基于高考數學反套路命題的一道試題命制過程

1 引言

高考數學作為選拔性考試的重要組成部分，其試題的命制不僅要考查學生的基礎知識掌握情況，還要考察學生的思維能力、創新能力及解決問題的能力.然而，傳統的數學試題命制往往陷入套路化的困境，導致學生習慣于死記硬背和機械解題，缺乏獨立思考和創新精神.因此，如何設計出具有挑戰性、啟發性和創新性的數學試題，成為高考數學命題改革的重要方向：反套路命題作為一種新的命題理念，強調打破傳統命題的固定模式，通過新穎、獨特的問題設置，激發學生的學習興趣和探索欲望，培養他們的創新思維和問題解決能力.如2024年全國高考新課標Ⅰ卷第8題為新情景試題，以不等關系呈現抽象函數與不等式；第11題考查學生的空間想象能力與應用意識；第19題給出新定義“可分數列”，要求考生有較強的邏輯推理能力與應用意識.特別是全卷由過去的22道題減少到19道題，同時增加了多選題的單題分值和解答題的總分值.這樣減少題量，給學生提供充足的思考時間.而全卷試題強化基礎性和綜合性，突出考查核心素養與創新能力，運算量穩中有降，堅持多角度、多層次考查，引導學生少算多想，整體有較大的創新，體現了“反刷題”“反套路”的命題思路[1].并且，全卷試題的順序安排也打破了常規，有所變化，靈活、科學地確定試題的內容、順序和難度，也是“反套路”的體現.基于上述思想，本文將以常規的解三角形設計一道反套路數學試題，旨在探討反套路命題在數學試題命制中的應用.

2 題目呈現

海倫公式是利用三角形的三條邊的邊長求三角形面積的公式，即 ， 分別為 ΔABC 中角 _A，B，C 所對的邊長.中國宋代的數學家秦九韶在1247年獨立提出了“三斜求積術”，雖然它與海倫公式形式上有所不同，但它與海倫公式完全等價，因此海倫公式又譯作海倫-秦九韶公式.根據以上材料解決如下問題：

（1）若在 ΔABC 中， c=3，b=2，∠BAC 的平分 （20線 AD 的長為 ，求 BC 邊上的中線AM和高線 AH 的長；

（2）證明海倫一秦九韶面積公式；

（3）若一個三角形的邊長與面積都是整數，則稱為“海倫三角形”；三邊長互質的海倫三角形，稱為“本原海倫三角形”；邊長都不是3的倍數的本原海倫三角形，稱為“奇異三角形”.

（i）求奇異三角形的最小邊長的最小值；

（ii）求證：等腰的奇異三角形有無數個.

3反套路命題的數學試題命制過程

3.1 題目構思

在構思這道反套路數學試題時，我們首先考慮到了題自的設計來源，盡可能從教材中挖掘或從以往的高考題自去改編.我們從人教A版教材必修第二冊習題6.4第20題和“閱讀與思考”欄目中的《海倫和秦九韶》出發，挖掘其中的素材，編制題目.海倫公式在三角形面積計算中的應用，但并未直接要求學生計算三角形的面積，而是圍繞海倫公式設計了一系列與三角形邊長、面積及幾何性質相關的問題.這些問題旨在考查學生對海倫公式的深入理解、對三角形幾何性質的把握以及綜合運用數學知識解決問題的能力.

3.2 設計思路

在設計這道題目時，我們遵循了以下思路：

層層遞進：題目從簡單的三角形邊長和角平分線長度的關系入手，逐步深入到海倫公式的證明和應用，再到復雜的三角形分類和性質探討，難度逐漸遞增，有利于不同層次的學生參與.具體來說，第（1）小題是在給定的三角形中，已知兩條邊的長度和一個角的平分線長度，求第三條邊上的中線和高線的長度；第（2）小題是證明海倫－秦九韶面積公式；第（3）小題是引入“海倫三角形”、“本原海倫三角形”和“奇異三角形”的概念，探討奇異三角形的最小邊長的最小值，并證明等腰的奇異三角形有無數個.

反套路設置：題目并未直接要求學生計算三角形的面積或求解簡單的邊長問題，而是通過一系列具有啟發性和創新性的問題設置，引導學生深入思考海倫公式的內涵和外延，培養他們的創新思維和問題解決能力.如第（1）小題先要通過角平分線問題，利用等面積法和正弦的二倍角公式建立簡單的三角方程，再結合中線常見的處理方式，借助向量研究長度和角度，進而解決問題.而關于高線，顯然用等面積法，再次涉及面積問題；第（2）小題并未直接用海倫面積公式去計算面積，而是去證明這個公式（課本原題），這其中考查了學生的各種能力，特別是運算能力和邏輯推理能力；第（3）問要求比較高，通過設置新的概念，利用分類討論思想，結合整除理論，考查學生的數學綜合素養.

注重思維訓練：題目不僅通過第（1）小題的常規問題要求學生掌握基本的數學知識和方法，還通過第（2）、第（3）小題的設置注重培養他們的邏輯思維、分類討論和數形結合等數學思維能力.例如，在探討奇異三角形的性質時，學生需要運用整除理論進行分類討論，并結合海倫公式進行推理

3.3 難度評估

我們根據題目的設計思路和內容，對題目的難度進行了初步評估.認為這道題目具有一定的可行性和可區分度.具體來說，第（1）小題主要考查學生對三角形基本性質和中線、高線等幾何量的理解，難度適中;第（2）小題要求證明海倫-秦九韶面積公式，需要學生具備一定的推理運算能力和對同角關系及余弦定理的掌握，難度較大；第（3）小題則是對學生分類討論思想和整除理論的綜合運用能力的考查，難度最大.

3.4 解題策略

針對這道題目，我們提出了以下解題策略：

明確目標：在解題前，首先要明確題目的要求和目標，了解題目所涉及的知識點和解題方向，理清思路：在解題過程中，要注重理清思路，明確每一步的解題步驟和所依據的數學知識或方法，分類討論：對于涉及多個可能情況或條件的問題，要進行分類討論，逐一分析每種情況或條件下的解題思路和方法.

數形結合：在解題過程中，要注重數形結合的思想，通過圖形直觀理解題目中的幾何關系，并結合數學公式進行推理和計算.

反思總結：在解題后，要進行反思總結，回顧解題過程中的思路和方法，總結經驗教訓，提高解題能力.

3.5 解答過程

基于上述解題思路和解題策略，本題給出了如下解答過程供參考.

解（1）設 ∠BAD =∠CAD=θ ，則 ∠BAC =2θ ，如圖1所示．由S_ΔABC=S_ΔABD+S_ΔACD 可得

圖1

，整理得 sinθ（3cosθ -√6）=0.又因為sinθ≠0，所以cosθ =√， 3，cos20 cos2θ 從而 由 _AM 是 BC 邊上的中線得（ 所以 （20 =b²+2bccos2θ+c²=17 故 從而由余弦定理得 BC²=a²=b²+c²-2bccos∠BAC=9 ，所以 a=3. 利用等面積法得 BC 邊上的高線 AH= 所以 BC 邊上的中線 AM 的長為 ，BC邊上的高線AH的長4√2

√p（p-a）（p-b）（p-e），其中p =a+b+c.

（3）（i）設 a，b，c（a?b?c） 是一個奇異三角形的三邊長.則由海倫公式知

因為 ^a，b，c 兩兩互質，所以， a，b，c 中至少有一個為奇數.如果 a，b，c 中有奇數個奇數，則 a+b+c a+b-c?a-b+c?-a+b+c 都是奇數，與式 ① 矛盾.因此， a，b，c 中恰有兩個為奇數.

若 a=1 ，由 c

若 a=2 ，由 c

當 c=b 時 +1）（b-1）×1×1=b²-1 ，因此， ，1=（b+S）（b -S） .但 b+Sgt;1 ，矛盾.

當 c=b+1 時， 一奇一偶 .故 a，b，c 中恰有一個奇數，矛盾.

若 a=4 ，則 都是奇數.由 c （204（2 （b+2）（b-2）×2×2=4（b²-4） ，所以，S為偶數令 ．則 （b+S₁）（b+S₁） .但 b+S₁gt;b-S₁ ，于是， b+S₁= 4，b-S₁=1 ，故 2b=5 ，矛盾.

當 c=b+2 時， ，所以，3|s.令 S=3S₁ ，則

若 3∣（b+3） ，則 3|b ，與奇異三角形矛盾.

若 3∣（b-1） ，則 3|（b+2）=c ，也與奇異三角 形矛盾.

綜上所述， a?5. 又（5，5，8）是奇異三角形，故奇異三角形的最小邊長的最小值為5.

（ii）若 n 一奇一偶，則 是奇異三角形.事實上， Δ=2mn（m²-n²） 為整數.其次，因 Δ_m，n 一奇一偶，則 （m²+n²，2）=1 故 （204號 ，最后，因為3 ∣mn ，且（m，n）=1 ，故 m_?n 中恰有一個是3的倍數，所以， m² （204號 +n²?2m²-2n² 都不是3的倍數.特別地，取 m=6k +l，n=6. 則 36k²+12k+37，36k²+12k+37，72k² +24k-70 ）是奇異三角形.

類似知，若 （204號 （m，n）=1，m，n 一奇一偶，則 4mn） 是奇異三角形.

特別地，取 m=6k+1，n=2 ，則 （36k²+12k+ 5，36k²+12k+5，48k+8） 是奇異三角形.

4 結論與展望

本文基于海倫公式及其相關問題的深入解析，探討了反套路命題在數學試題命制中的應用.通過設計一道包含三個小題的數學試題，從中我們展示了反套路命題在激發學習興趣、培養創新思維、提高解題能力和促進教育公平等方面的重要作用.然而，反套路命題在高考數學試題命制中的應用仍處于初步階段，還需要進一步的研究和探索.因此，我們在平時的教學中，特別是一些大型的模擬考試中可以繼續深人挖掘數學學科的內涵和外延，結合學生的認知特點和實際需求，設計出更多具有挑戰性、啟發性和創新性的數學試題.同時，我們還需要加強對反套路命題的評價和反饋機制的研究，以確保試題的公平性和有效性.

總之，反套路命題為高考數學試題命制提供了新的思路和方向，有助于推動高考數學命題改革的深入發展.我們期待在未來的高考數學試題命制中看到更多反套路命題的身影，為培養學生的數學素養和創新能力做出更大的貢獻。

參考文獻

[1]高考藍皮書·高考關鍵能力解析（2025）·高考數學，首都師范大學出版社

[2]高考試題分析（數學·2024年版），教育部教育考試院編，中國教育出版傳媒集團.

[3]中國高考評價體系，教育部考試中心，人民教育出版社

[4]普通高中數學課程標準（2017年版），中華人民共和國教育部制定，人民教育出版社.