關(guān)于歐拉不等式的一類加強(qiáng)

題目（《數(shù)學(xué)通報(bào)》2024年6月2788號(hào)問題）在 ΔABC 中， R 和 r 分別是外接圓和內(nèi)接圓的半徑，求證 ，其中 Σ 表示循環(huán)和.

顯然，式（1）借助三角不等式 Σ tan =√實(shí)現(xiàn)歐拉不等式（ R?2r ）的一類加強(qiáng).無獨(dú)有偶，

文[1］中同樣借助不等式 Σ tan ，建立了歐拉不等式的另一類加強(qiáng)：

一個(gè)自然的想法是，能否結(jié)合式（1）（2），構(gòu)建歐拉不等式新的加強(qiáng)形式？通過探究，筆者得到如下結(jié)論.

定理 設(shè) R，r 分別為 ΔABC 的外接圓和內(nèi)接圓半徑，則有 （3）定理的證明需要如下兩個(gè)引理.引理1[1] 設(shè) s，R，r 分別為 ΔABC 的半周長、外接圓和內(nèi)接圓半徑，則 Σ tan 引理 2^[2] （204 設(shè) s，R，r 分別為 ΔABC 的半周長、外接圓和內(nèi)接圓半徑，則s2≥2r（4R+r）（2R-r）.定理證明 由引理1，式（3）等價(jià)于 4（4R+r-√3），等價(jià)于3（5R+8 （4）令 10（4R+r）²r ，結(jié)合引理2得 由于 （20 （由歐拉不等式易證 50R²-57Rr- （20 8r²?0 ，所以 f^′（s）?0 ，結(jié)合 s? ，可得函數(shù) f（s） 關(guān)于 s 在 上單調(diào)遞增，從而

.故 f（s）?0 等價(jià)于 5R²+

6√2Rr（4R+r）（2R-r），等價(jià)于R-2[25（ 號(hào)?0 ，等價(jià)于證明 ?t∈[2，+∞），25t³-2（313- 恒成立.

由于 ≈4.27gt;4.25 ，故

綜上，得證 f（s）?0 ，即式（4）成立.

評(píng)注 根據(jù)不等式 ，顯然式（3）強(qiáng)于式（1）.令 則（∑tan）2+ 由于 40M+ 96- ，得 ，故式（3）亦強(qiáng)于式（2）.在三角形中還有熟知的不等式in ，利用這五個(gè)不等式，同樣可構(gòu)造與式（3）相類似的不等式，此留給有興趣的讀者繼續(xù)探究.

參考文獻(xiàn)

[1]王圣.歐拉不等式的一個(gè)加強(qiáng)的改進(jìn)及其類似[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2017，56（2）：62-63.

[2]郭要紅，劉其右.一個(gè)Finsler—Hadwiger型不等式的加強(qiáng)[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2017，56（1）：60-61.