均勻分布案例式教學(xué)探析

摘要：隨著統(tǒng)隨著統(tǒng)計(jì)模擬計(jì)算技術(shù)在工程實(shí)際中的廣泛應(yīng)用，均勻分布的實(shí)際作用日益凸顯。為能深入挖掘出均勻分布的廣泛應(yīng)用以及在課堂教學(xué)中對其作更加深入有味的分析，本文在歸納整理均勻分布的性質(zhì)基礎(chǔ)上，給出其在求解方程根的概率、估計(jì)無理數(shù)的值、計(jì)算復(fù)雜被積函數(shù)的定積分、求解幾何概率、合理排考問題、求解會面等候概率、計(jì)算測量誤差以及在統(tǒng)計(jì)計(jì)算中的產(chǎn)生任意分布的隨機(jī)數(shù)等實(shí)際案例解答，并給出它們具體實(shí)現(xiàn)的R代碼。

關(guān)鍵詞：均勻分布；隨機(jī)模擬；案例式

中圖分類號：G4" 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A""" doi：10.19311/j.cnki.16723198.2025.17.066

0 引言

均勻分布是概率統(tǒng)計(jì)中最基本的概率分布，從理論上看似乎非常的簡單，這往往使得在通常的課堂教學(xué)中教師可能主要講授其定義、給出其概率密度函數(shù)與分布函數(shù)后，再給出兩道例題就教學(xué)結(jié)束，其實(shí)這樣往往會導(dǎo)致學(xué)生對均勻分布的理解僅僅停留在理論的層面，難以理解其在實(shí)際問題中的廣泛應(yīng)用，導(dǎo)致在學(xué)習(xí)完指數(shù)分布、正態(tài)分布之后不能很好區(qū)分其適用場景。這根本原因主要是在一些教學(xué)實(shí)際中可能缺乏豐富有味的教學(xué)資源，文獻(xiàn)[1]建議引用廣泛的實(shí)際案例來開展概率統(tǒng)計(jì)課程教學(xué)，文獻(xiàn)[2]給出了隨機(jī)模擬技術(shù)在概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中廣泛應(yīng)用。本文提出在概率統(tǒng)計(jì)課程教學(xué)中通過引入豐富的學(xué)生遇到過的實(shí)際問題案例進(jìn)行分析基礎(chǔ)上，再利用被廣泛使用的R軟件進(jìn)行計(jì)算過程與結(jié)果的可視化展現(xiàn)，開展生動的場景式案例教學(xué)來提高課堂教學(xué)效果，基于均勻分布在統(tǒng)計(jì)中的重要地位，以均勻分布知識點(diǎn)[3]的教學(xué)為例，提升學(xué)生對概率統(tǒng)計(jì)知識的理解與應(yīng)用的能力。文章首先介紹均勻分布的基本概念與性質(zhì)，然后基于工程領(lǐng)域與實(shí)際工作場景，結(jié)合具體案例，討論研究其在不同領(lǐng)域中的廣泛應(yīng)用，包括統(tǒng)計(jì)模擬計(jì)算[4]、隨機(jī)抽簽與會面等待、測量誤差計(jì)算[5]等。通過對均勻分布的深入分析探討，發(fā)現(xiàn)基于最簡單分布在統(tǒng)計(jì)計(jì)算中的重要且廣泛的應(yīng)用[68]。

1 均勻分布簡介

均勻分布，也稱為等可能分布，是指在一個區(qū)間內(nèi)，每個數(shù)值出現(xiàn)等可能的分布。常見的均勻分布有兩種，離散型均勻分布與連續(xù)型均勻分布。離散型均勻分布一般用來描述取有限種情形的等可能分布，例如拋擲一枚均勻硬幣出現(xiàn)正反面，投擲一枚均勻骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)1點(diǎn)至6點(diǎn)等。連續(xù)型均勻分布是指出可能取到的所有值在一個給定區(qū)域或區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)的概率相等。均勻分布事實(shí)上具有非常的簡單性和直觀性，但在現(xiàn)實(shí)中有著廣泛的應(yīng)用，由于離散型均勻分布比較簡單易用，下文將重點(diǎn)介紹連續(xù)型均勻分布及其工程實(shí)際中的應(yīng)用。

1.1 一維均勻分布

若隨機(jī)變量X具有概率密度

fX（x）=1b－a alt;xlt;b0" 其他（1）

則稱X在區(qū)間（a，b）上服從均勻分布，記為X-U（a，b）。例如公交線路上兩輛公共汽車前后通過某汽車停車站的時間，即乘客的候車時間，在某個區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取一個實(shí)數(shù)等，均勻分布的數(shù)學(xué)期方差依次為E（X）=a+b2，D（X）=（b－a）212都較為簡單，使得均勻分布在模擬和分析中非常有用，尤其是在需要考慮隨機(jī)性和公平性的場景中。

1.2 一維均勻分布的應(yīng)用

例1 設(shè)隨機(jī)變量X-U（0，1），求方程t2+3Xt+1=0有實(shí)根的概率？

解：P{9X2-4≥0}=P|X|≥23=∫1231dx=13。

例2 基于均勻分布采用隨機(jī)模擬的方法[4-6]求解無理數(shù)e、π以及l(fā)n2的值。

解：根據(jù)∫10exdx=e－1，求得e=∫10exdx+1≈1n∑ni=1eXi+1，其中Xi-U（0，1）；

同理，基于∫1011+x2dx=π4，可得到，π=4∫1011+x2dx≈4∑ni=111+X2i，其中Xi-U（0，1）。

類似的，可以基于∫1011+xdx=ln2，得到，ln2=∫1011+xdx≈∑ni=111+Xi。

上述3個無理數(shù)近似值估計(jì)實(shí)現(xiàn)的R代碼如下。

基于最常用的標(biāo)準(zhǔn)均勻分布U（0，1）可以求解得高等數(shù)學(xué)課上被積函數(shù)的原函數(shù)為非初等函數(shù)或者是非常復(fù)雜的積分問題[78]，例如∫10（cos2x3+sinx5）ex2dx，換句話說，均勻分布可以計(jì)算任意被積函數(shù)的定積分和廣義積分問題，例如任意區(qū)間的定積分∫5－2（cos2x3+sinx5）arctan（ex2）lnxdx。

例3 排考問題。假定某高校有20個機(jī)房，每個機(jī)房有50臺計(jì)算機(jī)，現(xiàn)在要安排1000名新生，舉行一場某門課程的上機(jī)考試，為避免過去按班級進(jìn)行排考的弊端，即盡可能將所有學(xué)生進(jìn)行隨機(jī)排考，即避免同班同學(xué)坐在相鄰位置機(jī)考，請給出排考安排表。

解：現(xiàn)在采用均勻分布的隨機(jī)數(shù)來安排每位考生的考試編號就非常的簡單，只要拿到這1000學(xué)生名單后在其姓名后面產(chǎn)生一個U（0，1）的隨機(jī)數(shù)，然后再按從小到大排序，再直接賦予每位考生的座位號就是其順序號即可，非常快捷，易于操作。

2 二維均勻分布

2.1 二維均勻分布簡介

若二維隨機(jī)變量（X，Y）在二維有界區(qū)域G內(nèi)取值，且它的聯(lián)合概率密度函數(shù)為

f（x，y）=1SG，（x，y）∈G0，其他（2）

則稱（X，Y）服從區(qū)域G上的二維均勻分布。

2.2 二維均勻分布的應(yīng)用

基于二維的均勻分布也可以計(jì)算無理數(shù)π，R代碼見圖2。

例題4 試求在（0，1）之間任取兩實(shí)數(shù)，它們的和不超過0.6的概率。

解：將問題轉(zhuǎn)換為（0，1）區(qū)間上的均勻分布問題也就是幾何概率問題，易得其概率為0.18，如果基于（0，1）區(qū)間上的均勻分布的隨機(jī)模擬也可快速求得其結(jié)果，R代碼見圖3。

例題5 試求在（0，1）之間任取兩實(shí)數(shù)，他們的積不超過0.6的概率。

解：本題還是基于（0，1）區(qū)間上的均勻分布或者幾何概率問題求得概率為0.6－0.6ln（0.6），即為0.9065，同樣基于均勻分布的隨機(jī)模擬計(jì)算可得相近的結(jié)果，模擬代碼見圖4。

例題6 （相遇問題） 總裁在上午7：15至7：45之間等可能到達(dá)辦公室，他的秘書在7點(diǎn)至8點(diǎn)間等可能到達(dá)辦公室，假設(shè)他們兩人到達(dá)辦公室是相互獨(dú)立的。試求：（1）求他們達(dá)到辦公室時間相差不超過5分鐘的概率；（2）試求經(jīng)理先到辦公室的概率。

解：取定計(jì)時單位為分鐘，記X表示經(jīng)理到達(dá)辦公室的時刻、Y表示秘書到達(dá)辦公室的時刻，則它們均服從如下均勻分布X～U（15，45），Y～U（0，60），求得它們的聯(lián)合分布為：

f（x，y）=11800，15lt;xlt;45，0lt;ylt;600，其他（3）

根據(jù)題意有：第（1）、（2）問題依次可表示為PX－Y≤5、PX＜Y，進(jìn)而求解得。

PX－Y≤5=∫4515dx∫x+5x-511800dy=16

PX＜Y=∫4515dx∫60x11800dy=12

例題7 （測量誤差求解問題） 通常測量設(shè)備會存在測量誤差，人們一般假定測量誤差服從[-w，w]區(qū)間上的均勻分布。若進(jìn)行了兩次測量，則兩次測量誤差X、Y都是隨機(jī)變量，現(xiàn)要計(jì)算這兩個誤差值的平均差距。

解：根據(jù)題意可知X、Y都是服從[-w，w]上的均勻分布且相互獨(dú)立，它們的聯(lián)合分布為：

f（x，y）=14w2，-wlt;xlt;w，-wlt;ylt;w0，其他E（X－Y=∫w-wdx∫w-w14w2x-ydy=23w，也就是說兩個誤差值的平均差距為23w。

3 均勻分布的隨機(jī)數(shù)的應(yīng)用

近年來，隨著統(tǒng)計(jì)機(jī)器學(xué)習(xí)的進(jìn)一步發(fā)展與應(yīng)用，統(tǒng)計(jì)模擬計(jì)算受到業(yè)界與學(xué)術(shù)界的廣泛應(yīng)用與重視，而在統(tǒng)計(jì)模擬計(jì)算中往往需要產(chǎn)生各種概率分布的隨機(jī)數(shù)，實(shí)際上要獲得這些隨機(jī)數(shù)首先都要先獲得基于均勻分布的隨機(jī)數(shù)，特別是標(biāo)準(zhǔn)的均勻分布隨機(jī)數(shù)，然后再基于逆變換法基本原理。逆變換法的基本原理就是先產(chǎn)生均勻分布的隨機(jī)數(shù)，再通過其他分布的分布函數(shù)的反函數(shù)進(jìn)行變換來得到其他分布的隨機(jī)數(shù)。

設(shè)某隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F（x），F(xiàn)－1（y）=inf{x：F（x）≥y}，0≤y≤1

引理1：設(shè)隨機(jī)變量Y～U（0，1），則X=F－1（y）的分布函數(shù)為F（x）。

證明：P{X≤x}=P{F－1（y）≤x}=P{y≤F（x）}=F（x）

由引理可知，要產(chǎn)生來自F（x）的隨機(jī)數(shù)，先產(chǎn)生Y-U（0，1）的y，然后計(jì)算F－1（y）即可。

例題8" 設(shè)X-U（a，b），基于U（0，1）試產(chǎn)生X的隨機(jī)數(shù)。

解：由已知可得X的分布函數(shù)為

F（x）=0，x≤ax－ab－aa＜x＜b1，x≥b

求得F－1（y）=a+（b－a）y，0≤y≤1。即從U（0，1）產(chǎn)生Y，則a+（b－a）y便是U（a，b）的隨機(jī)數(shù)。

例題9" 設(shè)X-EXP（1），基于U（0，1）產(chǎn)生X的隨機(jī)數(shù)。

解：由已知可得X的分布函數(shù)為

y=F（x）=0x≤01－e－xx＞0

即x=－ln（1－y），又由于1-y與y具有相同的分布，從而有x=－lny

故可以分兩步完成隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生，第一步，從U（0，1）中生成y，第二步，計(jì)算x=－lny，得到來自標(biāo)準(zhǔn)指數(shù)分布的隨機(jī)數(shù)。R代碼如圖5所示。

對比圖6、圖7的直方圖，可發(fā)現(xiàn)基于逆變換法產(chǎn)生的標(biāo)準(zhǔn)指數(shù)分布隨機(jī)數(shù)與直接隨機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)的直方圖非常相近，從而說明由標(biāo)準(zhǔn)均勻分布U（0，1）中生成隨機(jī)數(shù)的良好性態(tài)。

圖6 模擬次數(shù)N=100時，標(biāo)準(zhǔn)指數(shù)分布與擬變換法產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的直方圖對照

圖7 模擬次數(shù)N=100時，標(biāo)準(zhǔn)指數(shù)分布與擬變換法產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的直方圖對照

4 結(jié)論

均勻分布是概率論中常用、簡單但極其又重要的分布，在工程應(yīng)用領(lǐng)域建模中有著廣泛的應(yīng)用。本文建議在進(jìn)行該部分內(nèi)容教學(xué)時在介紹其基本概念與性質(zhì)后，通過統(tǒng)計(jì)模擬技術(shù)重點(diǎn)開展案例式教學(xué)，文中給出了其在復(fù)雜函數(shù)的積分計(jì)算、會面的幾何概率法求解、如何合理排考、估計(jì)測量誤差以及其在統(tǒng)計(jì)計(jì)算中的強(qiáng)大功能，在后續(xù)教學(xué)、研究中將進(jìn)一步探討其更加廣闊的應(yīng)用。

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