引·退·拓：在化大為小中尋找最優方法

“找次品”一課主要是以“找次品”這一探索性操作活動為載體，讓學生通過觀察、猜測、實驗等方式探索解決問題的策略，體驗解決問題策略的多樣性和優化思想，讓學生用直觀的方式清晰、簡潔、有條理地表示邏輯推理的過程，培養學生觀察、分析問題的能力及推理意識。

特級教師華應龍在“找次品\"這節課中，不是將找次品的操作方法直接教給學生，而是通過一系列“找次品\"活動，由簡單到復雜，由特殊到一般，讓學生在比較、猜想和驗證等活動中逐步感悟、總結和提煉，從而歸納出解決“找次品\"這類問題的最優方法。

一、片段一：創設情境，引導學生進行數學思考

師：同學們，老子說“上善若水”，指人應具有像水一樣的品性，滋養萬物而無所求。我上課就喜歡看到你們的眼睛，因為人在思考時眼睛是最漂亮的。微軟公司招聘員工時出過一道考題：81個乒乓球中，只有1個球稍重。如果只能利用沒有砝碼的天平，最少稱幾次，才能保證找到這個稍重的球？如果你們去應聘，你們會怎么做呢？

生1：我覺得可能只需要1次，運氣好的話正好1次就拿到這個稍重的球。

生2：萬一運氣不好的話，就要一個一個測。

師：為什么要從最壞的角度考慮？題目中哪個詞提到了？

生2：才能保證找到這個稍重的球。

生3：我覺得是41次，因為天平每次能放2個乒乓球，左邊1個右邊1個，這樣稱40次，剩下1個再稱1次。

生4：我覺得41次太多了，只需要6次就行。我們可以在天平的2個盤子里分別放40個乒乓球，沉下去的那邊40個再來稱。

師：為什么這位同學在天平的2個盤子里分別放40個乒乓球，兩邊數量可以不一樣多嗎？

生4：不行，如果2個盤子放的球不一樣多，天平肯定不平衡，沒法比。2個盤子放一樣多的球有可能平衡，也有可能不平衡。

賞析：在這個教學片段中，華老師巧妙地引用中國古代哲學家老子的名言“上善若水”，以此讓學生理解數學思考方法和推理意識在解決問題中的重要性，引導學生在解決數學問題時應靈活變通、深人探究。然后，華老師精心挑選了一道“找次品\"題，題目設定的情境是在一定數量的外觀完全相同的球中，有1個稍重的球，需要通過最少次數的天平稱量找出這個稍重的球。面對這個問題，學生展示了多元化的解題思路：有的學生憑借敏銳的直覺與高效的策略分析，認為只需要進行1次稱量就能準確找到目標球；有的學生則從最壞的情況出發，保守估計可能需要41次稱量才能確保找到；還有的學生經過逐步推演和優化方案后提出，只需要6次即可完成任務。在整個討論過程中，華老師并沒有急于給出標準答案，而是鼓勵學生積極表達自己的觀點，要求他們詳細闡述推理過程。華老師不僅注重培養學生的語言表達能力和邏輯思維的嚴謹性，更致力于幫助學生正確理解題目的內在含義及所涉及的數學原理。

二、片段二：深度探究，在以退為進中發現規律

1.在2個和3個球中找次品

師：同學們，這是一個沒有砝碼的天平，重球可能在左邊，也可能在右邊，還可能在下面。我們把題目再讀一遍。同學們讀得真棒，剛才讀的時候將重要的詞用重音突出了。今天老師給大家帶來了一個祖傳秘方—天下難事，必作于易，意思是碰到難的問題可以從容易的地方開始，找到方法和規律，難題就好解決了。現在這道題中81個球太多了，你們打算從幾個開始研究？

生1：從3個開始研究。如果2個球中有1個重球，我們只要在天平左右兩邊各放1個，下沉的那個就是。

師：2個球只要用1次就能保證找到。那3個球要幾次，才能保證找到呢？

生2：我覺得要用1次，第一次天平的左右兩邊各放1個，如果天平保持平衡，說明剩下的那個是重球；如果天平不平衡，沉下去的那個是重球。

師：現在其他同學有什么要問的？

生3：為什么2個球用1次，3個球也是用1次？不是多出了1個球？

生2：因為3個球的時候有1個球是不用稱的，我們只要稱2個球就能判斷出來了。

生4：因為每個球有三種狀態，一種是在天平的左邊，一種是在天平的右邊，還有一種是在天平的下邊。2個球剛好把天平左邊和右邊都用上了，所以1次就能找出來；3個球就是把天平的左邊、右邊、下邊都用上了，所以也只用1次就能找出來了。

賞析：在這個教學片段中，華老師讓學生在僅包含2個或3個球的簡單案例中體驗如何通過邏輯推理和天平平衡原理找出其中的次品。在具體實施過程中，華老師指導學生采用“假如平衡…，假如不平衡.”這樣的語句結構，清晰地表達每次稱量后可能出現的情況及其對應的后續步驟。比如在面對2個球時，將它們放在天平兩邊進行比較，那么可能出現兩種情況：一是天平平衡，則說明這2個球質量相同，都不是次品；二是天平不平衡，則較重的那個即為次品。為進一步增強學生的理解和記憶，華老師鼓勵學生利用直觀圖或者流程圖的形式，結合文字說明，詳細記錄找次品的過程。這樣既鍛煉了學生的邏輯思維能力，又培養了他們圖形化、可視化表達問題的能力。

2.在4個、8個和9個球中找次品

師：如果4個球中有1個重球，怎么找？

生5：我會在天平的兩邊各放2個球，如果哪邊沉下去，說明沉下去的那邊有重球；再把沉下去的這2個球分別放在天平的兩邊，沉下去那邊的球就是重球。所以4個球要用2次才能保證找到重球。

生6：我是先取出2個球放在天平兩邊，如果天平沉下去了，說明沉下去那邊就是重球。如果天平平衡，說明剩下的2個球中有重球，就把剩下的2個球分別放在天平兩邊，就能確定重球。所以4個球要用2次才能保證找到重球。

師：那8個球中有1個重球，怎么找？

生7：我會先在天平兩邊各放4個球，天平沉下去那邊有重球；再在天平兩邊各放2個球，天平沉下去那邊有重球；最后在天平兩邊各放1個球，天平沉下去那邊有重球。所以8個球要用3次才能保證找到重球。

師：如果9個球中有1個重球，怎么找？

生8：我會先在天平兩邊各放4個球，如果天平不平衡，說明沉下去那邊有重球；再在天平兩邊各放2個球，天平沉下去那邊有重球；最后在天平兩邊各放1個球，天平沉下去那邊有重球。如果天平平衡，說明剩下那個是重球。所以9個球要用3次才能保證找到重球。

生9：我是把9個球平均分成3份，在天平兩邊各放3個，如果天平平衡，說明重球在剩下的3個球中；只要把剩下的其中2個球放在天平上，如果天平平衡，下面的那個球就是重球；如果天平不平衡，那么沉下去的是重球。所以9個球只要2次就能保

證找到重球。

師：老師覺得奇怪，8個球要用3次才能保證找到重球，而9個球只要用2次就能保證找到重球？有沒有可能8個球也只用2次就能保證找到重球？

生10：我先在天平兩邊放3個球，如果天平平衡，說明剩下的2個球中有重球；再把剩下的2個球分別放在天平的兩邊，沉下去的那邊就是重球，這樣用2次保證找到重球。如果天平不平衡，就說明重球在沉下去那邊的3個球中；再把這3個球中的任意2個球分別放在天平的兩邊，如果天平不平衡，沉下去的就是重球了，如果天平平衡說明剩下的就是重球了，也是用2次保證找到重球。

賞析：在這個教學片段中，華老師引導學生從直觀易懂的小數目開始，逐步引導學生理解如何在一定數量的球中利用天平找出稍重的那個次品。當面對4個球時，學生很快發現只需將球平均分成兩組進行一次稱量，若不平衡則直接找到次品；若平衡則在剩余的兩個球中再次稱量即可確定次品，因此需要2次稱量來確保找到重球。隨著問題難度的提升，當探究8個球的情況時，學生運用同樣的策略，將球分為2份進行稱量，然后根據結果再對其中1份或剩余部分進行第二次稱量，總結出至少需要3次保證找出次品。然而，在挑戰9個球的問題時，學生發現只需要2次稱量就能確保找到重球。這時，華老師敏銳地抓住了這一教學契機，鼓勵學生深入思考并探討背后的原因，讓他們對比4個球、8個球和9個球的分組方法，發現將球平均分成3份的方法在尋找次品的過程中實現了效率的最大化。在這樣的教學活動中，華老師成功激發了學生的探索精神和求知欲望，使他們不僅習得了尋找次品的具體策略，還深刻體驗了數學中的優化思想和解決問題的靈活性，培養了創新思維和實際應用能力。

3.總結找次品的方法

師：同學們，想一想天平有幾個盤子？生（齊聲答）：3個。師：用上第3個盤子就是高手。第3個盤子在哪呢？生（齊聲答）：下邊。師：當我們認識到天平有3個盤子的時候，應該怎么去找這個重球？生11：把物體盡可能平均分成3份，每份一樣多。

賞析：在這個教學片段中，華老師通過精心設計的問題和循序漸進的教學引導，讓學生在實踐中不斷摸索、反思并調整策略，引導學生總結找次品的經驗，不僅體驗到天平有左邊、右邊和下邊3個盤子，還總結出找重球的最優化方法。

三、片段三：拓展應用，解決大數目找次品問題

師：同學們，如果81個球中有1個重球，你們會怎么找？

生1：我們可以分成20、20、21這樣3份

生2：不對，這樣3份只有61個球。第一次是把81個球分成27、27、27這樣3份，第二次是把27個球分成9、9、9這樣3份，第三次是把9個球分成3、3、3這樣3份，第四次是把3個球分成1、1、1這樣3份。所以81個球只需4次便能保證找到重球。

師：同學們，現在能去應聘了嗎？（能）不過我好奇微軟公司為什么拿這道題招聘員工，你們覺得是為什么？

生3：我覺得是為了讓員工碰到一些技術上的難題時能有方法解決。

生4：我覺得是想鍛煉員工，用最少的時間完成同樣的任務。

師：找次品是數學上非常著名的題目，就是讓我們在找次品的過程中慢慢品方法、品規律。（出示：道生一，一生二，二生三，三生萬物）你們現在是不是覺得老子太高明了？世界上的事物都是一分為三的，上、中、下，左、中、右，好、中、差，小于、等于、大于，負數、0、正數，質數、1、合數，過去、現在、未來……

賞析：在這個教學片段中，教師引導學生利用最優化方法成功地解決了81個球中有一個重球的問題。

在探究“找次品\"這一經典數學問題的過程中，筆者深刻體會到華老師的教學智慧。所謂\"引”，即創設找次品的問題情境，引導學生從直觀易懂的實例出發；“退\"是要求學生在面對復雜情況時學會適時退一步思考，化繁為簡，將大數目分解成小數目，并充分發揮天平左邊、右邊和下邊3個盤子的作用，實現問題的簡化與轉化；“拓\"體現在讓學生不斷拓寬思維邊界，總結提煉出適用于更大范圍解決找次品問題的通用解題策略，從而在化大為小的實踐中找到尋找重球問題的最優解決方案，全面提升學生的數學素養。