高中數(shù)學(xué)章引言課的教學(xué)實(shí)踐探究

[中圖分類號] G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A[文章編號] 1674-6058（2025）23-0012-04

一、研究背景

人教A版（2019）教材在各章節(jié)特別設(shè)計有圖文結(jié)合的引言部分，形式豐富，內(nèi)容精要.然而實(shí)際教學(xué)中，師生普遍對章引言關(guān)注不足，能有效利用者更少.截至投稿前，筆者在中國知網(wǎng)以“引言課”為關(guān)鍵詞共檢索到51篇論文，涵蓋小學(xué)、初中、高中所有學(xué)科，其中數(shù)學(xué)學(xué)科引言課教學(xué)研究雖不多，但有6篇論文發(fā)表于北大核心期刊.這表明引言課教學(xué)的研究既必要又有價值，也仍存在較大的探索空間.

優(yōu)化教學(xué)方式、提升教學(xué)效率，是提升教育質(zhì)量的永恒主題.章引言在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、滲透數(shù)學(xué)思想方法等方面具有獨(dú)特價值.2024年9月，筆者在觀摩備課組內(nèi)教師公開課并參與評課討論時，現(xiàn)場研討氣氛熱烈，與會教師最終達(dá)成共識：一堂課乃至一個章節(jié)，應(yīng)如一部電視劇，存在一條或多條明線與暗線.基于對新教材的解讀與個人教學(xué)實(shí)踐，筆者進(jìn)一步將章引言課比喻為“一部電視劇的起點(diǎn)\"和“劇情發(fā)展的伏筆”—它有時是“明線”，有時是“暗線”，對展示數(shù)學(xué)發(fā)展過程、揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)、構(gòu)建本章知識結(jié)構(gòu)、呈現(xiàn)基本思想方法、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情大有裨益.這一認(rèn)識，也成為本研究的出發(fā)點(diǎn).

二、研究價值和意義

若有人問：是什么吸引你看完一場電影？很多人會回答：是開場的幾分鐘.這體現(xiàn)了心理學(xué)中的首因效應(yīng)（又稱首次效應(yīng)、第一印象效應(yīng)，由美國心理學(xué)家A.S.Lochins于1957年提出）.該理論指出，人們在初次交往中對所接觸的人、事、物形成的認(rèn)知，往往對后續(xù)的認(rèn)知和判斷產(chǎn)生持久且難以改變的影響.

在開啟新章節(jié)的學(xué)習(xí)時，每個學(xué)生都會對新知識有所期待.教師上好“引言課”，能直接影響學(xué)生學(xué)習(xí)新知識的動機(jī)、興趣、意志和情感.然而，即便是有十幾年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的教師，也常常對“引言課\"感到棘手—一盡管對主體內(nèi)容胸有成竹，卻因章引言看似內(nèi)容“相對泛化”指向“不夠明確”而有說不清道不明的無力感.

如何用好章引言、上好引言課，對教師的知識儲備、閱讀廣度和教學(xué)研究能力都提出了更高要求．一節(jié)好的引言課，必須經(jīng)過認(rèn)真?zhèn)湔n、精心設(shè)計，才能達(dá)到\"轉(zhuǎn)軸撥弦三兩聲，未成曲調(diào)先有情”的效果.

三、章引言課的備課要點(diǎn)

其一，準(zhǔn)確把握學(xué)生的最近發(fā)展區(qū).例如，學(xué)習(xí)數(shù)列時，學(xué)生已能計算 1+2+3+…+100 ，甚至聽過高斯的故事；學(xué)習(xí)計數(shù)原理時，學(xué)生會進(jìn)行簡單枚舉，但缺乏系統(tǒng)性方法.

其二，要深入研究整個章節(jié).章節(jié)教學(xué)應(yīng)從整體出發(fā)，以全局視角將整章內(nèi)容編排成一部情節(jié)連貫的“連續(xù)劇”.因此，章引言課不僅要發(fā)揮首因效應(yīng)，更應(yīng)如《紅樓夢》中女媧煉天的一塊頑石化作的“寶玉”，或是“薛定諤的貓”，由此展開后續(xù)的“故事”.設(shè)計章引言課時，要深人研究整個章節(jié)，依據(jù)學(xué)情精心規(guī)劃，確保各部分知識緊密相連．

其三，素材選取應(yīng)內(nèi)外兼顧.素材可來源于教材章引言、改編的數(shù)學(xué)史料、生活中的數(shù)學(xué)實(shí)例以及從數(shù)學(xué)內(nèi)部合理創(chuàng)設(shè)的情境等.以“計數(shù)原理”一課為例，教材引言呈現(xiàn)的街道與車輛場景——馬路上行駛的汽車及其車牌號，以及蘇州車牌原來有了“蘇E”為什么還要增加“蘇U”，均可作為教學(xué)素材.教師可借助教材章引言和配圖，將歷史線索與現(xiàn)代科技相融合，引入計數(shù)模型，讓學(xué)生感受排列組合結(jié)果的奇妙，體會計數(shù)與現(xiàn)實(shí)生活的密切聯(lián)系．

四、“計數(shù)原理”章引言課的教學(xué)設(shè)計

“計數(shù)原理\"章引言課教學(xué)以情境為載體、活動為主線，設(shè)置情境引入、問題探究、感受現(xiàn)實(shí)生活中的計數(shù)、提煉小結(jié)四個環(huán)節(jié)（如圖1）.其教學(xué)流程如下：

情境引人 問題探究 感受現(xiàn)實(shí)生 提煉小結(jié)活中的計數(shù)

（一）情境引入

師：老師這里有一部智能手機(jī)，它帶有數(shù)字密碼鎖，有0到9共10個按鍵.昨晚老師設(shè)置了新密碼后就直接睡著了，今早起來忘了具體密碼，只記得當(dāng)時設(shè)的是按從小到大排列的4個數(shù)字，前兩位是35，后兩位不記得了，大家能幫老師猜猜后兩位數(shù)字是什么嗎？

（教師將密碼界面投屏）

生1：67，68，69，78，79，89.

師：還有嗎？

生2：沒有了，已經(jīng)列出所有情況了，師：你是如何確定沒有其他可能情況的？

生2：我是按規(guī)律找的，從6到9兩兩配對，就是67，68，69，78，79，89.

師：按規(guī)律找就不會遺漏.現(xiàn)在猜猜老師的手機(jī)密碼是什么，哪個同學(xué)愿意上來幫忙解開？不過只有一次機(jī)會，猜對有獎勵哦！（拿出一根棒棒糖）

（課堂氣氛活躍，學(xué)生躍躍欲試）

生3：從6，7，8，9這4個數(shù)中選出2個數(shù)，構(gòu)成十位數(shù)字小于個位數(shù)字的數(shù).

生4：從這4個數(shù)中選出2個數(shù)就行.

師：用幻燈片展示，如圖2所示.

圖1“計數(shù)原理\"章引言課活動主線

設(shè)計意圖：通過簡單有趣的活動活躍課堂氣氛，引入課題，吸引學(xué)生的注意力，提高學(xué)生的課堂參與度.

（二）問題探究

師：擁有手機(jī)的同學(xué)請舉手！放心，老師不查 手機(jī)，只要沒在校園里.（幽默一笑）

（學(xué)生紛紛舉手）

師：你們的手機(jī)密碼都設(shè)了幾位數(shù)？

（學(xué)生紛紛回應(yīng)：有的說設(shè)四位，有的說設(shè)五位，有的說設(shè)六位…）

師：從保密性能考慮，我們選哪種位數(shù)更好呢？

生5：位數(shù)越多越好.

師：為什么這么說？能舉個身邊的例子說明嗎？

生5：上網(wǎng)時要求密碼至少8位.

師：為方便記密碼，老師習(xí)慣把手機(jī)鎖屏密碼設(shè)成從小到大排列的數(shù).大家想一想，老師的密碼是不是越長越好？

生6：不是，10位數(shù)就只有0123456789這一個了，

師：看來密碼也不是越長越好，至少對老師而言不太合適.（幽默一笑）那如果是9位密碼，能設(shè)多少個呢？

生7：10個.

師：為什么是10個？

生7：相當(dāng)于將10個數(shù)字按順序排好后選一個去掉，所以有10種情況.

師：也就是說，設(shè)置9位密碼和設(shè)置1位密碼的種數(shù)一樣，都是10種情況.那如果是設(shè)2位密碼呢，有多少種情況？

生8：45種.

師：沒錯，你是怎么做到的？介紹一下你的計數(shù)方法.

生8：0開頭的有 01，02，03，04，05，06，07，08 09，共9種;1開頭的有12，13，14，15，16，17，18，19，共8種，以此類推，8開頭的只有89這一種，因此共有 9+8+7+6+5+4+3+2+1=45 種.

師：這位同學(xué)對密碼的首位數(shù)字分類后用加法計算種數(shù)，比一一窮舉更方便快捷.從結(jié)果看，2位密碼比1位密碼的種數(shù)多.那3位、4位密碼呢？按老師的習(xí)慣，數(shù)字密碼從小到大排列，設(shè)置幾位密碼最安全，大家給點(diǎn)建議.

生9：大概是5位.

師：是否存在能快速求出密碼種數(shù)的規(guī)律呢？這是本章將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容之一，欲知結(jié)果，且聽下回探究.話說回來，你們手機(jī)密碼的設(shè)置習(xí)慣和老師一樣嗎？你們都是怎么設(shè)置的？

生10：我設(shè)手機(jī)密碼沒像老師那樣有大小順序，每位數(shù)字可以是 0～9 中的任意一個.

師：如果設(shè)置5位密碼，那么有多少種不同情況？

生11：10萬種.

師：怎么算？

生11：先填第一位，有10種情況，再填第二位，也有10種情況，以此類推，一共有 10×10×10×10× 10種.

師：剛才我們用乘法算出了密碼的種數(shù).像這樣用加法或乘法來計算密碼種數(shù)的過程，稱為計數(shù).（幻燈片展示）計數(shù)貫穿人類的整個文明進(jìn)程，從原始社會的結(jié)繩記事、甲骨文象形符號與算盤，到如今的超級計算機(jī)；從小娃娃數(shù)自己的手指，到我們?nèi)缃裱芯扛鼮閺?fù)雜的計數(shù)問題，未來大家還會學(xué)習(xí)更前沿的計數(shù)方法.無論是人類文明發(fā)展，還是個人成長，處理計數(shù)問題往往由逐一計數(shù)發(fā)展為有規(guī)律地計數(shù).本章我們就來探究計數(shù)的規(guī)律和方法.

設(shè)計意圖：圍繞手機(jī)密碼問題，采用層層遞進(jìn)的方式開展教學(xué).引導(dǎo)學(xué)生通過解決問題，體會計數(shù)方法，如枚舉法、樹狀圖法等，感受加法和乘法計數(shù)的優(yōu)勢.在計算3位、4位密碼的可能性數(shù)量時，讓學(xué)生深刻意識到，運(yùn)用已有經(jīng)驗(yàn)來解決更多復(fù)雜的計數(shù)問題存在局限性，進(jìn)而促使他們探尋更一般的計數(shù)規(guī)律.

（三）感受現(xiàn)實(shí)生活中的計數(shù)

師：計數(shù)問題在生活中十分常見，下面我們來進(jìn)行探討.（通過幻燈片展示街景和汽車牌照）

（1）汽車牌照.我國藍(lán)底汽車牌照為5位數(shù)，它由 0～9 共10個數(shù)字和A～Z共26個字母排列組成，并且規(guī)定5位數(shù)中字母不超過兩位.那么，一共能組成多少個不同的牌照呢？截至2024年12月，蘇州市人口已經(jīng)接近1300萬.若按照平均一家擁有一輛汽車來計算，當(dāng)前車牌號的數(shù)量能否滿足社會需求呢？如果不滿足，又有什么解決辦法？

（舉例說明蘇州市汽車牌照的變化情況，如圖3所示，原來藍(lán)底車牌是5位數(shù)，現(xiàn)在綠底車牌變?yōu)?位數(shù)；蘇州車牌號原來只有“蘇E”，后來增加了“蘇U\"）

（2）旗語通訊.播放抗戰(zhàn)影片片段.在抗日戰(zhàn)爭中，敵我雙方除電臺外，還大量使用陸軍旗語進(jìn)行交流，特別是在無線電靜默階段.（通過幻燈片展示海軍旗語）海軍旗語由26面代表26個英文字母的旗、10面代表數(shù)字的旗、4面代表方向的旗以及其他具有特殊功能的旗組成.通過這些旗子的不同排列組合，能夠傳遞各種復(fù)雜的信息.而且，海軍旗語在全球范圍內(nèi)通用，已成為國際海軍交流的“摩斯密碼”.

（3）遺傳密碼.地球上生物種類繁多，種群間差異顯著，而控制這種差異的關(guān)鍵物質(zhì)是遺傳物質(zhì)DNA和RNA.DNA由含有A，T，C，G這4種堿基的脫氧核苷酸排列組成，RNA則由含有A，U，C，G這4種堿基的核糖核苷酸排列組成.AT或GC可組成堿基配對（如圖4）.已知人類基因大約有30億個堿基對，大家不妨計算一下有多少種不同的排列方式.事實(shí)上，人類基因和香蕉基因大約有 60% 相似，和牛有 80% 相似，但就是這看似比例不高、實(shí)則以億計的差異，讓我們不是香蕉.（幽默一笑）

圖4遺傳物質(zhì)中的計數(shù)問題

師：計數(shù)問題廣泛存在于生活及各個領(lǐng)域，大家找找身邊還有哪些與計數(shù)相關(guān)的例子.

（學(xué)生回答：軍訓(xùn)排隊、食堂選菜、手機(jī)號碼、彩票、英語單詞…·）

設(shè)計意圖：通過分享實(shí)例，使學(xué)生理解計數(shù)問題的內(nèi)涵，感受計數(shù)的廣泛性.在交流討論中加深對計數(shù)的理解與認(rèn)識，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界、用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界、用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界[1].

（四）提煉小結(jié)

師：通過剛才的學(xué)習(xí)，大家覺得這一章我們要研究什么？

生12：計數(shù)問題.

生12：計數(shù)問題在生活中廣泛存在，價值很高，能幫助我們了解世界、解決問題.

師：為什么要研究這個問題呢？

師：那該怎樣研究，是一個一個去數(shù)嗎？

生12：不是，要找規(guī)律，用加法或乘法.

師：沒錯.如果我們對前面用加法和乘法計算種數(shù)（或方案）的規(guī)律進(jìn)行歸納總結(jié)，就能引出計數(shù)原理中最為重要、基礎(chǔ)的兩個原理一一加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理.這兩個原理是解決計數(shù)問題的基本且重要的方法.應(yīng)用它們還能進(jìn)一步推導(dǎo)出兩類特殊計數(shù)問題的計算公式，即排列數(shù)公式和組合數(shù)公式，并在此基礎(chǔ)上得出應(yīng)用廣泛的二項式定理，這就是本章要學(xué)習(xí)的內(nèi)容.

設(shè)計意圖：通過回顧反思本節(jié)課所涉及的問題，讓學(xué)生明確本章學(xué)習(xí)的意義、方法與主要內(nèi)容，向?qū)W生展示本章知識網(wǎng)絡(luò)（如圖5），助力學(xué)生在學(xué)習(xí)計數(shù)原理前構(gòu)建章節(jié)知識網(wǎng)絡(luò).

圖5 “計數(shù)原理”章節(jié)知識網(wǎng)絡(luò)

五、幾點(diǎn)思考

章引言位于每章之首，雖開門見山地介紹了本章的學(xué)習(xí)內(nèi)容與方法，但只是簡要提及，缺乏具體“公式”“考點(diǎn)”及實(shí)用技巧，容易給人以“空泛\"之感.在日常教學(xué)中，受多種因素影響，章引言常被忽略跳過.然而，仔細(xì)研讀便會發(fā)現(xiàn)，章引言具有獨(dú)特價值，是一座有待挖掘的寶藏.以下是筆者對章引言教學(xué)的幾點(diǎn)看法.

（一）章引言的價值

章引言從現(xiàn)實(shí)問題、數(shù)學(xué)文化中提出本章要研究的問題，讓學(xué)生明確“為什么要學(xué)”.以“計數(shù)原理\"章引言為例，其從“車牌號\"和“手機(jī)密碼\"切入，使學(xué)生認(rèn)識到計數(shù)問題源于生活，且窮舉法已無法有效解決此類問題，凸顯進(jìn)一步學(xué)習(xí)的必要性.

章引言由教材編寫專家精心設(shè)計，言簡意賅、圖文并茂地概括了章節(jié)內(nèi)容與思想方法，起到提綱挈領(lǐng)的作用，解決了“要怎么學(xué)”“學(xué)什么”的問題，能幫助學(xué)生明確學(xué)習(xí)目標(biāo)、梳理知識線索、掌握學(xué)習(xí)方法.仍以“計數(shù)原理\"章引言課教學(xué)為例，先通過討論0開頭、1開頭等情況，讓學(xué)生初步體驗(yàn)簡單的分類加法原理，發(fā)現(xiàn)相關(guān)規(guī)律；再引入“有序無重復(fù)\"場景，過渡到分步乘法原理的學(xué)習(xí)，自然引出計數(shù)問題的研究方法與知識體系.讓學(xué)生通過不同的實(shí)際案例，感受數(shù)學(xué)源于生活，明晰知識脈絡(luò)，掌握研究問題的方法.

章引言課可作為數(shù)學(xué)聯(lián)系實(shí)際的橋梁、滲透數(shù)學(xué)文化的載體.它能讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的價值與魅力，拓寬數(shù)學(xué)視野，領(lǐng)略數(shù)學(xué)背后的人文精神，讓數(shù)學(xué)在學(xué)生眼中“活”起來.

（二）章引言課的目的

章引言課應(yīng)如成功電影的開場，是一個巧妙的鋪墊，為后續(xù)教學(xué)奠定基調(diào)，暗示即將展開學(xué)習(xí)的內(nèi)容，最好能讓學(xué)生迫不及待地投入其中.其目的大致如下：

一是激發(fā)興趣，引導(dǎo)思考.興趣是最好的老師，強(qiáng)烈的好奇心是學(xué)習(xí)新知識的強(qiáng)大動力.章引言課可設(shè)置趣味情境或問題，充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，激發(fā)其探索欲，引導(dǎo)主動思考.

二是引出本章主題，介紹學(xué)習(xí)內(nèi)容.讓學(xué)生在章節(jié)學(xué)習(xí)前明確“學(xué)什么”“為何學(xué)”，消除對未知事物的恐懼心理與距離感.

三是滲透數(shù)學(xué)思想方法，傳授學(xué)習(xí)方法.章引言課需有意識地滲透數(shù)學(xué)思想方法，助力學(xué)生掌握有效學(xué)習(xí)方法.如運(yùn)用由特殊到一般的方法，先讓學(xué)生研究特殊計數(shù)情況，再觀察歸納找規(guī)律；引導(dǎo)學(xué)生從現(xiàn)實(shí)現(xiàn)象抽象數(shù)學(xué)問題并建模，如將生活復(fù)雜計數(shù)場景轉(zhuǎn)化為排列組合問題；還可將小學(xué)加減乘除推廣至計算“較大\"數(shù)，讓學(xué)生體會知識聯(lián)系與拓展，更好地掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法.

（三）章引言課的準(zhǔn)備

好的引言課應(yīng)設(shè)計巧妙、自然流暢，如春風(fēng)細(xì)雨般“潤物細(xì)無聲”.要做到這一點(diǎn)，首先需仔細(xì)研讀教材，查閱相關(guān)數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)史資料，梳理知識發(fā)展脈絡(luò)，挑選恰當(dāng)素材，結(jié)合學(xué)生身邊熟悉的現(xiàn)象或問題確定教學(xué)內(nèi)容和案例.其次，要了解學(xué)情，對素材進(jìn)行再加工，根據(jù)學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”精心設(shè)置問題，巧妙引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入問題核心，讓學(xué)生在“做”中“悟\"到問題的本質(zhì)，產(chǎn)生一股即將“柳暗花明”渴望一探究竟的沖動，激發(fā)后續(xù)學(xué)習(xí)動力.

綜上，教師若能用好章引言，“演好”一章的“開場白”，充分挖掘其內(nèi)涵與價值，自然地將學(xué)生引入學(xué)習(xí)情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和內(nèi)驅(qū)力，將有助于提高教學(xué)質(zhì)量.

［參考文獻(xiàn)]

[1」中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：2017年版[M].北京：人民教育出版社，2018.

（責(zé)任編輯 黃春香）