基于數學運算素養導向的教學實踐與探究

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A[文章編號] 1674-6058（2025）23-0016-04

一、問題提出

“三新\"（新課標、新教材、新高考）背景下，數學教師需改變傳統教學方式，積極探索能提升學生創新能力、發展學生數學學科核心素養的教學方法.在傳統的數學課堂中，學生多習慣被動接受現成結論并用于解題，教師將教學重點放在解題技能訓練上，卻忽視了對學生數學學科核心素養的培養，導致學生創新能力不足.

在一次聚焦數學運算素養現狀的調研中，對我校高二學生進行學情測試.結果顯示， 85% 的學生能熟練背誦點到直線的距離公式，但僅 15% 的學生能夠獨立完成該公式推導；面對復雜情境， 60% 的學生無法正確選擇運算策略來解決問題.

傳統教學模式下，教師常直接呈現公式，嚴重影響學生數學運算素養的發展.學生學習時被動接受知識，陷入“會代公式、不懂本質\"的機械化操作困境，難以在不同情境中靈活運用知識解決問題，這一現象反映出當前學生數學運算素養薄弱，根源在于教學未注重培養該素養.

二、理論依據

依據《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》對數學運算素養的內涵界定，其核心要素涵蓋“理解運算對象、掌握運算法則、探究運算思路、求得運算結果”四個關鍵維度，共同構成了從認知基礎向實踐能力發展的完整能力鏈.與此同時，APOS理論揭示了數學概念建構的內在規律，即學生需經歷活動（Action）、過程（Process）、對象（Object）和圖式（Scheme）四個階段的認知發展，實現從具體操作到抽象理解的躍遷，為核心素養的培養提供了清晰的階段化路徑.基于上述雙重理論，本文旨在構建一個以“理論導向一認知進階一素養生成”為核心的三位一體教學模型.通過對解析幾何典型課題“點到直線的距離公式”進行教學重構，本文探索推動學生從知識被動接受者轉向意義的主動建構者的有效策略，最終實現數學學科核心素養的深度培養，

三、教學實踐

環節1：運算對象分析—幾何關系的代數轉化

問題1：如圖1所示，在平面直角坐標系中，求點 P（x₀，y₀） 到直線 l：Ax+By+C=0 的距離 d

師：我們應當如何解決這個問題？請思考解決方案及規劃具體的運算路徑.同時，請大家回顧一下，解決幾何度量問題通常有哪些方法？

圖1

生：（在教師引導下回答）常用的方法有坐標法、向量法、幾何法、函數法.

師：現在請大家根據所提出的方法，判斷其是否適用于本問題，并梳理出每種方法的關鍵步驟（見表1）.

表1每種方法的關鍵步驟及素養聚焦點

續表

設計意圖：本環節以問題為驅動，引導學生自主構建解決問題的策略與運算路徑，實現知識遷移能力的提升，并深入理解幾何問題代數化的基本思想，為后續公式的推導奠定基礎、提供多元思路.通過分析運算對象、選擇解題策略，培養學生分析問題的能力，提升學生的邏輯推理素養；鼓勵學生自主設計運算路徑，對比與評估不同方法的優劣，進而培養批判性思維與創新意識.

環節2：運算方法探究—運算思維的多元發展

1.代數方程法：通過方程與坐標的運算解決距離問題

學生首先進行獨立探究，隨后進行小組討論，交流運算過程中的體會和心得，最后展示完整的運算過程.具體方法如下：

利用 PQ⊥l ，可設直線 PQ 的方程為 Bx-Ay= Bx₀-Ay₀ ，聯立方程組 解得直線 ξ_l 與直線 PQ 的交點（即垂足 Q ）的坐標為 再根據兩點間距離公式計算 |PQ|

問題2：在運算過程中遇到結構復雜、計算量大的困難，應如何應對？

生甲：我選擇直接計算一一先將分式通分，再逐項展開平方并進行化簡.雖然運算量較大，但只要耐心細致地完成每一步，最終也能得出結果.

生乙：我通過觀察式子的整體結構和局部特征，發現可以先通分，再靈活運用因式分解與整體整合來優化運算.這樣無須展開平方就可以很快地得到結果.具體步驟如下：

|PQ|=

師（點評）：這兩位同學在運算過程中展現出的精神是我們應具備的運算品質.遇到運算量大的問題，我們既要有迎難而上“硬算”的勇氣和耐心，也要在運算過程中持續觀察式子的結構特點，主動運用運算法則優化運算過程.

設計意圖：本環節旨在讓學生認識到，數學運算不僅要求熟練掌握規則，更需具備嚴謹、細致、耐心的態度以及良好的抗挫折能力、邏輯思維能力與分析能力.數學運算是知識、邏輯和行為習慣的綜合體現，需通過理解結合訓練逐步強化，最終形成準確、高效的數學思維.

問題3：在以上方法中，我們求出了垂足 Q 的坐標.但從目標來看，是否必須計算出 Q 的坐標？是否可再優化這個運算策略？

師（引導）：若設點 Q 的坐標為 （x_Q，y_Q） ，則目標表達式為 ，請思考：是否一定要求出 Q（x_Q，y_Q） 才能解決問題？

生（思考后）：可以利用換元思想，把 （x_Q-x₀）² 和 （y_Q-y₀）² 視為整體，借助直線方程組求解，從而優化運算.

學生根據此思路開展獨立探究，并進行小組交流和成果展示，具體過程如下：

將原方程組 變形為 （204 （20

利用兩個方程在形式上的“對偶\"特征，將兩式平方相加后整體消元，直接得：

師（點評）：通過對運算目標的整體把握，以及對條件和表達式結構的深度分析，運用整體換元等技巧，可大大簡化運算過程.

設計意圖：本環節著重引導學生深度分析運算對象，捕捉條件與目標之間的內在關聯，采用運算技巧優化運算，從而提升學生的數學運算素養.

2.向量投影法：向量工具在幾何問題中的運用

問題4：我們知道向量是溝通代數與幾何的高效工具.那么，如何運用向量方法求解點到直線的距離呢？

師：在立體幾何中，我們是否曾經運用過向量解決距離問題？如有，具體是利用了向量的哪種運算？

生：在立體幾何中，我們使用過向量的投影運算來解決點到平面的距離問題.

師：很好，現在請大家嘗試將立體幾何中“求點到平面距離\"的向量方法遷移到平面情形中，來解決\"點到直線的距離\"問題.

學生先獨立進行探究實踐，隨后開展小組交流，并展示運算過程.具體如下：

由直線 l 的方程 Ax+By+C=0 易知直線 l 的法向量為 在直線 l 上的任取一點 A（x，y） 得向量 ，則點 P 到直線 l 的距離d 為 在法向量 上的投影，結合點 A（x，y） 滿足Ax+By+C=0 ，則有

師（點評）：通過向量的投影直接計算距離，避免了傳統方法中先求垂足坐標再套用距離公式的煩瑣步驟，有效簡化了運算.

設計意圖：向量方法是本課時的教學重點.向量作為連接代數與幾何的橋梁，能有效解決幾何中的距離、角度問題.在“空間向量與立體幾何”章節中，學生已掌握用投影向量求解點到直線、點到平面距離的方法，這為在平面幾何中進一步研究點到直線的距離提供了思維基礎.本節課旨在培養學生運用向量方法解決幾何問題的意識，增強相關知識的遷移與應用能力.向量法不僅具有表達簡潔、邏輯統一、直觀性強的特點，更有助于培養學生的抽象思維和解決一般性問題的能力.

3.幾何構造法：構造特殊的幾何圖形，結合代數運算求解問題

問題5：如果用構造幾何圖形的方法解決這個問題，你覺得構造哪種特殊圖形更便于求解？

生：可以考慮構造等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、正方形、矩形等特殊圖形.

師：請大家嘗試作圖，思考哪一種圖形既易于構造又利于求解.

學生獨立進行探究，隨后開展小組交流，并展示運算過程.具體如下：

根據問題的幾何特征，可選擇構造直角三角形，并利用直角三角形的邊角關系求 （204如圖2所示，當直線 l 不與坐標軸垂直時，過點 P（x₀，y₀） 作水平直線，與直線 ξ_l 交于點 M ，設M（x_M，y₀） ，直線 ξ_l 的傾斜角為 θ ，則 PM=x_M-x₀ 且 ∠PMQ=θ 或 ∠PMQ=180^°-θ ，因此 |PQ|= ∣PM∣sin∠PMQ ，結合 Ax_M+By₀+C=0 及 P易得結果.當直線垂直于坐標軸，可檢驗結果也成立.

圖2

師（點評）：此構造方法有效.它利用垂直特征構造直角三角形，通過作水平直線，能很好地關聯已知點 P 的坐標與直線 l 的斜率，進而直接表達所求目標.當然，過點 P 作豎直直線效果相同.

設計意圖：幾何構造法結合幾何特征解決幾何問題，是高中處理此類問題的關鍵.它有助于學生體會解析幾何中“以形助數，以數解形”的思維方式，提升利用幾何特征輔助運算、運用數形結合思想的能力.將一般“傾斜的”情形轉化為特殊“水平的或豎直的”情形來求點到直線的距離公式，蘊含特殊與一般、轉化與化歸的思想方法，也體現了坐標系在研究幾何問題中的作用.此外，運用該方法還需調動三角函數知識，有助于培養學生解決綜合問題的能力.

4.函數極值法：從函數視角解決極值最值問題

問題6：點 P 到直線的距離本質是點 P 與直線上所有點距離的最小值，從該角度分析，能否用函數思想求此最小值？

師：若從函數角度思考，解決問題的路徑是怎樣的？

生：先確定函數的解析式，明確自變量及其范圍，再依據函數特點確定求最值的方法.

學生獨立思考，教師引導梳理解題路徑，具體如下：

設 A（x，y） 是直線 l 上任意一點，當 B≠0 時，有 Y Ax+C，則|PA丨=√x-x）2+（y-yo）2，，所以

生：通過消元，目標函數可化為二次函數，求其最值思路簡單，但運算煩瑣，不好處理.

師：沒錯，這是用函數求最值的常規思路.不過，函數解析式不好整理，運算復雜.造成困難的主要原因是把變量 y 用 x 代換后，解析式系數復雜，所以我們可以考慮不代換，在雙變量視角下解決問題，即目標可表述為：

已知點 A（x，y） 滿足 Ax+By+C=0 ，求 |PA|²= （x-x₀）²+（y-y₀）² 的最小值.

方法一（雙變量函數）： （A²+B²）|PA|²=（A²+ B²）[（x-x₀）²+（y-y₀）²]=[A（x-x₀）+B（y-y₀）]²+ [B（x-x₀）-A（y-y₀）]² ，即 當且僅當 B（x-x₀）=A（y-y₀） 時， ”成立.

方法二（柯西不等式）： B²）[（x-x₀）²+（y-y₀）²]?[A（x-x₀）+B（y-y₀）]²= （Ax₀+By₀+C）² ，當且僅當 B（x-x₀）=A（y-y₀） 時1 ”成立，即

設計意圖：函數極值法是處理最值問題的重要方法.通過該方法，可培養學生運用函數思想解決問題的能力.運用過程中，雖能通過消元較快找到目標函數的解析式，但會面臨運算困難.基于此，給出兩種處理雙變量的方法，旨在拓寬學生視野、提升其能力，讓學生在面對運算困難時，多思考并聯系已有知識解決問題.

環節3：算法歸納總結—素養能力的提升與進階

師：接下來，請大家歸納上述四種方法在解決問題中的難點和突破方法，并思考哪種方法解決此問題最佳.

（教師引導，學生整理歸納，見表2）

生：我認為向量投影法是解決這個問題的最優解法，向量是解決幾何問題的有力工具.不過，其他方法同樣是我們要掌握的基本方法.在運算遇到困難時，要學會剖析問題，抓住規律與特征，優化運算；還要多將知識、方法和問題進行聯系與遷移，找到突破困難的方法.

問題7：請大家根據上述方法，多角度思考，解決以下幾個問題.

（1）設點 P₀（x₀，y₀） 在直線 Ax+By+C=0 上，求證：這條直線的方程還可以寫成 A（x-x₀）+ B（y-y₀）=0. （20

（2）已知實數 x，y 滿足 y=x²+1 ，求 最大值.（3）若直線1沿 x 軸向左平移3個單位長度，再沿 y 軸向上平移1個單位長度后，回到原來的位置，試求直線 l 的斜率.（4）已知 AO 是三角形 ABC 的中線，證明：|AB|²+|AC|²=2（|AO|²+|OC|²）.

設計意圖：通過歸納總結，深化學生對內容的理解，引導他們比較不同方法，總結其中蘊含的數學思想方法；帶領學生依據問題特征優化數學運算，使學生在具體情境中感悟并習得數學基本思想，提升數學運算素養.

四、結束語

新課標強調，高中數學課程應幫助學生掌握“四基”，提升五大關鍵能力，并發展數學學科核心素養.教師在教學設計中應深入思考如何有效幫助學生獲得數學基本思想和基本活動經驗.APOS理論指導下的“理論導向一認知進階一素養生成”三位一體教學模式，可系統深人培養學生的數學學科核心素養.在“點到直線的距離公式”的教學中，不應因推導過程復雜或耗時較長而回避，而應充分利用這一課時，引導學生在活動體驗中提升數學學科核心素養和基本能力.數學基本思想和基本活動經驗需通過過程性教育逐步積累，因此教師應重視讓學生親身經歷數學知識發生發展的過程，在知識建構中滲透數學思想方法，從而真正實現學科核心素養的落地.

［參考文獻］

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[3」章建躍.核心素養立意的高中數學課程教材教法研究[M].上海：華東師范大學出版社，2021.

[4］章建躍.利用幾何圖形建立直觀通過代數運算刻畫規律：解析幾何內容分析與教學思考（之一）[J].數學通報，2021，60（7）：7-14.

[5」濮安山，史寧中.從APOS理論看高中生對函數概念的理解[J].數學教育學報，2007（2）：48-50.

（責任編輯 黃春香）