解構抽象 剖析內涵 實操破局

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A[文章編號] 1674-6058（2025）23-0020-04

高中階段對函數圖象的對稱性的討論，主要圍繞軸對稱和中心對稱兩種類型展開.其中，軸對稱主要討論對稱軸為垂直于 x 軸的直線的情況.對稱性在函數定義及單調性等基本性質之后引入[1-3].在學生掌握函數奇偶性概念的基礎上，適當拓展，可進一步系統研究一般軸對稱和中心對稱函數的特點[4-6].

高中關于函數對稱性的教學與考查，注重引導學生理解對稱性的定義和性質，掌握函數的奇偶性與對稱性的關系，認識圖象平移對函數對稱性的影響，并能通過解析式判斷對稱軸或對稱中心.綜合類題目常結合導數知識考查學生綜合運用函數性質解決問題的能力，

解決函數對稱性問題，數形結合至關重要，通過函數的代數表達和幾何性質理解問題是關鍵.相較于一般函數或抽象函數，三角函數的對稱性更直觀.學生系統學習三角函數，不僅能夠深化對對稱性的理解，更有助于從動態視角理解函數的性質，逐步實現知識的融會貫通，為突破抽象函數對稱問題提供堅實支撐.

一、函數對稱性基礎知識及理論拓展

函數對稱性是高中數學函數部分的基礎知識，與單調性、周期性、奇偶性等性質并列，是理解函數圖象和性質的關鍵.該知識點在高考中考查形式多樣，涵蓋選擇題、填空題和解答題，既有直接考查定義和性質的簡單題，也有結合圖象、變換和實際應用的復雜題[7-8].

學習函數對稱性有助于鍛煉學生的數學思維，能幫助學生培養直觀想象素養與數形結合能力，使其在解決相關問題時能夠迅速把握結構特征、形成解題思路.因此，函數對稱性既是學生必須掌握的重要知識點，也在培養學生數學思維和解決問題能力方面作用重大.

對人教版教材的梳理顯示，教師在引入函數奇偶性時，一般依據奇函數與偶函數的定義得出：f（x） 為偶函數的充要條件是其圖象關于 y 軸對稱；f（x） 為奇函數的充要條件是其圖象關于原點中心對稱.強調 ?x∈D （定義域），則 -x∈D 具體定義如下：

偶函數： ?x∈D，f（-x）=f（x） （即 f（-x）-f（x）= 0）? 圖象關于 y 軸（即 x=0 ）對稱.

奇函數： ?x∈D，f（-x）=-f（x）（ 即 f（-x）+f（x）= 0）? 圖象關于原點（即 （0，0） 對稱.

進一步拓展思考偶函數的定義，可推得更一般的軸對稱性質：

?x∈D，f（-x）=f（x） ，即 f（0-x）=f（0+x） ，則函數圖象關于 x=0 軸對稱，若 f（a-x）=f（a+x） 則函數圖象關于 x=a 軸對稱（由此也可看出函數y=f（a+x） 是偶函數）；若 f（a-x）=f（b+x）. 則函數圖象關于x= 軸對稱.

這部分內容的教學設計采用數形結合，有助于加深學生理解.借助圖形觀察，學生在概念描述上不易出錯，且容易達成共識.不過，內容推導和演示雖直觀易懂，但若未形成具體模式，未梳理總結觀察的落腳點和關鍵點，那么學生在遇到變換形式的考查時，就無法關聯相關內容.因此，課堂演示結束后教師需適度留白，通過變換形式的抽象表達式，為學生提供函數基本性質理解階段性演進的空間.

普適的表達 ：f（a-x）-f（b+x）=0 ，函數圖象關于 軸對稱.

拓展奇函數定義可得到中心對稱性質：

?x∈D，f（-x）=-f（x）. ，即 f（-x）+f（x）=0，f（a- x）+f（a+x）=2c ，則函數圖象關于點 （a，c） 中心對稱.易知 由此也可以看出函數 y=f（a+x）-c 是奇函數）.

推廣 ;f（-x）+f（2a+x）=2c，f（2a-x）+f（x）= 2c ，都具備關于 （a，c） 中心對稱的性質； f（a-x）+ f（b+x）=c ，關于 中心對稱.

也可以寫成 f（-x）+f（a+b+x）=c ，函數圖象關于 中心對稱.

普適的表達 ：f（a-x）+f（b+x）=c ，函數圖象關于 中心對稱.

對稱性的抽象函數整理總結，能為學生掌握這部分內容提供重要抓手.因此，課堂應將這部分內容的整理總結與之前從函數奇偶性到對稱性的推演連貫呈現.畢竟學生的思考具有連續性，不宜將知識點分散在不同課時講授，否則學生難以構建知識體系.不同學生對這部分內容的理解存在差異，課堂上教師不宜安排難度過高的習題，可選用簡單習題輔助理解和練習，人教A版教材的基礎練習就適合新授課學生.函數對稱性雖是高中初級階段較難掌握的知識點，但學生思維活躍，教師應充分鼓勵其發散思維，以更好地理解消化知識.

二、人教版高中數學教材抽象函數對稱性證明及課堂例題研究

人教版高中數學教材在復習函數的單調性和奇偶性后，推進對稱性和周期性的教學.這種設置符合學生的認知規律，有利于學生構建完整的知識體系.探究函數對稱性和周期性的代數性質與幾何意義，充分體現了轉化與化歸思想的內在邏輯，以及從特殊到一般、數形結合思想，進一步完善了函數性質的知識體系.學生需在研究過程中把握變化中的規律與不變因素，掌握解決此類問題的關鍵方法[9].

人教A版高中數學必修第一冊第87頁第13題聚焦抽象函數的中心對稱及軸對稱，教師可借此引導學生深人理解對稱性和對稱變換的特點，掌握識別和尋找對稱中心和對稱軸的方法.下面給出該題的證明過程.

13.我們知道，函數 y=f（x） 的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數 y=f（x） 為奇函數，有同學發現可以將其推廣為：函數 y=f（x） 的圖象關于點 P（a，b） 成中心對稱圖形的充要條件是函數 y=f（x+a）-b 為奇函數.

（1）求函數 f（x）=x³-3x² 圖象的對稱中心；

（2）類比上述推廣結論，寫出“函數 y=f（x） 的圖象關于 y 軸成軸對稱圖形的充要條件是函數 y= f（x） 為偶函數”的一個推廣結論.

分析：首先，證明函數 y=f（x） 的圖象關于點P（a，b） 成中心對稱圖形的充要條件是函數 y= f（x+a）-b 為奇函數.

證明：

充分性：函數 y=f（x） 的圖象關于點 P（a，b） 成中心對稱圖形，則有 f（a-x）+f（a+x）=2b ，對f（a+x）-b 進行變形可得 x）-b] ，根據奇函數的定義，對于函數 g（x）=f（a+ x）-b ，有 ，所以函數 y=f（a+x）-b （2號為奇函數.

必要性：同理得證.

對于這個充要條件，可從圖象平移的角度理解：函數 y=f（x） 的圖象關于點 P（a，b） 成中心對稱圖形，將函數 y=f（x） 的圖象沿 x 軸向左平移 Φ_a 個單位，得到 y=f（a+x） 的圖象關于 （0，b） 中心對稱；再沿 y 軸向下平移 b 個單位，得到 y=f（a+x）-b 的圖象關于原點 （0，0） 中心對稱，根據奇函數的圖象性質可知 y=f（a+x）-b 為奇函數.反之，如果 y= f（a+x）-b 為奇函數，將函數圖象向右平移 a 個單位，再向上平移 b 個單位，即可得到 y=f（x） 的圖象，顯然其關于 P（a，b） 中心對稱.

其次，證明（2）推廣結論：函數 y=f（x） 的圖象關于直線 x=a 成軸對稱圖形的充要條件是函數y=f（a+x） 為偶函數.

證明：

充分性：函數 y=f（x） 的圖象關于直線 x=a 成軸對稱圖形，則有 f（a-x）=f（a+x）. 令 f（a+x） ，則 g（-x）=f（a-x） ，所以 g（-x）=g（x）. 根據偶函數的定義，可知 f（x+a） 為偶函數.

必要性：反之易得.

這個性質可通過圖象平移來理解，此處不再展開論述.

以上兩條性質，給出一般軸對稱和中心對稱的充要條件.

最后，求函數 f（x）=x³-3x² 圖象的對稱中心.

解：已知函數 y=f（x） 的圖象關于點 P（a，b） 成中心對稱圖形的充要條件是函數 y=f（a+x）-b 為奇函數.假設函數 f（x）=x³-3x² 圖象的對稱中心為 （a，b） ，則 y=f（a+x）-b 為奇函數，即 f（a+x）- ，即 f（a+x）-b=（a+x）³-3（a+ 則 ，化簡得

由于 x∈（-∞，+∞） 的任意性，上式恒成立必然有

因此，函數 f（x）=x³-3x² 圖象的對稱中心為（1，-2）

通過研究這道習題，學生能體會到函數圖象平移會改變其對稱性.這種變化源于奇偶性的本質特性.借助圖象變化，學生能充分感受到數形結合工具的強大魅力.雖然本題以抽象函數為切入點，但所得結果具有普遍適用性，即便對于無法直接繪圖的函數，該結果也同樣有效，對稱性真是函數中美妙的性質！

三、函數對稱性與周期性綜合試題的考查

課堂上適度引人高考真題的簡化版或拆解版，有助于拓寬學生視野.高考題目命制嚴謹，考查的知識點精準恰當，既能助力學生有效構建知識體系，又不會讓學生覺得過于吃力，還能激發學生學習興趣，為課堂教學增添亮點.

[例1]（2021年新高考 I 卷，T8）已知函數 f（x） 的定義域為 R（f（x） 不恒為0） ，f（x+2） 為偶函數，f（2x+1） 為奇函數，則（ ）.

C.f（2）=0D.f（4）=0

分析： ?f（x+2） 為偶函數， ∴f（x） 關于 x=2 軸對稱； ∵f（2x+1） 為奇函數， ∴f（2x+1）=-f（-2x+ 1），即 f（x） 關于點 （1，0） 中心對稱，且 f（1）=0

由函數中心對稱與軸對稱的關系可知， f（x） 的周期為 T=4

由 f（1）=0 ，又根據 f（x） 關于 x=2 軸對稱，易知f（3）=0 ，再根據周期性，易知 f（-1）=0 ，故選B.

本題通過推廣應用抽象函數對稱性和周期性的性質，全面考查學生對函數基本性質的掌握以及運用其解決實際問題的能力.題目設計巧妙，兼顧基礎性與綜合性，兼具靈活性，能引導學生深入思考，培養其創新思維和解決問題的能力.

[例2]（2021年全國甲卷，T12）設函數 f（x） 的定義域為 R，f（x+1） 為奇函數 ，f（x+2） 為偶函數，當 x∈[1，2] 時 ，f（x）=ax²+b. 若 f（0）+f（3）=6 ，則 ）.

分析： ∵f（x+1） 為奇函數， ∴f（x） 關于 （1，0） 中心對稱，且 f（1）=0 ： ∵f（x+2） 為偶函數， ∴f（x） 關于 x=2 軸對稱.

由中心對稱與軸對稱關系，易知 f（x） 的周期為T=4 ，且 f（3）=0

： ?f（0）+f（3）=6 ， ?f（0）=6 ，又根據 f（x） 關于（1，0） 中心對稱，易知 f（2）=-6

當 x∈[1，2] 時 ，f（x）=ax²+b ，分別有 f（1）=a+ b=0 ， f（2）=4a+b=-6 ，易知 ，則x∈[1，2] 時 ，f（x）=-2x²+2.

又根據 f（x） 的周期為 （204號由于不滿足 x∈[1，2] ，無法代入求函數值.

再次根據 f（x） 關于 （1，0） 中心對稱，易知 此時滿足 x∈[1，2] ，即可代人函數求值， ，故選D.

解答時，學生要運用函數的對稱性和周期性簡化問題、尋找解題突破口.分析函數圖象的對稱軸與對稱中心可確定特定區間內函數值的變化規律；利用周期性，可將復雜區間內的函數值轉化為簡單區間內的值，從而簡化計算.

[例3]（2022年全國高考 I 卷，T8）已知函數f（x） 的定義域為R，且 f（x+y）+f（x-y）=f（x）f（y） f（1）=1 ，則 ：

A. ^-3 B.-2 C. 0 D.1分析：取 x=1，y=0 ，則 f（1）+f（1）=f（1）f（0）

由 f（1）=1 ，易知 f（0）=2 再令 y=1 ，則 f（x+1）+ f（x-1）=f（x） ，在此基礎上，令 x=x+1 ，上式即為f（x+2）+f（x）=f（x+1） ，兩式相加，則 f（x+2）+ f（x-1）=0 ，易知 f（x） 的周期為 T=6

根據 f（x+1）+f（x-1）=f（x） ，以及 f（0）=2 f（1）=1 ，推得

根據周期性， f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=-3 ，故選A.

通過結合函數的周期性，運用抽象函數特殊值代人的方法，考查學生靈活應變及處理抽象函數的能力.解答此類問題時，學生需具備知識理解能力，能靈活運用函數工具.處理抽象函數，不僅要求學生熟練掌握函數的基本性質和運算規則，還需理解這些性質，具備靈活應用特殊值代入法的能力.通過這類題目的訓練，學生可進一步提升知識應用能力和思維能力.

[例4]（2022年全國乙卷理科，T12）已知函數f（x），g（x） 的定義域均為R，且 f（x）+g（2-x）=5 ， ，若 y=g（x） 的圖象關于直線x=2 對稱， ，則 ）.

A. ^-21 B.-22 C.-23 D.-24

分析：對 g（x）-f（x-4）=7 ，取 x=2-x ，則g（2-x）-f（-2-x）=7① ，結合 f（x）+g（2-x）=5 ② ，由 ②-① 得 f（x）+f（-2-x）=-2 ，易知 f（x） 關于（-1，-1） 中心對稱，由于定義域為 R ，易知 f（-1）=-1 再對 ，取 x=2+x ，則 g（2+ x）-f（x-2）=7③ 由于 y=g（x） 的圖象關于直線 x=2 對稱，有 結合 f（x）+g（2-x）=5 ， ②-③ 得到 f（x）+ f（x-2）=-2④ 令 x=x+2 ④ 式即 f（x+2）+f（x）=-2⑤ ⑤-④ 得到 f（x+2）=f（x-2） ，易知 f（x） 的周期為 T=4 再根據 和 f（x）+g（2-x）=5 ，易知f（0）=1.

再結合 ④，f（x）+f（x-2）=-2 ，以及 f（-1）=-1 得到：

由于 f（x） 的周期為 T=4 ，故選D.

考查學生對函數周期性的理解以及運用特定值代入法處理抽象函數問題的能力.解決此類問題時，學生應先準確理解函數周期性的定義，通過觀察、代數變換等分析與簡化函數表達式，進而確定周期函數.同時，需熟練掌握特定值代入的技巧，該方法常可揭示函數的對稱性或周期性特征，從而簡化問題求解.

四、結束語

函數的基本性質是高中階段學生需重點理解并掌握的知識，其中奇偶性、對稱性和周期性體現了函數的重要性質特征，且互相關聯.抽象函數是高中數學的學習難點，因其抽象度高，學生畏難情緒重，若再結合考查函數的對稱性和周期性，學生處理起來會更覺棘手.本文從函數奇偶性切入，深入剖析函數的對稱性，結合高考真題探討對稱性與周期性搭配的題目特征及分析思路，助力學生更好地理解和掌握這些概念，提高解決實際問題的能力.通過函數對稱性分析，學生能直觀把握函數圖象特征；結合高考真題練習，不僅能鞏固理論知識，還能提升解決實際問題的綜合能力，

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（責任編輯 黃春香）