中考數(shù)學(xué)題的一題多解及其對學(xué)生成績的影響研究

中考數(shù)學(xué)作為對初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成果的重要考查方式，其題目具有一定的綜合性和靈活性.在教學(xué)過程中，筆者發(fā)現(xiàn)許多題目存在多種解法，這不僅體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，也為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力提供了良好的素材.本文以平行四邊形相關(guān)的中考數(shù)學(xué)題目為例，深入探討一題多解及其對學(xué)生成績的影響.

1 研究背景與意義

近年來，《深化新時代教育評價改革總體方案《義務(wù)教育課程方案(2022年版)》等一系列政策文件明確提出，要深化教育教學(xué)改革，強化學(xué)生實踐能力、創(chuàng)新能力培養(yǎng)，構(gòu)建以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的課程教學(xué)體系.在此背景下，數(shù)學(xué)教學(xué)方法的革新勢在必行.傳統(tǒng)教學(xué)模式主要側(cè)重于單一解題方法，強調(diào)標(biāo)準(zhǔn)答案和固定的解題步驟，這種教學(xué)方式雖能夯實學(xué)生的計算能力與邏輯思維基礎(chǔ)，但與“培養(yǎng)創(chuàng)新人才”的政策要求存在一定差距，在一定程度上限制了學(xué)生創(chuàng)新能力和發(fā)散思維的發(fā)展.

而一題多解的教學(xué)方法，正是響應(yīng)教育改革政策號召的實踐路徑.它打破思維定式，引導(dǎo)學(xué)生從代數(shù)運算、幾何直觀、函數(shù)建模等多元視角解構(gòu)數(shù)學(xué)問題，與新課標(biāo)中“增強應(yīng)用意識，提高實踐能力”的要求高度契合.通過一題多解，學(xué)生既能掌握多種解題技巧，實現(xiàn)知識的融會貫通，又能在方法對比中培養(yǎng)創(chuàng)新意識和綜合素養(yǎng)，形成自主探究的學(xué)習(xí)習(xí)慣，這與“雙減”政策中提升課堂教學(xué)質(zhì)量、減輕學(xué)生機械性作業(yè)負擔(dān)的目標(biāo)不謀而合.因此，教師應(yīng)積極落實教育改革精神，將一題多解融入日常教學(xué)，通過創(chuàng)設(shè)開放性問題情境，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度去思考和解決問題，真正實現(xiàn)“以學(xué)生發(fā)展為本”的教育理念，切實提高學(xué)生的整體學(xué)習(xí)水平.

2基于平行四邊形的中考題目與多種解法

例1如圖1所示，以 ∠A 為基礎(chǔ)，借助無刻度的直尺和圓規(guī)畫一平行四邊形，并說明理由.

圖1

解法1利用平行四邊形的判定定理\"兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”

步驟以 ∠A 的一條邊為基礎(chǔ)，用圓規(guī)截取一段長度，在 ∠A 的另一條邊上確定一點.過該點作與 ∠A 其中一邊平行的直線.用同樣的方法在 ∠A 的另一邊作出與之平行的另一條直線，這兩條直線相交得到平行四邊形的第四個頂點.理由是根據(jù)所作的兩組對邊分別平行，所以該四邊形是平行四邊形.

解法2利用平行四邊形的判定定理“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”.

步驟在 ∠A 的一條邊上取一點，以該點為圓心，適當(dāng)長度為半徑畫弧，交 ∠A 的這條邊于一點，再以這個交點為圓心，相同長度為半徑畫弧，交 ∠A 的另一條邊于一點，這樣就得到了一條線段.然后在∠A 的另一條邊上取一點，重復(fù)上述操作，得到一條與之相等的線段，且這兩條線段平行.連接這兩條線段的端點，得到平行四邊形.理由是所作的四邊形滿足一組對邊平行且相等的條件.

例2已知：如圖2所示， ?ABCD 中，對角線AC，BD 相交于點 O ，取 BC 的中點 E ，聯(lián)結(jié) OE 并延長點 F ，使得 EF=EO ，連接 BF，CF

（1）你能寫出哪幾個平行四邊形？

(2)能否在ABCD中添加一個條件，使□BFCO變?yōu)榫匦危?/p>

(3）能否在 ΔABC 中添加一個條件，使 BFCO變?yōu)榱庑危?

圖2

（1）解法1 根據(jù)平行四邊形的定義和性質(zhì)

首先，因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AD//BC，AD=BC .又因為 E 是 BC 中點， EF= EO ，所以根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，可以得到四邊形BFCO是平行四邊形.同時，四邊形ABFO也是平行四邊形（因為 OF 與 BC 互相平分），四邊形OFCD也是平行四邊形(同理).

解法2利用三角形全等和平行四邊形的判定在 ΔBOE 和 ΔCOF 中，∠BOE=∠COF （對頂角相等），BE=CE(E 是 BC 中點），∠OBE=∠OCF(AD//BC) ，內(nèi)錯角相等，所以 ΔBOE?∠COF(SAS) ，則 BO=CF ，OE=OF ·又因為 BO=DO （平行四邊形對角線互相平分），所以 DO=CF 且 DO//CF ，所以四邊形BFCO是平行四邊形.同理可證四邊形ABFO和四邊形OFCD是平行四邊形.

(2）解法1 添加 AC=BD

因為四邊形ABCD是平行四邊形，當(dāng) AC=BD 時，平行四邊形ABCD是矩形.此時對角線 AC=

BD ，因為四邊形BFCO是平行四邊形，且其對角線BC是平行四邊形ABCD對角線BD的一條邊， OF 與BC相互垂直平分，所以四邊形BFCO是矩形（矩形的對角線相等).

解法2 添加 ∠ABE=90^°

因為四邊形ABCD是平行四邊形，當(dāng) ∠ABC= 90^° 時，平行四邊形ABCD是矩形.由于四邊形BFCO是平行四邊形，且 BC 是矩形 ABCD 的邊，所以 ∠BOC=90^° （矩形的對角線互相平分且相等，所以平行四邊形BFCO的一個內(nèi)角為 90^° ，從而四邊形BFCO是矩形.

（3）解法1 添加 AB=AC

當(dāng) AB=AC 時，在等腰 ΔABC 中，因為 E 是BC中點，所以 AE⊥BC

又因為 AC⊥BD ，所以 ∠BOC=90^° ，且 OE 是其對角線，從而 OE⊥BC ，所以平行四邊形BFCO是菱形(對角線互相垂直的平行四邊形是菱形）.

解法2 添加 ∠ACB=30^° 且 AB=BC

當(dāng) ∠ACB=30^° 且 AB=BC 時，在 ΔABC 中，根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系可得關(guān)系式.

因為 E 是BC中點，四邊形BFCO是平行四邊形，其對角線互相垂直且平分，所以四邊形BFCO是菱形.

3一題多解對學(xué)生成績的影響

3.1對學(xué)生思維能力的培養(yǎng)

從理論層面來看，一題多解的教學(xué)方式具有堅實的學(xué)科理論支撐.在認知心理學(xué)領(lǐng)域，其契合思維遷移理論，通過橫向與縱向的知識遷移，幫助學(xué)生構(gòu)建完善的認知圖式網(wǎng)絡(luò)；同時遵循發(fā)散一聚合思維的辯證關(guān)系，在解題過程中，學(xué)生先經(jīng)歷突破思維定式、生成多元解法的發(fā)散階段，再通過批判性過濾和最優(yōu)選擇實現(xiàn)思維整合.在教育哲學(xué)方面，一題多解符合建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論，強調(diào)學(xué)生通過自主探索內(nèi)化知識，也契合布魯納發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)理論，該理論以問題情境引導(dǎo)學(xué)生實現(xiàn)知識的“再發(fā)現(xiàn)”.此外，數(shù)學(xué)方法論中的波利亞的解題理論，從理解問題、制定計劃、執(zhí)行計劃到回顧反思，為一題多解的實踐提供了具體路徑.

在教學(xué)實踐過程中，一題多解通過系統(tǒng)的認知加工提升學(xué)生能力.在問題表征階段，學(xué)生需對問題進行視覺化、符號化和關(guān)系化表征；解法生成階段，借助模式識別、類比遷移和創(chuàng)造性重構(gòu)得出多種解法；論證評估階段，則對解法進行邏輯嚴密性、完備性和簡潔性檢驗與評估.以平行四邊形轉(zhuǎn)化為矩形或菱形的問題為例，學(xué)生需綜合運用幾何直觀法、代數(shù)解析法等多元解法，經(jīng)歷復(fù)雜的邏輯推理過程.例如在問題2中，對于使口BFCO變?yōu)榫匦位蛄庑蔚奶砑訔l件，學(xué)生需要綜合考慮平行四邊形、矩形、菱形的各種性質(zhì)和判定定理，從對角線、角、邊等多個方面去尋找答案.這種思維訓(xùn)練有助于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，使其在面對其他數(shù)學(xué)問題時，能夠想到更多的解題思路.在探索一題多解的過程中，學(xué)生需要嚴謹?shù)赝茖?dǎo)每一種解法的步驟和依據(jù).例如在利用三角形全等和平行四邊形判定來解決問題2中的第一小問時，學(xué)生要按照三角形全等的判定條件（如SAS)進行推理，然后再根據(jù)平行四邊形的判定得出結(jié)論.這種對邏輯推理的反復(fù)訓(xùn)練能夠提高學(xué)生的邏輯思維能力，使其在解題過程中更加嚴謹，

3.2對數(shù)學(xué)知識理解的加深

一題多解作為深化數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有效策略，其核心價值在于驅(qū)動學(xué)生實現(xiàn)跨知識模塊的深度整合，這一過程蘊含著深刻的認知建構(gòu)邏輯.從認知心理學(xué)的圖式理論來看，當(dāng)學(xué)生面對問題3時，調(diào)用平行四邊形性質(zhì)、全等三角形性質(zhì)與向量方法求解，本質(zhì)上是對不同知識圖式的激活與重組.例如，在利用向量證明平行四邊形對角線互相平分時，學(xué)生需要將平行四邊形“對邊平行且相等”的幾何性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為向量相等與平行的代數(shù)表達，同時借助全等三角形的邊角關(guān)系輔助證明，這一過程打破了幾何與代數(shù)的知識壁壘，促使學(xué)生在“形”與“數(shù)”的轉(zhuǎn)化中，構(gòu)建起立體的知識聯(lián)結(jié)網(wǎng)絡(luò).

以平行四邊形相關(guān)問題的解決為例，這種知識整合呈現(xiàn)出顯著的層次性與遞進性.在問題3中，學(xué)生可能先用全等三角形的“邊角邊（SAS)”判定證明線段相等，再結(jié)合平行四邊形對角線互相平分的性質(zhì)完成推理；而采用向量方法時，則需將幾何圖形的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量的加法、減法運算，通過

AC=AB+AD等表達式，建立代數(shù)與幾何的對應(yīng)關(guān)系.這種多元解法的探索，使原本孤立的知識點形成“知識簇”：三角形全等的判定定理成為溝通不同圖形性質(zhì)的橋梁，向量運算則為幾何問題提供了新的解決視角，最終幫助學(xué)生構(gòu)建起以平行四邊形為核心，輻射多種知識模塊的動態(tài)知識體系.

在問題1的尺規(guī)作圖任務(wù)中，一題多解進一步深化了學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解.通過實踐“兩組對邊分別平行”與“一組對邊平行且相等”兩種不同的作圖方法，學(xué)生經(jīng)歷了從理論到實踐的轉(zhuǎn)化過程.在繪制“兩組對邊分別平行”的平行四邊形時，需要運用同位角相等、內(nèi)錯角相等的幾何原理確定平行線；而在“一組對邊平行且相等”的作圖中，則涉及線段截取、平行線構(gòu)造等操作.這種具身認知的過程，讓學(xué)生不再停留于定理的字面記憶，而是通過動手操作與邏輯推導(dǎo)，深刻理解判定定理的本質(zhì)內(nèi)涵，即如何通過有限的條件，構(gòu)建滿足平行四邊形定義的幾何圖形.當(dāng)面對新的幾何證明或作圖問題時，學(xué)生便能從已整合的知識體系中快速提取相關(guān)方法，實現(xiàn)知識的靈活遷移與應(yīng)用.

4結(jié)語

通過對平行四邊形相關(guān)中考數(shù)學(xué)題目的一題多解分析，可以看到一題多解在培養(yǎng)學(xué)生思維能力、加深其對知識理解和提高學(xué)生成績等方面有著重要的作用.在教學(xué)過程中，教師應(yīng)該重視一題多解的教學(xué)，通過合理的教學(xué)策略引導(dǎo)學(xué)生進行一題多解的探索，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和中考數(shù)學(xué)成績.同時，未來的研究可以進一步探索不同類型數(shù)學(xué)題目一題多解的共性和差異，以及如何更好地將一題多解融入日常數(shù)學(xué)教學(xué)的各個環(huán)節(jié)中.

參考文獻：

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