一道拋物線內接三角形問題的探究

在圓錐曲線的問題中，往往以“數”的屬性或“形”的直觀等方式巧妙植入平面幾何圖形中，形成平面幾何與平面解析幾何之間的交匯與融合.因此，合理利用平面幾何知識與平面解析幾何知識，特別是用平面幾何圖形的“動態”變化，構建平面解析幾何的“靜態”定值問題，成為比較常見的命題方式，倍受各方關注.

1 問題呈現

題目 如圖1所示，設 F 為拋物線 y²=4x 的焦點， ^，A，B，C 為該拋物線上三點，若 則 的值為

圖1

此題以拋物線為問題場景，結合拋物線上三點與焦點所滿足的平面向量線性關系式 =為條件來合理創設，巧妙設置拋物線的焦點 F 為拋物線內接三角形 ABC 的重心，巧妙構建平面幾何與平面解析幾何之間的聯系，進而確定拋物線上三點與焦點的距離的平方和的值問題.

上述題目改編自2007年高考數學全國卷Ⅱ理科試卷第12題：

設 F 為拋物線 y²=4x 的焦點 ，A，B，C 為該拋物 線上三點，若 ，則 的值為（ ）.

A.3 B.4 C.6 D.9

本題是通過設置拋物線的焦點 F 為拋物線內接三角形 ABC 的重心，求解拋物線上三點與焦點的距離之和.該高考真題主要考查直線與拋物線的位置關系可以直接利用拋物線的定義加以分析求解等.本文中所示的題目，由高考真題中的“拋物線上三點與焦點的距離之和”上升到“拋物線上三點與焦點的距離的平方和”，場景上創新設置，難度得到提升.

2 問題破解

解法1（解析幾何思維）依題知焦點 F（1，0） ，準線方程為 x=- 1 設 A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃） y₃ ），其中 .由 0，可知焦點 F 為拋物線內接三角形 ABC 的重心，則有 即有 消去參數 y₃ 可得 （y₁+y₂）²-y₁y₂=6（*） ：

設直線 _AB 的方程為 x=ty+m（t≠0） ，聯立

{χ =ty+m'消去參數x可得y2-4ty-4m =0.利 2=4x，

用韋達定理得 y₁+y₂=4t，y₁y₂=- 4m ，代人 （*） （2號

式并整理可得 8t²+2m=3. 所以

（2

所以 ，從而利用拋物線的定義知

評注依托直線與拋物線的位置關系，合理設置直線方程，借助直線與拋物線方程的聯立，巧妙變換方程，結合韋達定理來構建關系式是解決此類問題時最為常用的一種“通性通法”.

解法2（代數變換思維）焦點 F（1，0） ，準線方程為 x=-1. 可設 A（a²，2a），B（b²，2b），C（c²，2c）. 由 ，可知焦點 F 為拋物線內接三角形 ABC 的重心，則有 {a2 +b2+c2=3，則有ab+bc+ca = （20 ，可得a262 從而利用拋物線的定義知 + ?b²+c²）²+2（a²+b²+c²）+3-2（a²b²+b²c²+ （204號

評注結合拋物線的方程進行合理設點處理，是解決此類問題的一種“通性通法”.但挖掘題設條件中的平面向量關系式的內涵，確定拋物線內接三角形的重心為焦點 F ，利用三角形重心的基本性質來構建三角形三頂點坐標的關系式，巧妙利用三數和完全平方公式，多次加以恒等變形與轉化，進而可利用整體代換思維來求解.

解法3（特殊值思維）依題知焦點 F（1，0） .由FA+FB+FC=0，可知焦點F為拋物線內接三角形ABC 的重心根據題目條件可知所求| 為定值，不妨取拋物線內接三角形 ABC 的三個頂點為特殊位置，如點 A 與坐標原點 o 重合， B ，C 兩點關于 x 軸對稱，結合 x_A+x_B+x_C=3 ，，可知它們的橫坐標為 將 代入拋物線y²=4x ，則有 ，解得 則有 所以 （2號

點評借助拋物線內接三角形的重心為焦點F 這一“動態”場景，結合所求結論為一“靜態”的常值問題，可以合理利用拋物線內接三角形中三個頂點的特殊位置來選取，以特殊條件下的所求的結果，實現問題的快速求解.

3 規律總結

基于以上高考真題以及模擬題的求解可以得到以下一些涉及拋物線的焦點為拋物線內接三角形的重心這一基本條件下，有關焦點與頂點之間關系的多個定值關系式.

結論設 F 為拋物線 y²=2px（pgt;0） 的焦點，_A，B，C 為該拋物線上三點，若 （或F 為 ΔABC 的重心），則

（1） 的值為 3p （2）△ABC三邊中線長之和為p; （3） 的值為 （4） 的 值為1p2 （5）S_ΔOFA²+S_ΔOFB²+S_ΔOFC² 的值為 （6）若 ΔABC 三邊 AB，BC，CA 所在直線的斜率 都存在，則 的值為0.

證明 依題知焦點 .可設 A（2pa² ，2pa），B（2pb2，2pb），C（2pc2，2pc）.由FA+FB+FCε=0 ，可知焦點 F 為拋物線內接三角形 ABC 的重心，東賄 即有

（1）由拋物線的定義知！ （204號

（2）由（1）可知 結合三角形重心的基本性質知 ΔABC 三邊中線長之和為

（3）由 （20 愛得樂 a²b²+b²c²+c²a² = （ab +bc+ca）2-2abc（a+b+c））= 利用拋 物線的定義知 （2 +22）=42×2+22x+ -8p2× 64

（4）由（1）知 ，由（3）知 則 （204號

（5）由于 p，結合三角形的面積公式得

16P4;

（6）若 _AB 所在直線的斜率存在，則有 k_AB= 同理得 所以

4 教學啟示

基于平面幾何圖形的幾何特征或代數屬性的圓錐曲線綜合問題，往往可依托條件的設置來確定與平面幾何、平面解析幾何中的相關要素相關的定值或常數問題，關鍵在于挖掘題設條件中的平面幾何與平面解析幾何兩個重要知識點之間的聯系，借助平面幾何圖形的“動態”變化與規律形成，合理歸納與總結平面解析幾何中的基本要素的“靜態”定值或常數問題.

解決問題時，要合理利用問題中平面幾何與平面解析幾何中的基本要素一點、直線、曲線等“動”與“靜”的結合與轉化，通過運動變化，由運動規律中尋覓并建立相應的關系式或尋找建立相應的聯系，進而從中尋覓“定值”.

在具體解答時，往往借助函數與方程思維，合理化歸與轉化，巧妙借助各種不同的方法進行巧妙判斷相關的定值問題.合理利用“動”“靜”結合，借助解析幾何的問題背景，全面發散數學思維，提高數學能力，提升數學品質，培養數學核心素養。