基于GeoGebra的高中數學實驗教學的實踐

【基金項目】本文系教育部師范大學基礎教育課程中心2023年開放課題“學習中心課堂背景下普通高中數學‘項目式'教學實踐研究\"（立項批準號：KCA2023242）階段研究成果。

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A【文章編號】2095-3089（2025）13-0085-03

2018年4月，教育部發布了《教育信息化2.0行動計劃》，2019年11月，教育部印發了《關于加強和改進中小學實驗教學的意見》，在教育信息化背景下，利用動態數學軟件和工具來進行數學建模、數據分析和圖形繪制，教師和學生可以通過數學實驗操作，有效地使用GeoGebra、Matlab、R軟件等，更好地理解和應用數學概念。GeoGebra是一款強大的數學軟件，可以用于幾何、代數、統計和微積分等多個領域的數學學習。它以圖形化的方式展示數學概念和現象，使抽象的數學概念更加直觀和可理解。可以通過拖動、調整對象的屬性以及創建動畫等方式，實時觀察和探索數學中的規律和關系，因此，在高中數學實驗中有著廣泛的應用。

一、基于GeoGebra的正態分布實驗教學概述

正態分布具有許多重要性質，包括對稱性、均值、中位數和眾數相等、標準差決定曲線寬窄等。這種分布在自然界和人類行為中經常出現，對于建模和分析各種現象具有廣泛的應用，如自然科學、社會科學、經濟學、金融學、醫學等領域。正態分布基本上能描述所有常見的事物和現象：正常人群的身高、體重、考試成績、家庭收人等指標背后的數據都會呈現一種中間密集、兩邊稀疏的特征。以身高為例，服從正態分布意味著大部分人的身高都會在人群的平均身高上下波動，特別矮和特別高的都比較少見。我們研究正態分布，是因為很多的對象都具有同質性（比如都是成年的中國男子），所以其特征往往是趨同的，即存在一個基準；但由于個體變異的存在（當然變異不會太大），這些特征又不是完全一致，所以會以一定的幅度在基準的上下波動，從而形成了中間密集，兩側稀疏的特征，即呈現出正態分布數據。

“正態分布\"教學中，借助GeoGebra的動態演示可以更加直觀地展示正態曲線參數對圖形的影響以及正態曲線的特點等，學生直接操作圖形、動態改變參數，可以實時觀察結果的變化，這種互動性和探索性的學習方式有助于培養學生的探究精神和問題解決能力。“正態分布”內容包含了巨大的應用價值與文化價值，此次研究既切實響應了新課標的要求，也符合了考綱的要求。希望通過分析高二學生學習本節內容的具體情況，針對其難點對“正態分布\"教學設計，做出分析和梳理。

二、基于GeoGebra的正態分布實驗教學目標與創新點

（一）實驗教學目標

通過具體實例，利用GeoGebra軟件探究正態分布密度曲線及其特征，發現正態曲線與參數的關系，了解正態分布的特點；借助GeoGebra軟件理解正態分布的3o原則；通過本節課的學習，提高學生的數學思維能力，培養學生的探究精神和合作解決問題的能力，有效促進學生數學抽象、數學建模等數學核心素養的發展。

（二）實驗創新要點

“正態分布\"教學中，借助GeoGebra軟件的動態演示可以更加直觀地展示正態曲線參數對圖形的影響以及正態曲線的特點等，師生直接操作圖形、動態改變參數，可以實時觀察結果的變化，這種互動性、探索性和體驗式的學習方式，有助于培養學生的探究精神和問題解決能力，實現高中數學與信息技術的跨學科融合教學。

三、實驗教學過程

（一）在文化滲透中實現育人功能

【片段1】正態分布的背景介紹

正態分布是應用最廣泛的一種連續型分布，正態分布（Normaldistribution），又稱高斯分布或鐘形曲線，是一種常見的概率分布，其具有對稱性和集中趨勢等特點。正態分布在自然科學和社會科學中廣泛存在，是統計學中最重要的概率分布之一，在統計推斷、參數估計、質量控制等領域有著廣泛的應用。

正態分布的發現和發展經歷了漫長的過程，下面列舉了其發展的一些重要階段及其代表人物。18世紀，法國數學家阿布拉罕·棣莫弗（AbrahamdeMoivre）在研究二項分布時，發現了“正態曲線”。 ^[1]19 世紀，德國數學家卡爾·弗里德里希·高斯（CarlFriedrichGauss）獨立發現了正態分布，并將其應用于誤差分析，所以\"正態分布\"又名\"高斯分布（Gaussiandistribution）”。[2]

設計意圖：在新高考改革背景下，伴隨新課程標準的實施，數學文化背景應融人數學教學活動。在“正態分布\"教學實踐中，可對正態分布本身的規律進行進一步的探索。

（二）從數學試驗中培養分析意識

【實驗1高爾頓板實驗

在高爾頓板上釘著小釘子，它們彼此的距離均相等，上一層的每一顆的水平位置恰好位于下一層的兩顆正中間。上端放入一小球，至上往下滑落，最后小球落在底板上的某一凹槽中，隨著試驗次數的增加，掉入各個球槽內的小球個數越來越多，從中探究下落的小球在槽中的分布規律。

觀察發現，小球在槽中呈現出“中間高，兩邊低”的分布特點。可以證明，落在各個球槽內小球的分布是二項分布 N（n，0.5） ，用排列組合的相關知識給出解釋，學生自主思考“為何小球的分布服從二項分布”。

設計意圖：高爾頓板實驗展示了隨機性和規律性之間的關聯。雖然每一個小球從頂部落下時的運動路徑看似完全隨機，但當大量小球通過釘板時，它們的落點分布卻呈現出一種穩定的、具有預測性的曲線，即正態分布曲線。實驗表明，看似隨機的現象背后，往往隱藏著某種規律性。

學生通過近距離觀察高爾頓板實驗，對二項分布中的數學實驗結果進行分析，引入本節課的課題。這一活動環節過渡自然且增強課堂趣味性，激發了學生的學習熱情。同時也是對二項分布、排列組合相關知識的復習，增強了學生綜合性思維能力。

（三）從有限到無限培養發現意識

【實驗2從頻率分布直方圖到總體密度曲線

從高爾頓板實驗中，我們可以猜測，二項分布的極限近似為一條曲線，當實驗重復次數不斷增加，觀察二項分布的頻率分布直方圖的輪廓特點。

學生猜測頻率分布直方圖中間高，兩邊低，利用GeoGebra軟件觀察二項分布趨近正態分布的過程。

這是 n=10. p=0.5 的二項分布的頻率分布直方圖和折線圖。通過拖動滑動條，讓 n 增大，可以看到，折線圖越來越光滑，拖動滑動條也可以看到， ρ， 值的改變只是讓圖形產生了左右平移的效果，對它的形狀并沒有影響。由此可以發現結論，二項分布的極限就是正態分布。正態分布的密度曲線呈現出中間高，兩邊低的形態，形狀像一口大鐘，因此，也叫作鐘形曲線。

設計意圖：引導學生自主猜想，再通過GeoGebra的呈現進行驗證。拖動滑動條，可以改變實驗次數。隨著實驗次數的增多，用二次分布趨近正態分布，在直觀層面，認識到鐘形曲線就是或近似地是正態曲線，初步感受正態曲線的形狀特征。

（四）從數學試驗中提升探究能力

片段2正態分布密度曲線及其特征探究

剛才我們從視覺上看到了二項分布趨近正態分布的過程，事實上，正態分布曲線的表達式也是可以由二項分布推導出來的，這里我們直接給出公式，就是這條曲線的函數表達式。

【實驗3】學生觀察正態曲線的圖像，并結合正態密度函數的表達式，歸納正態曲線的特點。利用GeoGebra觀察參數對正態曲線的影響，引導學生固定一個參數，觀察另一個參數對圖像的影響，降低分析難度。同時，利用圖形變換引導學生從對稱性、最大值以及曲線的位置等方面歸納正態曲線的性質。

設計意圖：學生自己通過演示操作把抽象的問題直觀顯示出來，克服了過去單憑語言表達的空白乏力的缺陷，這樣的處理能很好地突破重難點。同時，培養了學生主動探索、合作交流的能力，也增強了學生自主思考的能力和積極學習的動力。

（五）從實例應用中培養解決問題能力

【片段3】正態分布密度曲線實際應用

學生合作探究，教材選擇性必修三P86例

設計意圖：例題中要求學生利用信息技術畫出密度曲線，既要讓學生掌握本節課知識點的應用，又要通過例題的設置，培養學生實際問題轉化為數學問題的關鍵能力。本質上，需要學生對問題進行數學抽象，然后用數學語言表述問題，最后用數學方法構建模型解決問題，培養了學生邏輯推理、數據分析的素養。

【片段4]3σ原則的實際應用

利用GeoGebra觀察參數對上述三個概率值的影響。

設計意圖：利用GeoGebra，從數與形的角度體現3o原則的內容，便于學生接受和理解。正態分布在實際生活中的舉例具有現實意義，對學生發現生活中的數學有啟發作用。

四、數學實驗總結

（一）從本節課中反思

本節的教學中，通過GeoGebra的動畫演示，讓學生零距離地感受極限的思想和數形結合的思想。在學生的操作演練中，增強了學生學習興趣，體現了學生的主體地位。既提高了教學效率，又降低了教學難度。在講解正態分布原則時，加人了它對工業生產中零件生產的合格率的判斷作用，讓學生感受數學來源于生活又服務于生活。

（二）正態分布的思維啟發

正態分布的一個神奇的地方，可以大概估算出數據的大致位置。現實生活中雖然不能準確地說出正態分布的細節，但是只要知道它的分布形態就可以，遇到相關的案例，能大致做計算。正態分布、高斯分布、鐘形曲線其實本質是相同的，正態分布思維模型的啟發在于，可以利用大概率事件，讓學生使用系統的眼光看待問題，幫助學生在某些問題上作出更科學的決定。

（三）“正態分布\"實驗效果評價

本節“正態分布\"數學實驗教學中，高爾頓板實驗引發了學生的學習興趣與思考，通過GeoGebra的動畫演示，讓學生零距離地感受有限與無限思想，和數形結合的思想。在教師引導下，學生通過親自操作演練，增強了學習興趣，激發了學習熱情，促進學生“身\"”心\"協調發展，體現了學生的主體地位。這既提高了教學效率，降低了教學難度，又促進了學生數學抽象、數學建模等核心素養的發展，取得了良好的實驗效果。

參考文獻：

[1]吳江霞.正態分布進人統計學的歷史演化[D]石家莊：河北師范大學，2008.

[2]李金華.現代經濟計量學經典方法論的源生、發展及其體系重構[J.]蘭州大學學報（社會科學版），2020（4）：28.