“讀思達(dá)”視域下的兩道試題的分析求解

1 引言

“讀思達(dá)”教學(xué)法是福建師范大學(xué)余文森教授提出的一種創(chuàng)新教學(xué)模式，它以閱讀、思考、表達(dá)三個(gè)環(huán)節(jié)為核心，為高中數(shù)學(xué)教學(xué)提供了全新的思路.閱讀，知識(shí)的輸人與初步感知，這一過(guò)程不僅是對(duì)文字的閱讀，更是對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的理解和感知，為后續(xù)的思考和應(yīng)用奠定基礎(chǔ)；思考，知識(shí)的加工與深度理解，學(xué)生通過(guò)對(duì)知識(shí)的深度加工，能夠?qū)⒘闵⒌闹R(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來(lái)，形成系統(tǒng)的知識(shí)體系，提升邏輯思維能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；表達(dá)，知識(shí)的輸出與應(yīng)用，學(xué)生通過(guò)語(yǔ)言表達(dá)、繪制流程圖、表格等方式，將對(duì)知識(shí)的理解和思考進(jìn)行輸出和展示，能夠培養(yǎng)其數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力和創(chuàng)新思維.“讀思達(dá)”教學(xué)法的三個(gè)環(huán)節(jié)緊密相連、相輔相成.閱讀為思考提供了素材和基礎(chǔ)，思考為表達(dá)提供了深度和內(nèi)涵，而表達(dá)則反過(guò)來(lái)檢驗(yàn)閱讀和思考的效果.經(jīng)過(guò)這三個(gè)環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠在閱讀中不斷積累知識(shí)，在思考中逐步深化理解，在表達(dá)中有效提升能力.這種教學(xué)模式打破了傳統(tǒng)教學(xué)中以教師講授為主的單一模式，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)性，使學(xué)生從被動(dòng)的知識(shí)接受者轉(zhuǎn)變?yōu)榉e極的知識(shí)探究者和創(chuàng)造者.

在教學(xué)中，筆者常借鑒“讀思達(dá)”教學(xué)法，將其應(yīng)用于數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，幫助學(xué)生更快地入題、解題，收到了較好的教學(xué)效果.本文以近期兩道典型試題為例，闡釋如何運(yùn)用“讀思達(dá)”教學(xué)法于教學(xué)，落實(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

2 兩道試題的分析求解

例1（2025屆八省聯(lián)考第8題，單選）已知函數(shù) f（x）=x∣x-a∣-2a²， 若當(dāng) xgt;2 時(shí) f（x）gt;0 ，則 a 的取值范圍是.

A. （ε-∞，1] B.[-2，1] C.[-1，2] I ）.[-1，+∞） （22

第一步：讀題審題

信息1這是一道不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，求解不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，常用的方法有：數(shù)形結(jié)合法、最值法、分離參數(shù)法、必要性探路、同構(gòu)法等.

信息2根據(jù) f（x）gt;0 的形式特征，無(wú)法用同構(gòu)法求解 Ω：f（x） 表達(dá)式中含絕對(duì)值，所以通過(guò)分類討論去絕對(duì)值，再求解 f（x） 的最小值這一思路較難實(shí)行下去 Ω：f（x） 中參數(shù) a 居于兩個(gè)位置，且次數(shù)不一致，利用分離參數(shù)法求解亦難以繼續(xù)下去；

信息3本題是一道單項(xiàng)選擇題，在解答過(guò)程中，應(yīng)挖掘選項(xiàng)蘊(yùn)含的提示信息，仔細(xì)分析選項(xiàng)之間的差異、聯(lián)系以及與題干的匹配程度，從而更快地找到解題的關(guān)鍵方向

第二步：思維建模

思考1嘗試數(shù)形結(jié)合法，由 ，得x∣x-a∣-2a²gt;0 ，將該不等式等價(jià)變形為 ∣x- ，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究較為熟悉的函數(shù) 與 圖象的位置關(guān)系，尋求結(jié)合圖形與題設(shè)條件建立參數(shù) a 的不等式；

思考2本題是選擇題，且當(dāng) xgt;2 時(shí) I（x）gt; 0恒成立，立意于特殊與一般思想，采用必要性探路，嘗試在 f（x）gt;0 中對(duì)變量 x 賦值，以建立參數(shù) Ω_a 的不等式，排除不符的選項(xiàng)；

思考3本題是選擇題，關(guān)注到各選項(xiàng)之間的差異， AB 選項(xiàng)不含數(shù)值 _2，CD 選項(xiàng)包含數(shù)值2，故可在 f（x）gt;0 中取 a=2 ，判定 xgt;2 時(shí)是否恒有 gt;0 ，以此可排除兩個(gè)選項(xiàng)，同理，對(duì)剩下的兩個(gè)選項(xiàng)，選取二者之間的差異（如取 a=-3 ，可排除 _AB 選項(xiàng)中的一個(gè)，取 a=3 可排除 CD 選項(xiàng)中的一個(gè)），如此再排除掉一個(gè)選項(xiàng).

第三步（精準(zhǔn)表達(dá)）

解法1 當(dāng) xgt;2 時(shí) f（x）gt;0 ，即 x∣x-a∣-

2a²gt;0，∣x-a 對(duì) xgt;2 成立.作出 ∣x-a∣ 與 y= 的圖象（圖

圖1

1），由圖可得 即 a²+a-2?0 ，解得-2?a?1 ，故選 B

解法2令 x=3 ，由 f（3）gt;0 得 3∣3-a∣-

2a²gt;0. 當(dāng) a?3 時(shí)，得 3（3-a）-2a²gt;0 ，即 2a²

+3a-9lt;0 ，解得 當(dāng) agt;3 時(shí)，得3（ a 1

-3）-2a²gt;0 ，即 2a²-3a+9lt;0 ，此不等式無(wú)解.

綜上，得 Ω_a 的取值范圍是 ，比較選項(xiàng)，僅有

，故排除 ACD 選項(xiàng)，選擇 B 元

解法3取 a=2 ，得 x²-2x-8 ，由 x²-2x-8gt;0 得 xlt;-2 或 xgt;4 ，與題設(shè)條件不符，故 ，排除 CD 選項(xiàng).再次審視AB 選項(xiàng)的差異，取 a=-3 ，得 f（x）=x∣x+3∣-18 =x²+3x-18 ，由 x²+3x-18gt;0 得 xlt;-6 或 x gt;3 ，與題設(shè)不符，故 ，排除 A 選項(xiàng)，選擇 B

評(píng)析本題的求解，筆者引導(dǎo)學(xué)生在“讀”與“思”的過(guò)程中歸納問(wèn)題的解法，學(xué)生需要結(jié)合題干條件，對(duì)各種解法進(jìn)行篩選和排除，從而探尋到最有可能的解法，為問(wèn)題的求解開(kāi)辟出一條清晰的路徑.同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注本題為選擇題這一特征，鼓勵(lì)學(xué)生利用選擇題的選項(xiàng)特點(diǎn)，來(lái)輔助解題.這樣的解題過(guò)程，“達(dá)”成了培養(yǎng)學(xué)生在面對(duì)復(fù)雜問(wèn)題時(shí)的轉(zhuǎn)化遷移能力，提升了思維的靈活性和批判性.

例2（2025屆高三部分重點(diǎn)中學(xué)12月聯(lián)合測(cè)評(píng)（T8聯(lián)考）第16題）如圖2，在四棱錐 ABCD中，底面ABCD為直角梯形 AD，PA⊥ 平面 ABCD，AP =AD=2AB=4BC. （2

圖2

（1）略; （2）AM⊥ 平面 PCD 于點(diǎn) M ，求二面角

M-AD-P 的余弦值.

第一步（讀題審題）

信息1問(wèn)題（2）求解二面角的余弦值，題設(shè)鋪墊了易于建系的條件 AB⊥AD，PA⊥ 平面 ABCD^* ;

信息2條件 鋪墊了建系后各點(diǎn)坐標(biāo)的求解方向，唯獨(dú)點(diǎn) M 的坐標(biāo)無(wú)法確定，但點(diǎn) M 坐標(biāo)是求解平面 MAD 法向量的關(guān)鍵

信息3 條件 AM⊥ 平面 PCD ”為點(diǎn) M 坐標(biāo)的確定提供了方向.

第二步（思維建模）

思考1若設(shè)點(diǎn) M 坐標(biāo)為 （x，y，z） ，此時(shí)需要尋找三個(gè)等量關(guān)系，列出三個(gè)方程才能求解 M 坐標(biāo)，較難實(shí)行下去，暫時(shí)舍棄此想法；

思考2關(guān)注到 ，由平面向量基本定理， 可由平面 PCD 內(nèi)的兩個(gè)不共線向量表出，此時(shí)只需引入兩個(gè)變量即可表示 ，故假設(shè)AM ，由 及 ，建立兩個(gè)方程，可求 x，y ，從而確定 M 的坐標(biāo)，問(wèn)題可得到解決；

思考3確定點(diǎn) M 坐標(biāo)的最終目的是確定平面MAD的法向量，能否避免求解點(diǎn) M 的坐標(biāo)？回歸條件“ AM⊥ 平面 PCD^′′ ，可得 與平面 PCD 的法向量平行，由向量自由移動(dòng)的特點(diǎn)，可將平面PCD的一個(gè)法向量平移到平面 MAD 內(nèi)，充當(dāng)其內(nèi)部的一個(gè)向量，再結(jié)合 確定平面MAD的法向量；

思考4本題的關(guān)鍵是求平面 MAD 的法向量，即找出一條直線，既垂直于 AD ，又垂直于AM，這樣的直線能否在圖中找到？由于 AM⊥ 平面 PCD，AD ⊥ 平面 PAB ，所以所求直線為平面 PCD 與平面 PAB 的交線，所以只要作出這個(gè)交線，面面夾角問(wèn)題即可轉(zhuǎn)化為線線夾角問(wèn)題求解.

第三步（精準(zhǔn)表達(dá)）

解法1因?yàn)?AB，AP，AD 兩兩互相垂直，建立如圖3所示空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè) BC=1 ，則A（0，0，0），C（2，1，0），D（0，4，0），P（0，0，4） ，從而 ， .因?yàn)辄c(diǎn) M 在平面 PCD 內(nèi)，設(shè) ，則 = AP+xPC +yPD= （0，0，4）+ （2，1，-4） +y（0，4，-4）=（2x，x+4y，4-4x-4y） .由 AM⊥ 平

面 PCD ，得 2

，從而

解得 所以DC

（204號(hào)圖3

由于 ，

設(shè)平面 MAD 的法向量為 ，由

，得 ?24x，+16y，+16z， =0，，令

x₁=2 ，可得 y₁=0，z₁=-3 ，故平面 MAD 的一個(gè)法

向量為 .因?yàn)槠矫?PAD 的一個(gè)法向

量為 ，所以二面角 M-AD-P 的余弦

值為lcos

解法2同解法1建系，設(shè)平面 PCD 的法向量為 ，由 可愛(ài)得樂(lè) 楊令莊 x₂=3 聘 y₂=2，z₂= 2，故平面 PCD 的一個(gè)法向量為 .因?yàn)锳M⊥ 平面 PCD ，所以 將 平移到平面MAD 內(nèi)，因?yàn)? ，設(shè)平面 MAD 的法向量為 ，由 ，得?3x+2ys+2z =0令χ=2，可得y=0，z₃=-3 ，故平面 MAD 的一個(gè)法向量為 -3）.因?yàn)槠矫?PAD 的一個(gè)法向量為 0），所以二面角 M-AD-P 的余弦值為

解法3因?yàn)?PA⊥ 平面 ABCD ，所以 AD⊥PA ，又 AB⊥AD，PA∩AB=A ，所以 AD⊥ 平面 PAB

如圖4所示，延長(zhǎng)_DC，AB ，交于點(diǎn) E ，連接PE. 因?yàn)?E∈AB，AB? 平面 PAB ，且 E∈CD，CD ? 平面 PCD ，所以 E∈ 平面 PAB，E∈ 平面PCD ，又因?yàn)?P_λ∈λ 平面PAB，P∈ 平面 PCD ，所

圖4

以平面 PAB∩ 平面 PCD=PE 因?yàn)?AD⊥ 平面PAB，AM⊥ 平面 PCD ，所以 PE⊥AD，PE⊥AM ，因?yàn)?AD∩AM=A ，所以 PE⊥ 平面MAD.

因?yàn)?PA⊥ 平面 ABCD ，所以 AE⊥PA ，又 AE⊥ AD，PA∩AD=A ，所以 AE⊥ 平面 PAD ，結(jié)合 PE⊥ 平面 MAD ，所以二面角 M-AD-P 的余弦值等于∠PEA 的余弦值.不妨設(shè) BC=1 ，由 AP=AD=2AB =4BC 可得 AP= 4 且 所以，tar 從而 故二面角 M-AD-P 的余弦值為

評(píng)析本題的題設(shè)條件明確指向通過(guò)建立坐標(biāo)系進(jìn)行求解，但在關(guān)鍵的點(diǎn) M 坐標(biāo)的求解過(guò)程中設(shè)置了障礙.這種障礙并非簡(jiǎn)單的計(jì)算困難，而是要求學(xué)生在“讀”與“思”過(guò)程中深入挖掘題設(shè)條件中隱藏的信息，將幾何關(guān)系、代數(shù)表達(dá)和邏輯推理結(jié)合起來(lái)，“達(dá)”成條件的轉(zhuǎn)化與突破，在此過(guò)程中，提升了他們數(shù)學(xué)思維的深度和廣度，發(fā)展了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3教學(xué)感悟

借鑒“讀思達(dá)”教學(xué)法于數(shù)學(xué)解題過(guò)程，通過(guò)分階段的引導(dǎo)，讓學(xué)生在解題過(guò)程中有條不紊地深入思考，能夠幫助學(xué)生逐步提升數(shù)學(xué)思維能力和解題能力.在“讀思達(dá)”教學(xué)法的指導(dǎo)下，我們深知學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程是一個(gè)循序漸進(jìn)、逐步深化的動(dòng)態(tài)過(guò)程，絕非一蹴而就.因此，教師在教學(xué)實(shí)踐中扮演著至關(guān)重要的角色，需要不斷地引導(dǎo)學(xué)生，精心設(shè)計(jì)每一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，以確保學(xué)生能夠在“讀”“思”“達(dá)”三個(gè)核心環(huán)節(jié)中實(shí)現(xiàn)高效的學(xué)習(xí)與成長(zhǎng).在“讀”的環(huán)節(jié)中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生深入閱讀相關(guān)學(xué)習(xí)資料，幫助他們理解知識(shí)的背景和內(nèi)涵.教師可以通過(guò)設(shè)置引導(dǎo)性問(wèn)題，幫助學(xué)生明確閱讀的重點(diǎn)和方向，使學(xué)生在閱讀過(guò)程中能夠主動(dòng)思考，而不僅僅是被動(dòng)接受信息.在“思”的環(huán)節(jié)中，教師需要設(shè)置合適的問(wèn)題串，巧設(shè)問(wèn)題鏈，逐步引導(dǎo)學(xué)生深入思考.這些問(wèn)題應(yīng)該由淺入深，層層遞進(jìn)，幫助學(xué)生逐步構(gòu)建知識(shí)體系，促進(jìn)學(xué)生思維的逐級(jí)攀升.教師還可以通過(guò)小組討論、課堂提問(wèn)等方式，激發(fā)學(xué)生的思考熱情，鼓勵(lì)學(xué)生從不同角度思考問(wèn)題，培養(yǎng)他們的批判性思維和創(chuàng)新思維.在“讀思達(dá)”理論中，“達(dá)”不僅是對(duì)學(xué)習(xí)成果的展示，更是促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步思考的重要手段.因此，教師要為學(xué)生提供創(chuàng)造表達(dá)的機(jī)會(huì)，鼓勵(lì)學(xué)生大膽表達(dá)自己的想法和解題思路.通過(guò)語(yǔ)言表達(dá)、書面表達(dá)、圖形表達(dá)等多種方式，學(xué)生可以更好地梳理自己的思維，發(fā)現(xiàn)其中的不足之處，從而進(jìn)一步完善自己的思考.

“讀思達(dá)”并不是一個(gè)線性的、一次性的過(guò)程，而是在反復(fù)的“讀一思一達(dá)”循環(huán)中不斷深化和提升的.在這個(gè)過(guò)程中，師生之間的互動(dòng)和學(xué)生之間的合作起著至關(guān)重要的作用.教師可以通過(guò)提問(wèn)、引導(dǎo)、反饋等方式，幫助學(xué)生在閱讀中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，在思考中拓展思路，在表達(dá)中提升能力.同時(shí)，學(xué)生之間的互動(dòng)也非常重要，通過(guò)小組討論、合作學(xué)習(xí)等方式，學(xué)生可以從同伴那里獲得不同的視角和思路，從而拓寬自己的思維范圍，豐富自己的知識(shí)體系.這種學(xué)習(xí)過(guò)程不僅有助于學(xué)生掌握知識(shí)，更重要的是培養(yǎng)了他們的思維能力、表達(dá)能力和創(chuàng)新能力，為他們的全面發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。