例談立體幾何中三棱錐外接球的模型及解題策略

當(dāng)多面體的所有頂點均分布于同一球面時，該幾何體稱為球的內(nèi)接多面體，對應(yīng)的球體則稱為多面體的外接球.此類問題的研究需融合多面體與球面的幾何關(guān)系，尤其需發(fā)現(xiàn)多面體棱長、二面角等與外接球半徑的定量關(guān)聯(lián)．其中，多面體外接球半徑的求解方法常成為突破復(fù)雜幾何問題的關(guān)鍵．下面，筆者以三棱錐為研究對象，重點探究三棱錐的外接球模型及其解題策略.

能補形成為長方體（或正方體）模型的三棱錐

若正方體的邊長為 Ψ_a ，則正方體的外接球半徑 R

若長方體的長、寬、高分別為 Ψ_a ，b， ，則長方體的外接球半徑

1．墻角模型

在三棱錐中，若存在一條側(cè)棱與底面垂直，且底面為直角三角形，這樣的幾何模型稱為墻角模型．對于這類特殊結(jié)構(gòu)，可以通過補形法將其擴展為長方體來簡化計算，具體類型如下：

例1．《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉．四面體SABC是一個鱉膰，已知ΔABC 是直角三角形， ∠ABC=90^° ， SA=AB=2 ， SC= ， BC=4 ，則平面 SAB 截該鱉膰的外接球所得截面面積為

解析：設(shè) _SC 的中點為 o ，連接 oA ， OB ，因為鱉膰的四個面都是直角三角形，且 SA=AB=2 ，故 SA ⊥AB ，因為 ∠ABC=90^° ， AB=2 ， BC=4 ，故 AC=2 又 SA=2 ， ，故 SA⊥AC 又 AC∩AB=A AC ， ABC 平面 ABC ，所以 SA⊥ 平面 ABC ，又 BC? 平面 ABC ，所以 SA⊥BC 又 AB⊥BC ， SA∩AB=A ，SA ， ABC 平面 ABS ，： BC⊥ 平面 ABS ，又 BSC 平面ABS ，所以 BC⊥SB ，： ΔSBC 和 ΔSAC 都是以平面sc 為斜邊的直角三角形．由于 o 為 sc 的中點，則點o 為四面體S-ABC外接球的球心，：外接球的半徑 R ，且點 o 到平面 SAB 的距離為 ： ΔSAB 的外接圓半徑 ，：平面 SAB 截四面體SABC的外接球的截面的面積為 2π

數(shù)學(xué)有數(shù)

2.對棱相等模型

對棱相等模型是三棱錐的三組對棱長分別相等模型，可以補成長方體．三棱錐的三組對棱長分別為 ，長方體長寬高分別為 x ， ，則 x²+y²= a² ， x²+z²=b² ， y²+z²=c² ，所以外接球的半徑

例2.三棱錐中 S-ABC ， ， SB=AC ， ．則三棱錐的外接球的表面積為

解析：因為三棱錐 S-ABC 對棱相等，所以可以把三棱錐放進長方體中，設(shè)長方體長寬高分別為 x ，則 x²+y²=13 ， x²+z²=5 ， y²+z²=10 ，故 ，所以

變式：（多選）在 ΔABC 中， BC=6 ， AB+AC=8 E ， F ， G 分別為三邊 BC ， CA ， AB 的中點，將ΔAFG ，△BEG，△CEF，分別沿 FG ， EG ， EF ，向上折起，使 A ， B ， c 重合，記為 P ，則三棱錐 P-EFG 的外接球表面積的取值可以為（ ）

A. B. C. D.

解析：設(shè) AB=2m，AC=2n ，由題設(shè) m+n=4. 三棱錐 P -EFG中， FG=PE=3 ， EF=PG=m ， EG=PF=n ，將P-EFG 放在棱長為 x ， y ， z 的長方體中，則有（x²+y²=3² ，{y²+z²=m² ，三棱錐 P -EFG的外接球就是長方體的外接?z²+x²=n² 球，所以 ，由基本不等 ，當(dāng)且僅當(dāng) m=n=2 時等號成立，所以外接球表面積 （20 故答案為BCD.

二、能補成直三棱柱模型的三棱錐

直三棱柱的外接球球心 o 的位置是 ΔABC 的外心O₁ 與 ΔA₁B₁C₁ 的外心 O₂ 連線的中點．若小圓 O₁ 的半徑 AO₁=r ， CC₁=h ，則

例3．已知直三棱柱 ABC-A₁B₁C₁ 中， AB=AC= 2， （204號 c 點到直線 A₁B₁ 的距離為 ，則三棱錐 A₁-ABC 的外接球表面積為

解析：過點 c 作 CD⊥A₁B₁ 于點 D ，連接 C₁D ，因為三棱柱 ABC-A₁B₁C₁ 為直三棱柱，： 平面A₁B₁C₁ 又∵ A₁B₁? 平面 A₁B₁C₁ ，： CC₁⊥A₁B₁ ： CC₁ ，CDC平面 CC₁D ，且 CC₁∩CD=C ，： A₁B₁⊥ 平面 平面 CC₁D ，： A₁B₁⊥C₁D ，易知 ， ， ，則CC₁=2 ，設(shè) ΔABC 外接圓圓心為 O₁ ， ΔA₁B₁C₁ 外接圓圓心為 O₂ ，則 ，即 O₁A=2 ，且三棱錐外接球球心 o 為 OO_?1 中點，則外接球半徑 R=OA= ，表面積為 4πR²=20π

1．有一側(cè)棱與底面垂直的模型

如圖為有一側(cè)棱與底面垂直的棱錐模型，已知三棱錐 A-BCD ，且 AC⊥ 平面 BCD ，三棱錐可補為圖二的直三棱柱，由直三棱柱的性質(zhì)可知球心 o 的位置位于 ΔBCD 的外心 O_? 與 ΔAB₂D₂ 的外心 O₂ 連線的中點．若小圓 O₁ 的半徑 CO₁=r，AC=h ，則

例4．已知在三棱錐 P//BC 中， PA⊥ 底面 ABC PA=2 ， ∠ABC=120^° ， ΔABC 的面積為 則三棱錐 P//BC 的外接球表面積的最小值為

解析：取 ΔABC 的外接圓圓心 H ，過點 H 作平面ABC的垂線，則三棱錐 P-ABC 的外接球的球心 o 在該垂線上，且 OH=1 ，在 ΔABC 中， （204號即 ac=6 ，所以 b²=a²+c²-2accosB≥ ，即 （當(dāng)且僅當(dāng) a=c 時取等號），設(shè) ΔABC 外接圓半徑為 r ，由正弦定理得 2r= ，即 ，所以外接球的半徑 ，則 S=4πR²≥28π ，故三棱錐 P//BC 的外接球表面積的最小值為 28π

2.有一側(cè)面與底面垂直的模型

有一側(cè)面垂直于底面的棱錐型，可以放于三棱柱中直觀感受圖形特點，也可用文章后面的坐標(biāo)法，在這里要介紹的是幾何法，常見的圖形有四類（如圖）：類型I是雙直角三角形模型，如圖 ΔABC 與 ΔBCD 都是直角三角形，由球的定義可以判斷球心位于直角三角形的公共斜邊BC的中點；類型Ⅱ是 ΔABC 是等邊三角形，△BCD是直角三角形，且平面 ABC 與平面BCD垂直，此時球心 o 位于 ΔABC 的外心；類型Ⅲ：當(dāng)兩個全等的等邊三角形互相垂直時，可分別在兩三角形外心處作各自平面的垂線，其交點即為外接球球心.類型V：對于任意兩個普通三角形互相垂直的情況，求解方法與類型Ⅲ類似．區(qū)別在于確定普通三角形外心時，需借助正弦定理計算外接圓半徑，從而準(zhǔn)確定位外心位置

類型I

類型Ⅱ

類型Ⅲ

類型IV

例5．在直三棱柱 ABC-A₁B₁C₁ 中，側(cè)棱長為2，AC⊥BC ， ，點 D 在上底面 A₁B₁C₁ （包含邊界）上運動，則三棱錐 D/-ABC 外接球半徑的取值范圍為

解析：設(shè) AB 的中點 O₁ ， A₁B₁ 的中點為 E ，連接O₁E ，三棱錐 D-ABC 外接球的球心為 o ，可得點 o 在 O₁E 上，設(shè) OO₁=x ， DE=t（0≤t≤2） ，由條件建立關(guān)于球的半徑的表達式，從而求出半徑的取值范圍即可.由 ΔABC 為等腰直角三角形不難得出， AC=BC= ，即 ΔABC 的外接圓的圓心為斜邊 AB 的中點 O₁ ，且 AO₁=2 設(shè) A₁B₁ 的中點為 E ，連接 O₁E ，則O₁E//AA₁ ， O₁E⊥ 平面 ABC ：設(shè)三棱錐 D-ABC 外接球的球心為 o ，由球的性質(zhì)可得點 o 在 O₁E 上，設(shè)OO₁=x ， DE=t（0≤t≤2） ，外接球的半徑為 R ，連接OA ，OD．因為 OA=OD=R ，所以 ，即 t²=4x ，又 0≤t≤2 ，則 0≤x≤1 ，因為 R²=x²+4 ，所以 4≤R²≤5 ，則 ：

三、二面角模型

三棱錐 A-BCD ，已知二面角 A-BC-D 的大小為α ，求解外接球半徑的步驟如下：

（1）△ABC和△BCD的外接圓圓心分別為 、O₂ ，分別過 O₁ 和 O₂ 作平面 ABC 和平面BCD的垂線，其垂線的交點即為球心 o （圖1）.

（2）過 O_?1 作交線 BC 的垂線，垂足記為 M ，連接 O₂M ，則 O₂M⊥BC （圖1）.

圖1

圖2

r₁ ， r₂ ，

（3）設(shè) O_? ， O₂ 到交線 BC 的距離分別為交線 BC 的長度為 l ，利用圖2求解三角形可推出 再根據(jù)圖3可以推導(dǎo)半徑（即 OB ）公式：

圖3

例6．已知正三棱錐 P//BC ，底面邊長為三棱錐3，二面角三棱錐 P-AB-C 的正切值為 ，則正三棱錐三棱錐 P//BC 的外接球半徑為

解析：過 P 作 PE⊥ 面 ABC ，因為 P//BC 是正三棱錐，則 E 是 ΔABC 的中心，連接 AE 并延長交 BC 于 F ，則 F 是 BC 的中點，連接 PF ，因為 AF⊥BC PF⊥BC ，所以 ∠PFA 為二面角 P-AB-C 的平面角，又 E 是中心，則 ，在 RtΔPEF 中，由 tan∠PEF= 得到 ，因為 P-ABC 是正三棱錐，則 P-ABC 的外接球球心在PE 上，設(shè)球心為 o ，半徑為 R ，連接 oA ，如圖，由∣OA∣²=∣OE∣²+∣EA∣² ，得到 ，解得 R=2

四、坐標(biāo)法模型

對于普通三棱錐（容易建系寫出坐標(biāo)）的外接球問題，可以通過建立空間直角坐標(biāo)系來求解，首先寫出三棱錐的頂點坐標(biāo)，再利用球心到各頂點的距離相等建立方程組，從而得出球心坐標(biāo)，進一步得到球的半徑長．坐標(biāo)的引入，使外接球問題的求解從繁瑣的定理推論中解脫出來，轉(zhuǎn)化為計算問題，大大降低了解題的難度．由于坐標(biāo)法的一般性公式太過繁瑣，下面只用例題進行介紹和講解

例7．四面體 ABCD 在空間坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)分別為 則該四面體的外接球的表面積為

解析：設(shè)四面體ABCD的外接球球心為 ，則 x²+y²+z²=x²+y²+（z-1）²=x²+（y-2）²

解得 所以外接球的半徑為

所以

五、任意三棱錐模型（克列爾（A.L.CRELLE）公式）

對于任意三棱錐 A-BCD ，設(shè)三組對棱分別為 Φ_a 和a₁ ， b 和 b₁ ， ∣c∣ 和 c₁ ，三棱錐為 V ，則外接球半徑 R= 其中

例8．已知三棱錐 P-ABC 中， PA=PB=PC _， AB =AC=BC=2 ， E ， F 分別是 PA ， AB 的中點， ∠CEF η=90^° ，則球 o 的體積為（ ）

A.8 （20 B.4 C.2 D.

解析：∵ PA=PB=PC 為邊長為2的等邊三角形，： P//BC 為正三棱錐，： PB⊥AC ，又 E ， F ，分別為 PA ， _AB 的中點，：EF//PB，∴ EF⊥AC ，又1 ∴EF⊥EC ， EC∩AC=C ，： PB⊥ 平面 PAC ，： ∠APB=90^° ，所以 ，可以求出三棱錐 P//BC 的體積為 根據(jù)克列爾公式可以求出三棱錐 P-ABC 的外接球半徑 所以 V 球"=" ，故選D.

空間幾何的類型很多，所以相應(yīng)求解其外接球的方法也還有很多，例如正棱錐（底面是正偶數(shù)邊性形）可以利用截面法求解，還有已知球心或球半徑求解模型、圓錐的斗笠模型等．空間幾何題中三棱錐是一定具有外接球，所以此文只針對三棱錐外接球的解題策略和模型探究，希望能以小見大，借助以上五類模型給高考考生探究空間幾何體外接球問題，促進空間想象能力和邏輯思維能力，提升核心素養(yǎng)能力.

【作者簡介：中學(xué)數(shù)學(xué)一級教師，優(yōu)秀班主任、優(yōu)秀教師，希望杯數(shù)學(xué)競賽優(yōu)秀教練員，曾獲廣東省中學(xué)青年教師優(yōu)秀課評比一等獎，多次參與廣州市市級規(guī)劃課題】

責(zé)任編輯 徐國堅