從高中數學教材典型問題到高考試題（下)
2025-09-25 00:00:00謝廣喜
廣東教育·高中 2025年8期
—2026年高三數學第一輪復習建議
文/
這里主要研究以下四個部分內容：數列（數列的通項與求和）、立體幾何（含空間向量法）、平面解析幾何、概率與統計(含計數原理).
【典例剖析】
【典例1】(等差、等比的基本概念以及前 n 項和結構特征)
【教材溯源】1.（人教A版選擇性必修第二冊P25習題4.2第7題)已知 Sn 是等差數列 {an} 的前 n 項和. (1）證明 
是等差數列；（2）設 Tn 為數列
的前 n 項和，若 S4=12 ， S8=40 ，求 Tn
完全類似的問題，如：蘇教2021版選擇性必修第一冊P169本章測試第15（1)題，人教A版選擇性必修第二冊P41第12題等等，此處略.
2.（人教A版選擇性必修第二冊P24練習第2題)已知數列 {an} 的前 n 項和 
求這個數列的通項公式.
【聯系高考真題】
1.（2023年新高考Ⅰ卷第20題）設等差數列{an} 的公差為 d ，且 d>1 令 
n2+??，記S，T分別為數列 {an} ， {bn} 的前 n 項和． (1)若 3a2=3a1+ a3 ， S3+T3=21 ，求 {an} 的通項公式；（2）若 {bn} 為等差數列，且 S99-T99=99 ，求 d. 2
2.（2020年江蘇卷第11題，改動）設 {an} 是公差為 d 的等差數列， {bn} 是公比為 q 的等比數列，已知數列 {an+bn} 的前 n 項和 Sn=n2-n-1+2n(n∈N*) ，則 d+q= (
A.3 B.4 C. 5 D.6【簡解】由等差數列前 n 項和為 Tn=An2+Bn(n∈ N* ），由和式中出現 2n 知本題等比數列公比 
故其前 Ωn 項和 
， λ≠0 )，于是數列{an+bn} 的前 n 項和 Sn=n2-n-1+2n≡Tn+Rn=An2+Bn 
1-q（此時二者之間不會發生化簡情形），于是只有 
， Rn=-1+2n(n∈N?) ，立得 d= q=2 ，則 d+q=4 ，選B.
【評注】以上解法只利用等差、等比的基本概念以及他們的前 n 項和結構特征，就一舉突破了.
3.（2013江蘇卷第19題）設 {an} 是首項為 a 公差為 d 的等差數列( d≠0 ）， Sn 是其前 n 項和．記
（204號 n∈N* ，其中 
為實數．（1)若 c=0 ，且b1 ， b2 ， b4 成等比數列，證明： 
N* ）；(2)若 {bn} 是等差數列，證明： c=0
【評注】此法抓住了問題的等差、等比數列通項及前 n 項和表達式的結構根本特征（例如：等差數列的通項是關于 n 的形式一次函數，等差數列的前 n 項和項是關于 n 不含常數項的形式二次函數），徹底放開依賴于下角標或必須是兩個通項之比、兩個前 n 項和之比這樣的有特定要求的問題，將有關問題由傳統常見的封閉命題形態走向開放，拓展了命題視野，對考生的數學學科基礎知識、基本能力的要求更高.
【典例2】直線與圓的位置關系(引參消元法）
【教材溯源】1.（選擇性必修第一冊P67第10題)設 b 為實數，已知圓 x2+y2=4 ，直線 l:y=x+b 當 b 為何值時，圓 x2+y2=4 上恰有3個點到直線 ξl 的距離等于1．（參考答案： 
）
2.（蘇教2021版選擇性必修第一冊P65練習第
3題)兩圓 C1:x2+y2=1 與 C2:(x+3)2+y2=4 的公切
數學有數
線有幾條？（參考答案：三條，特別注意：其中有一條斜率不存在直線 x=-1 ）
【聯系高考真題】
1．（2023年全國乙卷文科第11題)已知實數 x ，y 滿足 x2+y2-4x-2y-4=0 ，則 x-y 的最大值是( ）
A. 
B.4 C. 
D. 7
2.（2022年新高考Ⅰ卷第14題）寫出與圓 x2+ y2=1 和 (x-3)2+(y-4)2=16 都相切的一條直線的方程
【評注】對于直線與圓的關系問題，我們經常采用數形結合的辦法來解決.本題的參考答案： x=-1 或 y=- 
4或y=24~24 （正確答出其中任意一個即得5分，多答有一個錯即不得分)．但筆者揣測命題者意圖可能是希望有考生答出 x=-1 這樣的答案．因為這個答案一
方面比較特殊，另一方面解題過程又比較簡潔，希望借助答案的差異來區分考生在數學能力上的差異，而借助圖形(右圖)觀察，發現問題中隱含的數量關系，從而快速突破可能是多數數學優秀生的首選方法.
【典例3】圓錐曲線的定義（焦點三角形背景問題）
【教材溯源】（人教2020版選擇性必修第一冊P109練習第3題)已知經過橢圓 
的右焦點（2號F2 作垂直于 x 軸的直線 AB ，交橢圓于 A ， B 兩點，F1 是橢圓的左焦點.
(1)求 ΔAF1B 的周長；（2）如果 AB 不垂直于 x 軸， ΔAF1B 的周長有變化嗎？為什么？
【聯系高考真題】
1.(2021年全國甲卷理第5題)已知 F1 ， F2 是雙曲線 c 的兩個焦點， P 為 c 上一點，且 ∠F1PF2= 60° ， ∣PF1∣=3∣PF2∣ ，則 c 的離心率為（ ）
A. 
B. 
C. 
（204號 D. 
2.（2022年新高考Ⅰ卷第16題)已知橢圓 c 
， c 的上頂點為 A ，兩個焦點為F1 ， F2 ，離心率為 
過 F1 且垂直于 AF2 的直線與 c 交于 D ， E 兩點， |DE|=6 ，則 ΔADE 的周長是
【典例4】圓錐曲線的中點弦背景問題
【教材溯源】（人教A版選擇性必修第一冊P128習題3.2第13題)已知雙曲線x-22 
，過點 P(1 ，1)與雙曲線交于 A 、 B 兩點， P 點能否為線段 AB 的中點，為什么？
【聯系高考真題】（2023年全國乙卷理科第11題）設A，B為雙曲線x2-22 上兩點，下列四個點中，可為線段 AB 中點的是( ）
A. (1，1) B.(-1，2) C. (1，3) D. (-1，-4)
【解析】本題有一個簡單巧妙的辦法，那就是要知道一個基本的結論：設斜率存在的直線 AB 與雙曲線 
，線段中點
坐標為M（??o，yo），于是kAB 
對于本題有
觀察圖像可以知道，此時直線的斜率必須滿足 0?∣kAB∣<3 ，也即 
，將帶人逐一驗證，易知只有D滿足要求.
【評注】本題以直線與標準雙曲線交點為背景，考查考生在具體情景下的探究能力，通常情況下，有一定的計算量，對考生的化歸轉化與耐心、細心等都有一定的要求.
【典例5】阿波羅尼圓
【教材溯源】（蘇教2021版選擇性必修第一冊P57第12題)已知點 
與兩個定點 O(0， 0) ，A(3， 0) 的距離之比為 
那么點 
的坐標應滿足什么關系？畫出滿足條件的點所構成的曲線(參考答案：阿波羅尼圓；圖略)
【聯系高考真題】（2015年湖北卷，理第14題）如圖，圓 c 與 x 軸相切于 T(1， 0) ，與 y 軸正半軸交于兩點 A 、 B(B 在 A 的上方)，且 |AB|=2
(1)圓 c 的標準方程為；
(2)過點 A 任作一條直線與圓 o ： x2+y2=1 相交于 M 、 N 兩點，下列結論：
其中正確結論的序號是 ．（寫出所有正確結論的序號)
【典例6】（挖掘線段長度中蘊含的垂直關系）
【教材源】（人教2020版選擇性必修第一冊P43 第10題)如圖，在正方體 ABCD-A1B1C1D1 中，E ， F ， G ， H ， K ， L 分別是 AB ， BB1 ， B1C1 ， C1D1 ，D1D ， DA 各棱的中點.
(1)求證： A1C⊥ 平面EFGHKL;
(2)求 DB1 與平面EFGHKL所成角的余弦值.
【聯系高考真題】
1.（2018年全國高考真題（理））已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面 α 所成的角都相等，則 α 截此正方體所得截面面積的最大值為（ ）
3 A. B. C. D. 2
2.2023年新高考乙卷第19題（由線段數量關系挖掘垂直關系）如圖，在三棱錐 P-ABC 中， AB⊥BC ， AB=2 ，
， PB=PC= 
， 
， BP ，
AP ， BC 的中點分別為 D ， E ， o ，點 F 在 AC 上， BF ⊥AO
(1)證明：EF//平面 ADO ：
(2)證明：平面 ADO⊥ 平面 BEF ： (3)求二面角 D/-AO-C 的正弦值.
【典例7】概率問題背景下的對稱性
【教材溯源】（蘇教必修第二冊P303第15題）甲、乙兩個同學分別擲一顆質地均勻的骰子.（1)求他們拋擲的骰子向上的點數相同的概率；（2)求甲拋擲的骰子向上的點數大于乙拋擲的骰子向上的點數的概率.
【聯系高考真題】（2024年新高考Ⅰ卷第9題）為了解推動出口后的畝收入（單位：萬元)情況，從該種植區抽取樣本，得到推動出口后畝收入的樣本均值x=2.1 ，樣本方差 s2=0. 01 ，已知該種植區以往的畝收入 X 服從正態分布 N(1.8， 0. 12) ，假設推動出口后的畝收入 Y 服從正態分布 
，則（ ）（若隨機變量 Z 服從正態分布 
，則 P(Z<μ+σ) ≈0.8413 ）
A. P(X>2)>0.2 B. P(X>2)<0.5
C. P(Y>2)>0.5 D. P(Y>2)<0.8
【評注】蘇教必修第二冊P303第15題表現了古典概型背景的概率對稱性，2024年新高考I卷第9題是表現正態分布密度曲線及其對稱性正態分布密度曲線關于其對稱軸 x=μ 對稱，對稱軸左右兩邊的面積各為0.5.
【典例8】含有相同元素的計數或概率計算計算
【教材溯源】（蘇教2021版選擇性必修第一冊P88第6題)今有2只紅球、3只黃球，同色球不加以區分，將這5只球排列成一列，有 種不同的方法．（參考答案： 
【聯系高考真題】（2021年全國甲卷，理第10題）將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（ 1
【解析】4個1和2個0隨機排成一行，共有
種，2個0相鄰共有 
種，則2個0不相鄰排法共有 15-5=10 種，故2個0不相鄰的概率為 
也即本題的正確答案為C.
數學有數
【評注】含有對于相同元素的排列、組合，我們可以先將這些相同艾素看成是不同的（此時問題已轉化為我們熟知的情境了），最后再考慮這些相同元素之間的置換，對問題的影響即可.
【典例9】以全概率公式馬爾科夫鏈為背景的問題
【教材溯源】（人教2020版選擇性必修第三冊P91第10題)甲、乙、丙三人相互做傳球訓練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，求 n 次傳球后球在甲手中的概率.
【聯系高考真題】
（2023年新高考第21題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中則此人繼續投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.
（1)求第2次投籃的人是乙的概率；
(2)求第 i 次投籃的人是甲的概率；
(3)已知：若隨機變量 Xi 服從兩點分布，且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi ， i=1 ，2，…， n ，則
記前 n 次（即從第1次到第 n 次投籃)中甲投籃的次數為 Y ，求 E(Y)
【典例10】有序枚舉
【教材溯源】（蘇教必修第二冊P288第17題）齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬；田忌的中等馬優于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬；田忌的下等馬劣于齊王的下等馬．現雙方各出上、中、下等馬各匹分組分別進行1場比賽，勝2場及以上者獲勝，若雙方均不知對方馬的出場順序，試求田忌獲勝的概率.
【聯系高考真題】（2024年高考數學（新課標[卷）第14題)甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標有一個數字，甲的卡片上分別標有數字1，3，5，7，乙的卡片上分別標有數字2，4，6，8，兩人進行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機選一張，并比較所選卡片上數字的大小，數字大的人得1分，數字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用)．則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為
【評注】這類問題可以用枚舉法求解之，但如何枚舉呢？事實上，我們可以假設齊王或者田忌按照一定的順序出馬，然而對方不知道，隨機應對，所以，田忌賽馬問題樣本空間只有6種，完全類似地，上面這道高考真題的樣本空間只有24種.
【典例11】挖掘運動變化中的不變恒常(探究動直線過定點）
【教材溯源】（人教選擇性必修第一冊P80第16題)已知 λ 為任意實數，當 λ 變化時，方程 3x+4y-2 +λ( 2x+y+2)=0 ，表示什么圖形，圖形有何特點？（直線，恒過點（-2，2））
【聯系高考真題】
(2023年全國乙卷理第20題)已知橢圓 c 
的離心率為 
點 A(-2， 0) 在 c 上
(1)求 c 的方程；(2)過點（-2，3)的直線交 c 于點 P ！ Q 兩點，直線 AP ， AQ 與 y 軸的交點分別為 M ， N ，證明：線段 MN 的中點為定點.
【典例12】幾何背景中蘊含的不等式
【教材溯源】（人教必修第二冊P37第16題）用向量方法證明：對任意的 αa ， b ， ∣c∣ ， d∈R ，恒有不等式(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)
【聯系高考真題】（2023年新高考I卷第22題)在直角坐標系xOy 中，點 P 到 x 軸的距離等于點 P 到點 
的距離，記動點 P 的軌跡為 W.
(1)求 W 的方程;(2)已知矩形ABCD有三個頂點在 W 上，證明：矩形ABCD的周長大于 
【評注如果從數學模型的建立的源頭或所使用的數學知識基礎來看，可以分為函數與導函數模型（注：如將理解為特殊的函數，方程、不等式理解為函數在不同情境下的表現或要求，則數列模型、方程模型及不等式模型都不必再單獨列出，不過讀者要注意，數列的下角標的正整數取值限制）、解三角形模型、立體幾何模型、平面解析幾何模型、概率與統計模型等等；如果從模型的結果形態來看，絕大多數情況下表現為函數或不等式的模型，比如函數模型常常具體表現為：距離函數模型（進而演化出封閉規則圖形的周長函數模型）、斜率函數模型、面積函數模型（多邊形尤其是三角形面積，主要利用兩點間距離公式及點到直線距離公式)等等，相關典型問題有：參數辨識（求函數表達式結構確定的其中待定參數）、最值(值域)研究等等.
【典例13】基于 2×2 列聯表的假設檢驗(獨立性檢驗)
【教材溯源】（人教2020版選擇性必修第三冊P140 第8題)．為考察某種藥物預防疾病的效果，進行動物試驗，得到如下列聯表：單位：只
依據 α=0.05 的獨立性檢驗，能否認為藥物有效呢？如何解釋得到的結論？
【聯系高考真題】
（2022年新高考Ⅰ卷第20題）一醫療隊為研究某地的一種地方性疾病與當地居民的衛生習慣（衛生習慣分為良好和不夠良好兩類)的關系，在已患該疾病的病例中隨機調查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調查了100人（稱為對照組).得到如下數據：
(1)能否有 99% 的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛生習慣有差異？
(2)從該地的人群中人選一人， A 表示事件“選到的人衛生習慣不夠良好”， B 表示事件“選到的人患有該疾病” 
的比值是衛生習慣不夠良好對患該疾病風險程度的一項度量指標，記該指標為 R☉ (i)證明： 
(ii)利用該調查數據，給出 P(A∣B) ， 
的估計值，并利用 (i) 的結果給出 R 的估計值.
附： 
【評注概率與統計主要是三類問題： ① 概率問題（重點是獨立事件與互斥事件）， ② 成對數據的線性擬合（線性回歸）， ③ 基于 2×2 列聯表的假設檢驗（獨立性檢驗）.
【重點內容同步練習】
1．等差數列 {an} 、 {bn} 的前 n 項和分別為 Sn Tn 已知 
貝 
H
2.若正項等差數列 {an} 的前 Ωn 項和為 Sn ，正項
等比數列 {bn} 前 n 項和為 Tn ，且 
+n )，若已知 
則 bn= ；若一般地，0
則 a2024+b2024 的最小值為，
3.(自編題)如果數列 {an} 任意相鄰兩項的積為同一常數，我們定義這個數列為“等積數列”．現在已知數列 {an} 為等積數列，且 a1=1 ， a2=2 ，若將其前 n 項和記為 Sn ，則 S100=(
A. 150 B.152C. 154 D．以上答案都不對
4.【自編原創】已知圓 c ： 
點 B(2， 0) ，動點 P 在圓 C 上，則 
的最小值為（ ）
5.（2023年浙江省杭州市高三模擬試題）馬爾科夫鏈是概率統計中的一個重要模型，也是機器學習和人工智能的基石，在強化學習、自然語言處理、金融領域、天氣預測等方面都有著極其廣泛的應用．其數學定義為：假設我們的序列狀態是…，Xt-2，Xt-1，Xι ， Xι+1 ，…，那么 Xι+1 時刻的狀態的條件概率僅依賴前一狀態 Xt ，即 P(Xt+1∣?，Xt-2，Xt-1，Xt)= P(Xt+1∣Xt)
現實生活中也存在著許多馬爾科夫鏈，例如著名的賭徒模型：假如一名賭徒進入賭場參與一個賭博游戲，每一局賭徒賭贏的概率為 50% ，且每局賭贏可以贏得1元，每一局賭徒賭輸的概率為 50% ，且賭輸就要輸掉1元．賭徒會一直玩下去，直到遇到如下兩種情況才會結束賭博游戲：一種是手中賭金為0元，即賭徒輸光；一種是賭金達到預期的 B 元，賭徒停止賭博．記賭徒的本金為 A(A∈N* ， A
0.50.5 22
1 A-1AA+1 T L
0 B 0.50.5
當期促丁有 0≤n≤B ， n∈N 時，最終輸光的概率為 P(n) ，請回答下列問題：
(1)請直接寫出 P(0) 與 P(B) 的數值.(2)證明 {P(n)} 是一個等差數列，并寫出公差 d? (3)當 A=100 時，分別計算 B=200 ， B=1000 時， P(A) 的數值，并結合實際，解釋當 B?∞ 時，P(A) 的統計含義.6.(自編題)古希臘著名數學家阿波羅尼與歐幾里得、阿基米德齊名，他發現：“平面內與兩個定點的距離之比為定值 λ(λ>0，λ≠1) 的軌跡是圓”，后來，人們為了紀念他，將這類圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼圓(簡稱阿氏圓)，現在在一平面直角坐標系 xOy 中，A(-2， 0)，B(4， 0) ，點 P 滿足 
記點 P 的軌跡為 c ，則下列結論正確的是（ ）
面 MAB 與平面 NAB 的夾角的正弦值是
【參考答案】
1.【解析】由等差數列通項及其前 n 項和表達式的結構特征，可令 Sn=λn2 ， Tn=λn(n+2) ，（其中 λ 是和 n 無關的非零常數)，于是有 S6=36λ ， bn=(2n+ 
（2041)λ ，進而即 b6=13λ ，于是 選A.
2.【解析】這是一道具有一定原創特點的改編試題，本題著重考查考生對等差、等比數列的前 n 項和的結構特征的深刻理解，等差數列的前 n 項和 Sn 結構特征為關于字母 n 的、不含常數項的“形式”二次函數 Sn=An2+Bn ，（其中 A ， B 均為和 n 無關的常數，特別地，公差為0時 A=0 )；而等比數列的前 Ωn 項和Tn （我們這里僅考慮公比 
情形)的結構特征 Tn= 
但由于等差數列的前 Ωn 項和 Sn 與等比數列的前 n 項和 Tn 相乘以后可能有非零常系數之間的約分，于是依題意，當 
時易知， Tn=2n-1 ，此時， bn=2n-1 ；一般地，我們可令 
（204 (λ> 中
0)， 
（其中 λ 為正常數，另外常系數 
放置于任何一個數列中去對本題的答案無影響），進而利用任意數列的前 n 項和與通項的基本關系易得，
，從而 a2024+b2024=2λ+ 
，(當 λ=21011 時取等號).A. C 的方程為 (x+4)2+y2=9 B. 在 x 軸上存在異于 A ， B 的兩點 D ， E ，使得
C. 當 A 、 B 、 P 三點不共線時，射線 PO 是
∠APB 的角平分線D.在 c 上存在點 M ，使得 ∣MO∣=2∣MA∣
7.（2025年蘇錫常鎮二模數學試題)在各棱長均相等的正四面體PABC中，取棱 PC 上一點 T ，使 PT =2TC ，連接 TA ， TB ，三棱錐 T-PAB 的內切球的球心為 M ，三棱錐 T-ABC 的內切球的球心為 N ，則平
3.【解析】可知該數列是周期為2的周期數列， 于是 S100=3×50=150 ：本題的正確答案為A.
4.【解析】本題可理解為阿波羅尼圓逆問題，為解決距離函數系數不相等的局面，我們探索在該平面內是否存在定點 
，使得對圓 c 上任一點，有 
成立，顯然，如果定點 A 存在，圓 c 正是關于兩個定點 A ， o 的阿波羅尼圓（已知 o 點在圓外，則 A 在圓內（如果存在的話)，且在 OC 連線上），利用阿波羅尼圓有關知識，取一特殊的 P 點（比如oc 連線段與圓的交點），可設 A(t，t) ，可求出 
下面給出另一方法求 A(m，n) ，設 
是
圓C上任一點，于是，一方面有(??x-1)2+(yo-1)2=2，
另一方面由 
有 x02+y02=3[(x0-m)2+(y0-n)2]
兩式聯立消去 x02 ， y02 項得 (-6m+4)x0+(-6n+4)y0+3(m2
，該式對圓 c 上任一點都成立，故必須有
，也得 
，
即 
該點在圓 c 內部．于是 
(P，A 、 B 三點共線時取等號)選B.
5.【解析】（1)當 n=0 時，賭徒已經輸光了，因此 P(0)=1 ，當 n=B 時，賭徒到了終止賭博的條件，不再賭了，因此輸光的概率 P(B)=0 5(2)記 M ：賭徒有 Ωn 元時最后輸光的事件， N 賭徒有 n 元時上一場贏的事件， P(M)=P(N)P(M∣ 
，即 
1)，所以 P(n)-P(n-1)=P(n+1)-P(n) ，所以{P(n)} 是一個等差數列，設 P(n)-P(n-1)=d ，則P(n-1)-P(n-2)=d ，…， P(1)-P(0)=d ，累加得P(n)-P(0)=nd ，故 P(B)-P(0)=Bd ，得 
(3)A=100 ，由 P(n)-P(0)=nd 得 P(A)-P(0)= Ad ，即 
當 B=200 時， P(A)=50% ，當B=1000 時， P(A)=90% ，當 B∞ 時， P(A)1 因此可知久賭無贏家，即便是一個這樣看似公平的游戲，只要賭徒一直玩下去就會 100% 的概率輸光.
6.【解析】由題意有 
整理為(x+4)2+y2=42 ，這是一個以（-4，0)為圓心4為半徑的圓，與選項對照可知A錯；過該圓圓心作 x 軸垂線，該直線方程為 x=-4 ，并以其為對稱軸，得到A(-2， 0) 點的對稱點 A'(-6， 0) ，得到 B(4， 0) 點的對稱點 
，很顯然，若我們取 A'(-6 ，0)點為 D 點， 
點為 E ，根據軸對稱性，
立得 
就滿足B選擇支的要求，所以B正確；當 A ， B ！ P 三點不共線時，構成 ΔPAB ，已知此時由條件有 
而由題意得 |OA|=2 ， |OB|= 0
4，顯然有 
于是 
逆用內角1
平分線定理可知，射線 PO 是 ∠APB 的角平分線，C正確；下面來看選項D，設軌跡 c 上存在一點 M 滿足 ∣MO∣=2∣MA∣ ，而由題意可知 |MB|=2|MA| ，于是 ∣MO∣=∣MB∣ ，即點也應在線段 ?OB 的垂直平分線，即 x=2 上，而它和軌跡 c 的交集為空集，所以D選項錯，綜上所述，本題正確答案為B、C.
7.【解析】由于角度是相似變換的不變量，不妨取該正四面體的棱長為2， D 為 AB 中點，則易得 PD= 
， cos∠PDC 
易由對稱性，知 
為所求二面角
的平面角，于是 
則所求的二面角的正弦值為 
（1
【作者簡介：資深講師，業余高考數學試題研究專家，無錫華羅庚研究會副會長，無錫市濱湖區科學教育專家庫成員，從事高考數學/物理研究近三十余載，專著五本，在省級以上正式刊物發表初等數學、物理研究文章三百余篇（知網收錄140多篇，多篇文章被人大書報資料中心轉載），完成江蘇省教育科學“十四五”重點規劃課題兩項（主持、核心組成員各一），目前主要從事中等、高等數學物理跨學科學習研究】
責任編輯 徐國堅
