 L 上找一點 P ，使 PA+ PB最短.

2.3合作交流，解決問題

本環節完成模型求解，特別是模型檢驗與模型分析環節，利用問題來引起學生的求知欲.教師要做到：（1）保障小組之間合作交流學習的充足時間和空間；（2）展示交流環節，在教師積極正面的評價之下，學生能自信表達自己不同的見解；（3）教師要有適時調控課堂的能力，建立師生、生生間多維度的互動方式；（4）引導學生總結提升，在師生、生生思辨過程中，進行總結歸納，引導學生高階思維能力發展.

圖2

例如將軍飲馬問題，學生討論、交流產生了各種答案，對于學生的答案不直接肯定或否定.為了檢驗學生的模型是否可行，教師可建議其使用計算機的幾何畫板的測量功能.使用工具的能力也是數學建模非常重要的能力之一.學生對自己找到的各點進行測量記錄，最后根據結果確定答案.

引導學生利用所學知識進行證明：

因為 A 與 A^′ 關于 MN 對稱，

所以 ξ_l 垂直平分 AA^′

因為點 P 在 ξ_l 上，

所以 PA=PA^′ ：

同理 P^′A=P^′A^′ ·

在 ΔA^′P^′B^′ 中， P^′A^′+P^′Bgt;A^′B .所以 P^′A+P^′Bgt;PA^′+PB ，

即 P^′A+P^′Bgt;PA+PB

最后，師生共同總結本題的數學模型.

總結在直線上找一點，使它到直線同側兩點的距離之和最小的問題解決方法：（1）作其中一點關于這條直線的對稱點；（2）將對稱點與另一點連線；（3）連線與直線的交點即為所求.

學生的課堂表現說明，學習過程是學生主動構建模型的過程，他們需要以自己的方式建立對問題的理解.這一環節要幫助學生把問題的來龍去脈搞清楚，鼓勵學生歸納解決問題的方法、思想.

2.4 實踐應用，深化問題

在前幾個環節的基礎上，總結出模型之后，接下來進行具體應用，完成從具體問題到抽象模型再到應用模型的鏈條，引導學生發現數學內部規律.

接下來教師出示了如下題目：

例1 ^D，E 分別是 ΔABC 邊 AB，AC 上的定點，在 BC 上求一點 M ，使 ΔMDE 的周長最短.

例2如圖3，一束光線從 y 軸點 A（1，0） 出發，經過 x 軸上點 c 反射后，經過點 B（4，3） ，請在 x 軸上找到 c 點的位置.

圖3

2.5 類比發現，探究升級

數學建模強調模型應用與遷移，教學實踐中，教師不要滿足于讓學生在課堂解決自己所發現的問題，而且還要加強引導，讓學生不斷挖掘、探究，解決更復雜的新問題，從而培養學生實踐能力與創新意識.接著拓展問題，給出圖形，請學生提出問題并解決.

學生類比前面所學，提出：

D 是 ∠BAC 內部一定點，在AB上找一點 E ，AC上找一點 F ，使 ΔDEF 周長最短.

愛因斯坦指出，提出一個問題比解決一個問題更重要，因為解決問題也許只是一個數學上或實驗上的技能，而提出新的問題、新的理論，從新的角度去看舊的問題，卻需要創造性的想象力，而且標志著科學的真正進步.教師應有意識進行延伸，啟發學生進一步質疑，去挖掘更深層的問題，促進學生深入探討、不斷提出新問題.這對學生來說更具挑戰意義.

2.6 回顧反思，自我總結

教師引導學生談這節課的收獲、體會，對所運用的數學知識和方法進行提煉和升華.為了發展學生的模型意識，教師要對學生的參與熱情進行評價，為進一步學習打下基礎.

例如在\"軸對稱的實際應用—路徑最短問題”中進行小結：（1）求線段和的最小值問題；（2）利用對稱軸把折線轉化為一條線段的方法；（3）兩個基本數學模型.

初中教師要關注對學生模型意識的初步感悟，讓學生親身體驗從真實世界或實際情境中抽象出數學問題，用數學語言表達實際問題，并解決問題，增強數學的應用意識和創新意識，形成一定的模型觀念.經歷數學建模和模型應用的關鍵步驟，可以幫助學生理解數學建模的概念，為形成模型觀念打下基礎，踐行新課標中提出的“用數學的眼光觀察世界，用數學思維思考世界，用數學語言表達世界”.

3在初中階段滲透數學模型方法與思想應注意的幾個問題

（1）結合教材的前提下，設置符合學生認知經驗、興趣的真實問題情境，

（2）建模的過程中應該注意數學建模中的“學生活動設計”.

（3）初中數學建模課程重在滲透數學建模思想，教師不必過分強調學生建模技巧的掌握，

（4）教師要適度把握建模知識與方法的難易程度，避免難度過大，打擊學生自信心.

（5）避免機械地簡單套用模型.建模能力是一種數學核心素養，需要給學生充分時間和空間去探索、實踐、交流、討論，讓他們擬合一些數學模型，而不是簡單機械地記憶、套用.

4數學建模教與學活動設計的思考

（1）把握好建模課程內容及學段要求.中學數學建模課程內容的選擇，要從整體上把握各學段數學知識結構體系與數學建模在不同學段的建模素養表現及內涵要求，初、中、高三個學段對數學建模均有不同層次要求，需要教師通過設計不同的課程內容去落實課標要求.

（2）通過數學建模中跨學科知識的自主探究，帶動地理、生物、計算機等其他學科的深入研究.（3）數學建模課程組織要突出主體性、自主性、開放性、情境性、合作性、創新性，調動學生參與活動的積極性，教師不能只做指揮者.

5 結語

面對新課程，教師應努力做新型教師，做新課程的開發者、學生學習的引導者、教學過程的分享者.這樣做能使學生學習數學的積極性提高，創新能力和創新精神得到培養和發展，學習效率也得到提高，

參考文獻：

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