有限長錐體誘導的斜爆轟波非定常結構的數值研究

中圖分類號：0382 國標學科代碼：13035 文獻標志碼：A

Numerical study on unsteady structure of oblique detonation wave induced by a finite cone

LIU Jiang， GUI Mingyue， ZHANG Daoping， DONG Gang （National Key Laboratory of Transient Physics，Nanjing University of Science and Technology， Nanjing 210094， Jiangsu， China）

Abstract：Axisymmetricconical structures，asacommonconfiguration，induce oblique detonation waves exhibiting significantlygreater structural complexitycompared to those generatedbysharp wedges.Numerical simulationsofoblique detonation waves induced bya finitecone were performedusing the open-source code OpenFOAM，with analysis conducted on post-detonation flow fields，wavefront structure，and detonationcellstructures.The numericalresultsshowthatunder the efectof the finitecone theflowfield behindthedetonation waveissuccessvely influencedbyTaylor-Maccollflowand Prandtl-Meyer expansion waves.The pressure andMach number along the streamlines at diferent positions on the detonation wave front exhibit oscilatory changes with the influence of these two physical processesand triple points on oblique detonationsurfaces，ndthentendtostabilize.Dependingonthediferentpost-detonationflowfield，thedetonationwavefront structure is divided into foursections：smooth ZND（Zel'dovich-Neumann-Dring）-like structure，single-headed triple ponts cel-like structure，dual-headed triple points cellstructureand dual-headed triple point structure influenced by Prandtl-Meyer. Theshock polecurve theory is used to analyzethewave structures.It is found that theupstream-facing triple points exhibits higher detonation intensity，ie.，higher Mach numberand pressure，comparedtothe downstream-facing triplepoints indualheadedtriplepoints structure.Finallybasedontheaboveanalysis，triplepoint tracesarerecorded toobtainfourdiferentel structures： smooth planarstructure，parallel ine structure，oblique rhombus structure，andiregularobliquehombusstructure.

Keywords：finite cone; obliquedetonation wave; Taylor-Maccoll flow; Prandtl-Meyer expansion wave; detonationcel structure

在障礙物的作用下，高超聲速可燃氣流可形成駐定于障礙物的爆轟，將其原理用于推進系統，稱為斜爆轟發動機。該類發動機具有結構簡單、體積小、無附加點火源和能量利用率高等優點，因此受到廣泛關注[]。

關于斜爆轟發動機的實驗和數值研究，學者們已經進行了大量的研究，障礙物的形狀包括楔形[2-14]、錐形[15-20]、鈍形[21-22]和球形[23-24]等，由于錐形物體誘導的激波后流場具有非均勻的復雜特性，因此本文的研究對象為有限長的錐形體。Verreault等[i5]對高超音速錐形彈丸的起爆問題開展了實驗研究，發現由彈丸誘導的燃燒分5種狀態：直接斜爆轟波、延遲斜爆轟波、不穩定燃燒機制、波分離機制和完全惰性激波。本文研究的重點是直接斜爆轟波方式起爆。

Kasahara等[]對高超音速錐形彈丸誘導的斜爆轟開展了實驗研究，發現整個爆轟波陣面由強過驅爆轟波、弱過驅爆轟波、準CJ爆轟波和CJ爆轟波4部分組成，另外彈丸肩部產生的膨脹波對爆轟波結構有顯著影響，但尚未闡明影響機制。董剛等[1對無限長圓錐體誘導的爆轟波開展了數值模擬，認為當來流接近預混氣體CJ爆轟速度時，圓錐激波誘導的燃燒呈現爆轟和爆燃2種空間不穩定模式，兩者均與三波點結構有關，滑移線的存在導致了兩者的反應區結構顯著不同。Yang等[18]對馬赫數為8的高超聲速來流在不同半錐角的錐形體表面誘導的斜爆轟開展了數值研究，發現當錐體角度或馬赫數較小時，波陣面會出現一種新型結構，其特點是激波與火焰面存在2個不同的緊密耦合點，該結構被化學反應尺度和活化能所影響，可通過Taylor-Maccoll流、錐體前沿曲率效應和錐形斜爆轟中化學反應釋放的能量之間的相互作用來闡述新型結構的生成機制。Han等[針對放熱量對三維錐體斜爆轟波的影響開展了數值研究，發現隨著放熱量的增加，爆轟波結構從平滑陣面逐漸轉變為非定常的胞格結構。Abisleiman 等[20]采用熱力學分析工具和高精度數值模擬這2種方法數值研究了乙烯-空氣的三維錐形爆轟波結構，發現橫波在錐體表面的反射有利于爆轟波陣面三波點結構的形成，可能進一步導致波陣面的不穩定。

綜上，以上研究缺乏對有限長錐體誘導斜爆轟中涉及的各種物理過程相互作用的分析。本文中，基于開源代碼OpenFOAM對有限長錐體誘導的駐定斜爆轟波進行數值模擬，對于錐形體誘導的爆轟波后的Taylor-Maccoll流動[25]采用流線進行分析，對于爆轟波陣面的三波結構采用激波極曲線理論進行分析，對于有限長錐體肩點對爆轟波的影響采用Prandtl-Meyer理論[25]進行分析，并根據爆轟波陣面三波點的軌跡繪制爆轟胞格結構。

1數值方法

1.1 基本方程

假設可燃氣體為理想氣體，忽略流體的黏性和熱傳導等輸運特性[2-3]，在二維笛卡爾直角坐標系下，質量、動量、能量和物質守恒的可壓縮流和反應流的軸對稱Euler方程如下：

其中守恒量 對流項 F，G，W 和反應源項 s 分別為：

F=（ρu，ρu²+p，ρuν，（ρe+p）u，ρλu）^T

G=（ρν，ρuν，ρν²+p，（ρe+p）ν，ρλν）^T

W=（ρν，ρuν，ρν²，（ρe+p）ν，ρλν）^T

S=（0，0，0，0，ρω）^T

式中： u 和 u 分別為 x 和 y 方向的速度分量； t 為時間； ρ 和 p 分別為混合氣體的密度和壓力； λ，e 和 ω 分別為反應產物的質量分數、混合氣體的質量總能量和化學反應速率。化學反應采用基于Arrhenius 公式的單步不可逆反應[19.26]。質量總能量和反應速率分別滿足：

式中： γ，k，E_a，. R 和 q 分別為比熱比、指前因子、活化能、氣體常數和反應熱， T 為溫度。 T 滿足理想氣體狀態方程：

1.2 計算方法

控制方程的數值求解是基于OpenFOAM平臺的有限體積法，并利用OpenFOAM中的軸對稱網格補充控制方程的軸對稱項（尖錐具有軸對稱特點）。控制方程中的對流項采用Kurganov-Noelle-Petrova（KNP）二階中心迎風格式[27，化學反應源項采用半隱式Bulrsch-St?er方法[28]（OpenFOAM中的SIBS算法），時間項采用三階Runge-Kutta法求解。圖1為有限長尖錐體誘導斜爆轟的計算示意圖， x 表示沿錐體軸向， y 表示沿錐體徑向， θ 為尖錐的半錐角，其值為 43^° 。本文中以來流的熱力學參數（比如溫度、壓力、密度等）為無量綱參考值，長度以有限長斜錐體的長度為特征長度，計算區域無量綱物理尺寸為2.0×3.0 。

圖1計算區域示意圖

Fig.1 Schematic of the computational domain

本研究側重于討論錐形爆轟波結構及相關的影響流場，因此采用的模型參數與文獻[19]中的一樣，如表1所示，其中 u₀，p₀ 、 T₀ 和 為初始來流的速度、壓力、溫度和反應熱， m 為混合氣體平均分子量，R_u 為理想氣體常數。文中所采用量均為無量綱，如表2所示，其中 和 為無量綱初始壓力和溫度。計算域左邊界采用來流邊界條件，來流的熱力學參數見表 1～2 ，其馬赫數 Ma₀ 為7.5。右邊界和上邊界采用零梯度邊界條件，下邊界部分采用軸對稱邊界條件，其中錐形體表面采用滑移固壁邊界條件。

表1初始條件和模型參數[19]

Table 1 Initial conditions and model parameters[19]

表2無量綱化初始條件與模型參數[19]

Table 2 Non-dimensional initial conditions and model parameters[19]

1.3 網格無關性驗證

為了驗證不同網格分辨率對數值結果的影響，設置計算域初始網格尺寸為0.004、0.002和0.0013，網格總數分別為 3.0×10⁵ 、 1.2×10⁶ 和 2.7×10⁶ 。對于來流狀態的可燃氣體，其爆轟波ZND結構中的半反應區長度 L_1/2=0.01 ，此時，在不同網格精度下，半反應區長度 L_1/2 對應的網格數分別為2.5、5.0和7.5，分別命名為網格1、網格2和網格3）。流場中的間斷采用自適應網格進行加密，加密級數為3級，計算網格如圖2所示。自適應網格基于密度進行加密，無量綱臨界密度 ρ=3.8 （確保流場中的間斷網格加密覆蓋）。當流場密度高于臨界密度時，進行自適應網格加密，低于臨界密度時網格釋放。因此，在3種加密網格精度下，爆轟波附近經過加密的流場網格尺寸分別為 5×10^-4 /2.5×10^-4 和 1.67×10^-4 ，對應半個反應區 L_1/2 所用網格數分別可達到20、40和60，分別對應網格1、

圖2自適應加密網格局部圖 Fig.2 Localized view of the adaptive grids

網格2和網格3。圖3為3種網格精度下典型的密度等值云圖，爆轟波陣面幾種不同的結構均能清晰顯示，但是網格1所計算的爆轟波結構中，錐尖附近光滑區域較長。圖4為不同網格精度下錐體壁面的壓力分布曲線，網格1得到的爆轟波后壓力在錐體的斜坡部分呈近似不變狀態，而網格2和網格3得到的壓力在爆轟波陣面三波結構的影響下呈震蕩變化，且變化的趨勢一致，因此本文中采用第2種網格尺寸，即網格2。

圖3不同網格尺度下的密度云圖

圖4不同網格尺度下沿錐體表面的壓力變化曲線

Fig. 4Pressure along the conical surface with different grid scales

2 結果與討論

2.1尖錐誘導的斜爆轟波流場結構

與尖楔不同的是，具有軸對稱結構的尖錐誘導的激波后流場是非均勻流場，需經歷一個等熵壓縮過程直至平行尖錐表面，該流動稱為Taylor-Maccoll（TM）流動，此效應使尖錐誘導的爆轟波強度弱于相同初始條件下尖楔誘導的爆轟波。圖5為有限長尖錐誘導的斜爆轟波密度等值云圖。爆轟波陣面分為4個區域[29]，其中AB段為類ZND的光滑區，BC段為類胞格的單三波點區， CD 段為胞格的雙三波點區， DE 段為受Prandtl-Meyer（PM）膨脹波影響的雙三波點結構區域。圖中的紅線分別代表4個不同區域的流線，即流線 a 、流線 b 、流線 Ψ_c 和流線 d 。對于爆轟波陣面中不受PM膨脹波影響的 _AD 段，在TM流動的影響下，流線 a，b 和 Ψ_c 經過爆轟波陣面后，并不與錐體壁面平行，而是偏轉一個較小的角度，隨后，經過等熵壓縮，流線逐漸偏轉到與錐體斜壁面平行。當進入PM膨脹波影響區時，流線再逐漸偏轉到與水平壁面平行。

圖5有限長錐體誘導的斜爆轟波密度云圖 Fig.5Density field of the oblique detonation structure induced by a finite cone

為了分析流場的相應變化，圖6（a）～（b）分別呈現了不同流線上的壓力和馬赫數分布。流線 a，b 和c 具有相似變化，來流未燃氣體經過爆轟波后，壓力急劇升高，速度下降，但仍然是超聲速流。隨后，波后氣流滿足TM流動，并在波陣面三波點的橫向激波的影響下，波后的壓力呈現鋸齒狀變化，其整體略微上升，且流線 a，b 和 Ψ_c 的壓力平均值依次下降，馬赫數平均值依次略微升高。當到達肩點時，波后的超聲速燃燒產物會進人PM影響區域，在該區域膨脹波的影響下，燃燒產物的壓力下降，馬赫數升高。當燃燒產物流出該影響區時，流動不再受TM效應和PM效應的影響，燃燒產物壓力和馬赫數趨于穩定。爆轟波陣面 _AB 結構的流線a靠近尖錐壁面，經歷的PM影響區較窄，故壓力和馬赫數變化較快，但是該流線經歷的TM階段較長，使得其穩定時的壓力較低。流線 b 和流線 經歷的TM階段減少，而PM影響階段增加，因此壓力和馬赫數變化逐漸變緩，但壓力較高。爆轟波陣面 DE 段直接位于PM影響區，且沒有受到TM流動的影響，因此其波后壓力一直呈緩慢下降趨勢，穩定后的壓力略高，而馬赫數則呈緩慢上升趨勢，穩定后的馬赫數略低。

圖6沿錐體流線上的壓力和馬赫數變化曲線

Fig.6 Pressure and Mach number along the streamlineswith cone

2.2尖錐誘導的斜爆轟波的精細結構

前節討論了錐形爆轟波后TM流動和肩點引起的PM膨脹波這2個物理過程對爆轟波與尖錐壁面間的流動的影響，進而使爆轟波陣面呈現不同的結構。對于 ?_AB 段，爆轟波陣面距離尖錐壁面較近，其間的流道較小，波后的平均壓力較高，使得尖錐對爆轟波陣面有較強的壓縮，從而使爆轟波有較強的抵抗外界干擾的能力，因此這部分爆轟波結構具有類ZND 結構，如圖7所示。圖7（a）是數值計算得到的密度等值云圖，紅色線段代表反應面，相應的波系結構簡圖見圖7（b），圖7（c）是根據類ZND結構附近的流場信息繪制的壓力-偏轉角極曲線圖，其中黑色曲線代表人射激波（IS）后的狀態。當來流未燃氣體（1）的一部分穿過入射激波（incident shockwave，IS）后，其狀態變為（2）（見圖 7（b）～（c） ，其氣流偏轉角 43^° ，壓力為43，后經誘導發生化學反應放熱維持爆轟波，最終燃燒產物經TM流動向下游移動。

沿著爆轟波陣面下游，波陣面結構處于 BC 段的單三波點結構，其波后壓力整體下降，圖8是其局部流場結構圖，其中圖8（a）是數值計算得到的密度等值云圖，紅色線段代表反應面，相應的波系結構簡圖見圖8（b），圖8（c）是根據三波點附近的流場信息繪制的壓力-偏轉角極曲線圖，其中黑色曲線代表入射激波（IS）后的狀態，藍色曲線代表橫向激波（transverse shockwave，TS）后的狀態。當來流未燃氣體（1）的一部分穿過入射激波（IS）后，其狀態變為（2）（見圖 8（b）～（c） ），其氣流偏轉角為 39^° ，壓力為36，隨后，這部分激波壓縮后的未燃氣體穿過橫向激波（TS），狀態變為（3）（見圖8（b）），其中狀態（2）的氣體相對于橫向激波的馬赫數為1.5，以此繪制橫向反射激波的極曲線（TS）（見圖8（c））。與此同時，氣流（1）穿過波陣面中三波點的馬赫桿（Mach stem，MS），狀態變為（4）（見圖8（b）），該部分氣體與狀態（3）中的未燃氣體之間由一道接觸間斷隔開，兩者壓力相等，速度方向一致，相應的參數變化可根據圖8（c）中的極曲線關系得到，即極曲線IS和TS的交點為狀態（3）和（4）的氣體。最后，這兩部分激波壓縮后的未燃氣體迅速燃燒，成為爆轟產物，并再次由接觸間斷隔開（圖8（b））。

圖8BC段波陣面結構局部放大圖與極曲線分析

再往下游，爆轟波陣面結構呈現 CD 段的雙三波點結構，與直管中的爆轟傳播不同，相鄰的2個相碰的三波點中，下游的三波點是面向來流，上游的三波點是背向來流[2]。與此同時，波后流動還處于軸對稱構形引起的Taylor-Maccoll流動的影響區域。圖9是 CD 段爆轟波結構的局部流場結構圖，其中圖9（a）是數值計算得到的密度等值云圖，紅色線段代表反應面，相應的波系結構簡圖見圖9（b），圖9（c）是根據2個相鄰三波點附近的流場信息繪制的壓力-偏轉角極曲線圖，其中黑色曲線代表入射激波（IS）后的狀態，藍色和綠色曲線分別代表相鄰三波點的橫向激波（TS1和TS2）后的狀態。當部分來流未燃氣體（1）穿過入射激波（IS）后，成為激波壓縮后的未燃氣體（2），氣流偏轉角為 42^° ，壓力為41。該入射激波相鄰的2個三波點（TP1和TP2）中，上游的三波點TP1是背向來流向下游傳播，其橫向激波相對于波前未燃氣體（2）的馬赫數為 1.37 。而下游的三波點TP2是面向來流向上游傳播，其橫向激波TS2相對于波前未燃氣體（2）的馬赫數為1.48，該三波點的速度更快，其附近的橫向激波TS2較TS1更強。由于未燃氣體來流的傳播速度高于爆轟波CJ速度，因此這2個三波點TP1和TP2均往下游傳播，且TP1的傳播速度快于TP2的傳播速度。在圖9（c）極曲線中，以極曲線IS上的狀態（2）為起點，分別以兩個橫向激波TS1和TS2相對于狀態（2）的未燃氣體的馬赫數繪制反射激波的極曲線，與極曲線IS相交。對于極曲線IS 與TS1的交點，為上游三波點TP1中橫向激波TS1后的狀態（3）和馬赫桿MS1后的狀態（4），這兩部分氣體由接觸間斷隔開，因此壓力相等。同理，極曲線IS與TS2的交點是下游三波點TP2對應橫波和馬赫桿后方的氣體（5）和（6）。由于面向上游的三波點TP2相對于波前未燃氣體具有較快的速度，其周圍的波系更強，因此波后狀態（5）和（6）對應壓力高于狀態（3）和（4）的壓力。

（a） Contours of reactive progress superimposed on the shadow density contour

圖9 CD 段波陣面結構局部放大圖與極曲線分

Fig.9 Close-up view of wave front structure and polar curves in section CD

當爆轟波結構進人肩點引起的PM影響區域時，肩點發出的PM膨脹波與爆轟波相互作用，使其強度降低，進而影響其結構，圖10是對爆轟波結構有影響的PM影響區域示意圖。根據PM膨脹波理論，PM區域由一系列膨脹波組成，其馬赫角根據公式 計算。根據數值計算得到的流場信息，第一道馬赫波前面的馬赫數為1.38，其對應的馬赫角為 46.4^° ，最后一道馬赫波后方的馬赫數為2.75，其應的馬赫角為 21.3^° 。圖11為受到該區域的PM膨脹波影響的爆轟波結構的密度云圖，紅線代表反應面。由圖中可見，波陣面仍然呈現雙三波點結構，但三波點附近的激波在非均勻膨脹波的影響下，強度衰減，波陣面整體向下彎曲，爆轟角逐漸變小，并且三波點的間距也出現無規則分布。

析

圖10Prandtl-Meyer流對斜爆轟波的影響區域 Fig.10 Region of influence ofPrandtl-Meyer flow on oblique detonation waves

圖11DE段局部放大的密度云圖

2.3尖錐誘導的斜爆轟的胞格結構

基于上述分析，根據爆轟波陣面三波點的軌跡繪制爆轟胞格結構，見圖12所示。 _AB 段為類ZND結構，波陣面沒有三波點，所以其結構為光滑平面，放大結構如圖12（a）所示。對于 BC 段，波陣面僅有一系列單頭三波點，故其胞格結構為一組平行的直線，放大結構如圖12（b）所示。對于 CD 段，波陣面是雙三波點結構，由于來流與爆轟波陣面呈一定角度，因此其胞格結構為傾斜的菱形結構，放大結構如圖12（c）所示。對于 DE 段，受到PM膨脹波的影響，傾斜的菱形結構變得極不規則，因此其胞格結構為不規則的菱形結構，放大結構如圖12（d）所示。且根據圖中壓力值顯示，爆轟波的強度明顯變弱。同時，在爆轟波典型的雙三波點結構中，即CD段，面向上游的三波點對應的壓力值比面向下游的更大，即爆轟波更強，這與直管中的爆轟傳播有明顯的區別。

圖12斜爆轟波的煙膜數值記錄

Fig.12 Numerical smoke-foil record of oblique detonation waves

3結論

基于OpenFOAM，對有限長尖錐誘導的斜爆轟進行了數值模擬，結合數值計算結果和激波極曲線理論對爆轟波陣面的不同結構進行了討論，得到如下結論。

（1）具有軸對稱結構的有限長尖錐，爆轟波后流場受到Taylor-Maccoll流動和Prandtl-Meyer 膨脹波的影響，其流動處于非均勻狀態。（2）激波與化學反應的非線性耦合和波后的非均勻流場對爆轟波結構產生較大的影響，使其呈現4種不同的結構：光滑的類ZND結構、單三波點的類胞格結構、雙三波點的胞格結構和Prandtl-Meyer影響的非規則雙三波點結構。（3）根據爆轟波陣面三波點的軌跡繪制的爆轟胞格結構，呈現與其結構對應的特征：光滑平面結構、平行直線結構、斜菱形結構和不規則的斜菱形結構。與此同時，在爆轟波的雙三波點結構中，面向上游傳播的爆轟波更強。

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（責任編輯 張凌云）