數學說題教研的要點探析

教育部《關于加強新時代基礎教育教研工作的意見》強調了教研在指導教育教學實踐、促進教師專業發展、服務學生綜合素質提升、保障基礎教育教學質量等方面的重要支撐作用[1.教研活動由早期側重“課堂教學”研究，研究主題逐漸細化、聚焦，衍生出了“說課”“磨課”“同課異構”等多形式教研活動.發展至今，出現了以“題”為核心載體的“說題”教研[2]，如“一題一說”“一題多說”“大題小說”“小題大說”等具體形式[3].可見，“說”的內容逐漸聚焦，使教研活動更具針對性，增強了教研的實效性[4]，體現了以小見大、去偽存真、精益求精的教研理念[5].數學說題是教師在備題和教學實踐的基礎上，基于數學課程標準要求，以現代教育理論為指導，面向同行和專家，系統地解說其對一道乃至一類數學題的教學理解的教研活動°.有助于深化教師對題的理解與研究，有效避免教學中教師出現題目理解不深刻、題目分析不透徹、學情把握不準確等問題，有助于教師系統提升解題、研題以及解題教學等綜合能力，真正實現以研促教，

已有研究主要圍繞數學說題的內涵、要素、結構、功能價值等展開闡釋，聚焦于數學說題教研的程序化操作，如今，應更加注重數學說題教研的有效性，向品質提升階段邁進.因此，為深化數學說題教研，聚焦數學說題教研活動中的目標設定、學情分析、題目研究、支撐理論和活動形式五個要點，提出遵循“標”字引領、“準”字析生、“研”字議題、“理”字循證、“活”字托底的原則，確保數學說題教研有作為、有實效、有焦點、有依據、有效率，推動其朝著專業化、規范化、高效化方向發展

一、“標”字引領明方向，保證說題教研有目標

目標猶如指揮棒，引領一切活動的開展，如教育目標、課程目標以及教學目標，無一不在教育教學中起著關鍵的導向作用.在數學說題教研中，應明確具體的說題教研主題目標、教師專業發展目標、學生發展目標，這些自標的設定在遵循數學課程標準引領的同時，還需與實際教學需要相契合，實現目標層面的“頂天立地”，保證數學說題教研有目標.下面，結合2024年高考數學全國1卷第16題進行說明.

例1 已知 A（0，3） 和點 為橢圓C 上兩點

（1）求 c 的離心率;（2）若過 P 的直線 l 交 C 于另一點 B ，且 ΔABP 的面積為9，求 l 的方程

（一）說題教研主題目標

數學說題教研若缺乏明確主題目標，容易使說題停留在就題論題的淺表狀態.因此，為使說題教研的開展有深度、有焦點，應從實際教學需要出發，明確教研主題，必要時深入挖掘并細化研究問題，形成序列化子主題.例如，為提升教師分析與運用教科書例題的能力，增強例題教學效果，可將“如何提升數學例題教學質量”設為說題教研主題，以明晰各章節例題的特點及其適用的教學策略；以“數學中（高）考試題分析”“如何啟發學生思考”等作為說題教研主題，則能夠幫助教師更精準地把握命題思路、深人了解學生數學學習的思維特點.平面解析幾何中的圓錐曲線問題，是高考數學考查的熱點和難點，是運用代數方法解決幾何問題的典型，對發展學生的數學運算、邏輯推理、直觀想象等素養具有重要價值意義.例1的設置打破了師生對高考平面解析幾何繁難問題的固有認知，體現了新高考理念下“反套路”“反刷題”的命題思路，是新高考試題結構變化后的典型試題.因此，在新高考背景下，以平面解析幾何問題為說題對象展開主題教研具有重要意義.

（二）教師專業發展目標

教師是參與說題教研活動的主體，促進教師專業成長是說題教研的目標之一.為避免說題教研形式化，充分發揮說題教研對教師專業發展促進作用，教師應基于自身專業發展需求以及實際教學需要，有目標地參與到說題教研活動中，包括研題、解題、解題教學等方面能力的提升以及實際教學過程中所遇問題的解決等.如通過說題教研活動獲得系統化的知識體系建構、先進的解題教學理念、新穎的研題視角、實用的審題技巧、多樣的解題思路以及有效的解題教學策略等，進而將其內化為自身解題經驗，優化解題教學觀念與行為，提升解題教學質量.在以例1為對象的說題教研活動中，教師要能基于新高考背景重新審視平面解析幾何內容的教學重點，把握新高考命題特點，打破原有認知中的套路化解題教學模式，而更加關注學生思維的培養，深化對解析幾何問題的認識與理解，促進教師在研究、解決以及教學平面解析幾何問題時的專業發展.

（三）學生發展目標

促進學生的發展是說題教研活動目標的最終指向，說題教研過程中應基于數學課程標準分析、教材分析、主題與題目分析、學情分析等，明確學生相應的發展目標，即明確通過說題教研所選擇的這一道題或一類題的教學，學生在“四基”“四能”“核心素養”“情感態度與價值觀”等方面獲得的發展基于學生發展目標，教師有針對性地闡明自標的實現方式，進而明確題目的教法和學法等.例1在促進學生發展方面，主要包括讓學生掌握直線與橢圓的方程、性質、位置關系等基礎知識，強化概念理解和知識聯系，構建知識體系；能夠多視角探索解決問題，學會一題多解，弄清解法差異與聯系，把握問題本質;提升學生應用數形結合、函數與方程、化歸與轉化以及分類討論等數學思想方法分析和解決問題的能力；提升學生數學運算、直觀想象、邏輯推理素養；感受邏輯推理的思維過程，感受理性精神，增強解題的興趣和自信心.

二、“準”字當頭析學生，保證說題教研有實效

以往教研關注教師的“教”，以教師教學能力提升為基本價值追求，如今，教研工作向符合時代需要的教研轉變，向“以人為本”的教育教學需求轉變[7.學習者分析是教學研究的重要生長點，也是設計教學活動的前端分析和重要依據，使教學更契合學生的已有基礎和發展需求[8].鑒于此，說題教研不能僅立足于“教師教”的視角闡明教師對問題本質的理解與認識，更需要精準分析學情，確定適切的教學策略和方法，強化學法指導，使說題內容與學生的認識發展規律以及實際發展需求相契合，秉持“以研促學”的理念，提升數學說題教研的針對性和實效性.

（一）知識基礎分析

知識基礎是解題教學的重要基石，教師需要分析解題時所需要的相關概念、性質、定理、公式等，并診斷學生的掌握情況，針對可能存在的認知缺陷，給予適當的補充和強化，并幫助學生建構知識聯系，完善知識結構，形成知識體系.例1中，學生需要熟悉直線與橢圓相關的概念、性質、公式等，但學生可能因公式記憶不到位而解題出錯，如對橢圓中a，b，c 的關系記憶不清晰，導致離心率計算出錯；弦長公式、點到直線的距離公式記憶出錯等.因此，教學過程中，教師應盡可能地幫助學生理解各種公式的推導過程及其本質

（二）能力水平分析

能力水平分析是解題教學的核心關鍵，教師需要深入剖析學生在審題、解題以及表達過程中可能存在的思維障礙及其形成原因，包括難點、易錯點以及能力薄弱點分析等，準確把握解題的切入點和關鍵點.例1的第（2）題，依據“三角形面積”的不同表達方式，存在多種解題思路和方法，常見解法為直接設直線的點斜式方程與橢圓方程聯立，進而通過韋達定理表示出 PB 弦長，以 PB 為底列出三角形面積表達式，進而求解.這一解法是學生慣性思維下所采用的方法，學生可能因思維不嚴密，忽略對“所設直線的斜率是否存在”的討論；運算量較大，學生容易出現運算錯誤的情況，甚至可能因運算復雜、困難而直接放棄解題.這就要求教師教學時重視學生運算能力的培養，包括去絕對值、去分母等化簡運算的能力.此外，還可以通過優化解法指導，破解運算難的問題，如以 AP 為底時，發現能夠計算出 B 點到 AP 的距離，此時再利用點到直線的距離公式或平行線間距離公式求解 B 點所在直線方程，再與橢圓方程聯立，進而求解.這一解法在計算量上有所減少，但其難點在于設直線 AP 的平行線，求點 B 所在直線的方程.此外，該題的多種解法均涉及函數與方程、數形結合、化歸與轉化等數學思想方法的應用，對學生思維的靈活性要求較高，此時需要教師適時引導，突出解題思路的自然生成性與邏輯性.

（三）學習態度分析

學習態度分析是保障解題教學有效性的根本所在.學習態度是指個體在自身學習過程中形成的一種相對穩定的，包括認知、情感和行為傾向等因素的心理傾向，是學習者主動學習的根本動力，也是影響學習效果的重要因素[9].因此，教師需要關注學生在情感態度上的體驗，對學生的學習品質、解題習慣、態度、意志等進行分析，并運用適切的教學策略，幫助形成良好的學習態度.“圓錐曲線”問題中，學生往往難以完整且正確作答，多數學生在“設線一聯立方程一列韋達定理”關鍵步驟后便直接放棄，存在畏懼心理.因此，教師應在學生的最近發展區內，以“問題串”形式一步步引導學生思維的發生，優化解題思路，探索適合的解法，減少運算量，增加成功解題的幾率，幫助學生克服解題的心理障礙，增強學生解題的興趣和自信心，培養深人思考的思維習慣以及勇于探索、鍥而不舍的精神品質等.

三、“研”字發力議題目，保證說題教研有焦點

蘇霍姆林斯基曾說，只有研究和分析事實才能使教師從平凡的、極其平凡的事物中看出新東西.能夠從平凡的、極其平凡的、司空見慣的事物中看出新的方面、新的特征和新的細節[10]·與純粹的“數學解題”相比，“數學說題”對教師的專業水平提出了更高的要求，教師需要站在“教學研究者”的視角，秉持“小題大做”的理念，從題的解法、考法、教法、學法等多個維度審視題目」展開細致研究與分析，將題的冰冷轉化為教師火熱的思考，使教師能力實現從“會解”到“會教解”，再向“會教‘學解’”躍升，從而真正教會學生思考，提升其分析與解決問題的能力，為學生未來發展賦能

（一）立足理解數學，研究題的解法

研究清楚題的解法是進一步研究其考法、教法、學法的重要前提與基礎，教師要基于問題本質的分析，尋找破題的關鍵，進而建構起條件到目標的思維通路，并以多視角審視問題解決，可以借助思維導圖對一題多解的情形進行解法關聯，明晰各類解法的聯系與區別，揭示其中的通性通法和巧思妙解.圖1以思維導圖的形式展現了例1第（2）題的多種解法，該題的切入點為“如何表示 ΔABP 面積”，此時分別以 AP，BP，AB 為底，求出對應弦長以及相應的高以表達面積時，便自然地產生相應的解題思路和多種解法，不同解法所蘊含的思維量與運算量均有所差異.具體而言，分別以 AP，BP 為底的解法 ② 和解法 ④ （通性通法）已在分析學生能力水平時進行了簡要說明，此處不再贅述；解法 ① 是在求出 B 點到直線 AP 距離之后，以直接設點的形式進行求解，思路比較自然，易于理解；解法 ③ 中，由于A點在 y 軸上，坐標比較特殊，因此相比其它解法運算量較小；解法 ⑤ 是在解法 ④ 思路基礎上，衍生出將三角形面積分割成兩個小三角形面積之和的表達方式，拓寬學生思維；解法 ⑥ 為本題的巧法，借助于圖形的幾何特征，利用橢圓的對稱性和倍長線段直接發現符合條件的 B 點的坐標，運算量小，是學生不易發現的方法.

圖1例1第（2）題解法思維導圖

（二）立足理解評價，研究題的考法

考法聚焦“如何考”的問題，要求教師整體感知命題立意，基于命題情境和問題，深挖其知識考點、能力考點、素養考點，并將這些考點與高考評價體系考查要求、數學課程標準要求以及教科書內容相聯系，其中，高考評價體系體現對命題方向的整體把控；數學課程標準中課程內容要求、學業要求等，規定了考查內容、范圍，是各類命題的重要依據；回歸教科書，有助于明晰題自來源，明確考查內容的關鍵和重難點.在新高考背景下，例1具有“探究性”“開放性”等特點，體現出基礎性、應用性、綜合性，由該題的解法可知，其具有“起點低、人口寬”的特征，更加注重對學生思維方式的考查.包括考查學生對橢圓的離心率、直線與橢圓的位置關系、直線的方程、弦長公式、點到直線距離公式等知識的掌握與綜合應用以及函數與方程、數形結合、化歸與轉化、分類討論等思想的理解與應用情況，檢驗學生分析與解決問題的能力，注重對學生數學運算、邏輯推理、直觀想象等素養的培養.

（三）立足理解教學，研究題的教法

教師在明確學生發展目標、精準分析學情、研究清楚題的解法與考法的基礎上，闡明其所要采取的教學方法，包括在“分析題意一探尋解法一總結提升”教學過程中所采取的具體措施，審題分析時引導學生充分理解題意、建立條件與目標的聯系，進而確定解題策略；探尋解法過程中，注重對學生思維的引導，針對性地解決學生解題過程中的出現的重難點問題；最后規范答題過程，總結解題經驗由前面的分析可知，例1第（2）題的已知是橢圓方程及其上 A，P 兩點的坐標、 ΔABP 的面積等，目標是求出直線 l 的方程，由此，教師可以引導學生從目標出發，明確求直線 l 方程的思路，即通過求解 B 點坐標或直線1的斜率進行求解，因此可以通過設點或設線法解決；再對題目已知進一步分析，圍繞 ΔABP 面積的表達方式，循序漸進地對多種解法進行分析，引發學生思考，并能夠針對每種解法可能出現的易錯點、難點等予以恰當引導，幫助學生系統梳理解題邏輯，建立解法聯系，進而選擇適切的方法規范解答問題，最后總結方法經驗，揭示問題本質

（四）立足理解學生，研究題的學法

學法即回應學生“如何學”的問題，教師在細致分析學情、弄清解題障礙的基礎上，予以適切的學法指導，教學生學會解題，包括如何找準解題的突破口，獲取解題的思路和方法；如何挖掘解題過程蘊含的思想方法；如何進行總結反思，提升解題能力等.探索例1第（2）題解法過程中，學生最容易想到解法，此時，不應停留在“套路化解題”層面，應幫助學生弄清解法產生的邏輯以及方法原理.基于此，還可以讓學生以獨立思考或小組合作的形式探討該解法的困難之處，探尋優化策略或新的解法，進而在探求 ΔABP 面積的其它表達方式的過程中發現新思路；學生全面梳理解題思路、步驟的基礎上，可以由不同的學生分別進行探索求解，并明確解法中的數學思想方法；最后，由學生自主探討、總結不同解法之間的關聯及優缺點，進行解題經驗的反思與總結.

四、“理”字聯結以循證，保證說題教研有依據

數學說題教研不僅需要透過“題”展現教師對數學本質的把握和對數學思想方法的理解，更應凸顯數學教師的教育理論素養，切實以教育教學理論指導數學說題的全過程，突出數學說題教研的“說理”特征，闡釋說題背后的設計意圖與深入思考，使數學說題并非教學經驗的簡單堆砌，而是遵循理論指導進行的理性分析，保證說題教研有堅實的理論根基，促使教師由經驗型教師向理論型教師、科研型教師轉變.

說題教師選用適切的教育教學理論作為說題的理論支撐，使教師能以一種精煉的、有序的方式呈現其理性思考，展示教師對教育教學理論的深度理解與應用.如在闡明解題策略的過程中，應用波利亞解題理論對審題、尋找解題路徑、答題等過程進行分析，即按“理解題目 $$ 擬定方案 $$ 執行方案$$ 回顧”的邏輯，闡明解決問題的過程.如例1第（2）題教法分析所述，可以根據“已知條件是什么”“要求結論是什么”“條件與結論的關系是什么”等啟發性提示語幫助學生弄清題意，認識問題考查的本質，借助于“怎樣解題表”中擬定方案、執行方案與回顧階段相應的啟發性提示語引導學生思考如何解題、表達以及反思.為探析例1的多種解法所體現的思維水平，有研究基于SOLO分類理論進行了解析，明確題目不同解法對學生思維層次的具體要求[12]，因此，說題過程中也可以借鑒與應用，從而更好地分析題目對學生思維發展要求，深化教師對題的理解.此外，基于維果茨基最近發展區理論，科學選擇解題教學的方法與策略，設計具有層次性的啟發性問題，盡可能多地將學生的“未知”“能知”轉化為“想知”，最后內化為“已知”；基于變式教學理論，對題目進行變通推廣，從不同角度、層次、情形和背景下重新認識問題，進而深入認識問題的數學本質，實現以例帶類的效果

五、“活”字托底行教研，保證說題教研有效率

數學說題教研作為新興教研形式，是提升教師專業素養和解題教學效率的重要途徑，為強化數學說題教研效果，應積極推進數學說題教研形式多樣化、實施常態化.組織形式可以根據實際教學與教研需求靈活變動，如根據數學說題教研的主題調整說題的具體維度與內容；根據解題教學的需要靈活安排教研時間和空間，使說題教研更具普適性、推廣性，更好地服務于解題教學與教研的需要，從而提升說題教研的效率

其一，靈活把握數學說題內容維度.根據不同教研主題，可以參考已有研究所建構說題的維度與要點[6][][13]，靈活組織說題教研的結構與內容.在內容闡述上，做到詳略得當，避免出現主次不分的情況，而包羅萬象的說題內容易降低說題教研效率，因此，應緊緊圍繞說題教研的主題和目標，力求說題內容細致深入，突出說題的重點[14].其二，靈活安排說題教研時間.根據教學需要，可將數學說題分為“預設型說題”和“反思型說題”，“預設型說題”旨在為更好地開展解題教學做準備，“反思型說題”則為改進與優化解題教學提供可能.其三，靈活組織說題教研空間.系統建設教研環境，通過多層次、多形式的數學說題教研活動，使數學說題教研常態化，增加教師之間交流的機會，分別以數學學科備課組、教研組為單位，開展以小題為主要內容的說題教研活動；以學校或區域為單位，組織以示范、交流、評比為主題的說題活動，創新數學說題教研形式；采用線上網絡教研或線上線下相結合的教研形式，打破地域限制，推動跨區域說題教研，進一步提高數學說題教研的效率，擴大覆蓋面.通過以上多種教研形式，增強數學說題教研的適用性與可行性，使其活躍在各類數學教研活動中，成為推動課堂教學改革的優質平臺.

說題教研聚焦于對“題”的深度剖析與探索，為教師搭建了一個從個體經驗到集體智慧碰撞的解題教學研討平臺，成為數學教師專業發展的新支點，促使教師從“經驗型教師”向具備深厚理論素養與卓越實踐能力的“研究型教師”轉變.數學說題教研應堅持目標導向，扎實推進；以學情為基點，精準對接學生發展需求；聚焦題目研討，全面深化解題研究；以理論為依托，促進理論與實踐的深度融合；靈活安排組織形式，確保高效運作.最終使數學說題教研真正成為解題教學研究的有效途徑，達到以研促教，以研促學，以研促改的效果，

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.教育部關于加強和改進新時代基礎教育教研工作的意見［EB/OL].（2019-11-25）[2025 -02 -18]. http：//www. moe. gov. cn/srcsite/A06/s3321/201911/t20191128_409950.html.

[2]宮前長.“選題”選出巧活“說題”說出精彩——從“說題\"教研活動的數學“選題”談起［J].中學數學，2012（17） ：67 -69.

[3]池新回.高中數學說題教研的價值與思考［J].中國數學教育，2018（Z2）：72-74.

[4]池新回，林京榕.高中數學說題教研效果欠佳的原因與對策[J].教學與管理，2019（16）：61-63.

[5]霍本斌.基于教師專業化發展的“說高考題”的視角與實踐[J].化學教學，2017（11）：14-19.

[6]洪夢，吳立寶，王富英.數學說題的內涵與結構[J].數學通報，2020，59（11）：58-63.

[7]陳鋒娟，章光瓊，張思，等.精準教研的內涵特征、價值取向與發展路徑[J].中國遠程教育，2024，44（3）：68-78.

[8]邵燕楠，黃燕寧.學情分析：教學研究的重要生長點[J].中國教育學刊，2013（2）：60-63.

[9]尚俊杰.學習科學導論［M」.北京：北京大學出版社，2023：410.

[10]陳玉喬.利用“說題”教研促進化學教師專業發展［J].中學化學教學參考，2011（11）：7-9.

[11]張桂麗，吳立寶，王富英.數學說題的“四維度”［J].中學數學教學參考（高中），2022（7）：65-69.

[12]唐愛文.基于SOLO分類理論的高考真題解析與教學啟示——以2024年高考數學全國I卷第16題為例[J].中學數學研究（華南師范大學版），2025（5）：3-7.

[13]趙洪貴，吳立寶.小學數學有效說題框架與案例剖析[J].天津師范大學學報（基礎教育版），2019，20（4）：36-39.

[14]姚志敏.“說課”的利弊分析及改進[J].教學與管理，2017（1） ：35-37.